4.3 练习3 换底公式 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学换底公式同步练，分层设计基础巩固（1-5题）、中档综合（6-9题）、拔高拓展（10-16题）三级梯度，知识覆盖从公式直接应用到实际问题解决，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|换底公式直接运算|如第1题单一公式转换，夯实运算能力| |中档|公式与指数对数互化结合|如第3题指数式与对数式综合，培养推理意识| |拔高|实际问题与逻辑证明|如第6题玻璃透光性应用，发展应用意识与模型观念|

4.3 练习3　换底公式 1. log4125·log532的值为(　 　) A. B. 1 C. D. 15 2. (2025高一·盐城期末) 设，，则 (　　) A.  B.  C.  D.  3. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　 　) A. 3 B. 8 C. 4 D. log48 4. 等于(　 　) A. lg 3 B. －lg 3 C. D. － 5. 若，则t等于(　 　) A. 2 B. 12 C. 48 D. 144 6. (2025高一上·广州月考) 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标. 某玻璃厂在进行产品的性能测试时, 发现光线通过一块玻璃, 强度要损失10%. 设光线原来的强度为k, 通过x块这样的玻璃以后, 光线强度为, 要使光线削弱为原来的, 至少需要通过几块这样的玻璃? (已知, )  (　　) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知log189＝a，18b＝5，则log4581等于(　 　) A. － B. C. D. 8. (多选)下列各式化简结果中，不为1的有(　 　) A. log53×log32×log25 B. lglg 5 C. loa2(a＞0，且a≠1) D. eln 3－(0.125 9. (多选)(2024·江苏南京高一期中) 下列运算中，正确的有(　 　) A. 若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝ B. 若a＋＝14，则＝±4 C. －2ln(ln ee)＝7 D. ＋2log23·log94＝＋1 10. log23·log34·log42＝　 　.  11. 若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为  　.  12. 已知S市某所新建高中2024年的绿化面积为a m2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到　 　年(用整数年份表示)，该校的绿化面积约是5a m2(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477).  13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数).当燃料的质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)(参考数据：ln 3≈1.099). 14. (2024·泰安高一检测)用计算器计算：log23×log32，log0.46×log60.4.根据计算结果写出一个一般性结论，并证明. 15. (2024·汕头潮阳区高一期末)记A＝1×2×3×…×2 024，那么＋…＋＝　 　.  16. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为有了运算，数才有无限的威力；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算. (1)试利用对数的运算性质计算·的值； (2)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断22 024的位数(lg 2≈0.301 0). 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 练习3　换底公式 1. log4125·log532的值为(　C　) A. B. 1 C. D. 15 【解析】 log4125·log532＝××. 2. (2025高一·盐城期末) 设，，则 (　D　) A.  B.  C.  D.  【解析】解：，，则． 故答案为：D. 3. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　A　) A. 3 B. 8 C. 4 D. log48 【解析】由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋log2＝log23＋(3log22－log23)＝3. 4. 等于(　C　) A. lg 3 B. －lg 3 C. D. － 【解析】原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo＝log310＝. 5. 若，则t等于(　D　) A. 2 B. 12 C. 48 D. 144 【解析】由对数的运算性质可知，即logt3＋logt4＝， 可得logt12＝，∴t＝144. 6. (2025高一上·广州月考) 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标. 某玻璃厂在进行产品的性能测试时, 发现光线通过一块玻璃, 强度要损失10%. 设光线原来的强度为k, 通过x块这样的玻璃以后, 光线强度为, 要使光线削弱为原来的, 至少需要通过几块这样的玻璃? (已知, )  (　D　) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【解析】解：设通过x块这样的玻璃以后, 光线削弱为原来的, 由题意可得, 即, 解得, 故至少需要通过16块这样的玻璃.. 7. 已知log189＝a，18b＝5，则log4581等于(　C　) A. － B. C. D. 【解析】∵由log189＝a，18b＝5，∴b＝log185， ∴log4581＝. 8. (多选)下列各式化简结果中，不为1的有(　BCD　) A. log53×log32×log25 B. lglg 5 C. loa2(a＞0，且a≠1) D. eln 3－(0.125 【解析】由log53×log32×log25＝××＝1，lglg5＝lg＋ lg ＝lg，loa2＝＝4，eln 3－(0.125＝3－(＝3－4＝－1，可知只有A中式子化简结果为1. 9. (多选)(2024·江苏南京高一期中) 下列运算中，正确的有(　ACD　) A. 若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝ B. 若a＋＝14，则＝±4 C. －2ln(ln ee)＝7 D. ＋2log23·log94＝＋1 【解析】对于A，由lg 3＝m，lg 2＝n，得 log518＝，A正确；对于B，由a＋＝14，得a＞0，＝a＋＋2＝16，得＝4(舍负)，B错误；对于C，－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，C正确；对于D，＋2log23·log94＝×－1＋2＝＋1，D正确. 10. log23·log34·log42＝　1　.  【解析】原式＝··＝1. 11. 若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为 　.  【解析】∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，∴n＝5m＋5－m＝＝3＋＝3＋. 12. 已知S市某所新建高中2024年的绿化面积为a m2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到　2028　年(用整数年份表示)，该校的绿化面积约是5a m2(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477).  【解析】设经过n年后，该校的绿化面积约是5a m2，则由已知得a(1＋50%)n≈5a，n∈N*，即≈5，n∈N*，两边取对数得n≈lo5＝≈≈4，∴2 024＋4＝2 028. 13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数).当燃料的质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)(参考数据：ln 3≈1.099). 解：∵v＝ln ＝2 000ln，∴v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)，故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s. 14. (2024·泰安高一检测)用计算器计算：log23×log32，log0.46×log60.4.根据计算结果写出一个一般性结论，并证明. 解：log23×log32＝1，log0.46×log60.4＝1，结论logab·logba＝1，证明如下： 设c＞0，且c≠1，由换底公式得：logab·logba＝·＝1. 15. (2024·汕头潮阳区高一期末)记A＝1×2×3×…×2 024，那么＋…＋＝　1　.  【解析】＋…＋＝logA2＋logA3＋logA4＋…＋logA2 024＝logA(2×3×4×…×2 024)＝logAA＝1. 16. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为有了运算，数才有无限的威力；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算. (1)试利用对数的运算性质计算·的值； (2)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断22 024的位数(lg 2≈0.301 0). 解：(1)原式＝××. (2)设22 024＝t，则lg t＝2 024·lg 2，又lg 2≈0.301 0，∴lg t≈2 024×0.301 0＝609.224，∴t≈10609.224，则t∈(10609，10610)，∴22 024的位数为610. 学科网（北京）股份有限公司 $