辽宁省实验中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

辽宁省实验中学2025一2026学年度下学期期末考试 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.sin2026r=（) 3 A.⑤ 2 B D. 2 2.已知函数y=tan ox在(-π，π)上是增函数，则o的取值范围为() A号s0 B.0≥1 1 C.0<w≤ D.o≤-1 3.已知向量a=(2,1),=10,<a,6-3z ,则a+6（) A.5 B.3 C.3√5 D.√5 4.一个圆台的轴截面是一个底角为60°的等腰梯形，则这个圆台的侧面积与轴截面面积的 比值为() 3 A.2π B. c.25 D. 3 2 5已知2sin0=cos0-7,则am20=（ A.3 B.5 C.-5 D.2N5 3 6.已知正三棱台上下底面边长分别为2,4，高为2，则它的表面积为() A.6√13 B.339+45 C.339+5√5 D.33+5√5 7如图，水平地面上有两座高塔，为测量塔高MN,选择水平地面上一点A和另一座塔BC 的塔顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=a,C点的仰角∠CAB=B以 及∠MAC=B;从C点测得∠MCA=p.现已知塔高BC=m,则塔高MN=() msin a sin A. sin Bsin(+) B.msinBsin sinasin(+) msinsin sina sin B D msina sin(+) sin Bsino 高一年级数学科试卷第1页（共4页） 8.已知△ABC是圆0的内接三角形，若A:骨，且50C的最大值为3，则圆O的半径为 () A.3 B.√6 C.25 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数3,2，则下列说法正确的是（) A.若z2+4=0,则乙=±2i B."=a",nEN" C.若名-2=名+2，则2=0 D.若=2，则z=2 1O.如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,CA=CB,点F在BE上，则 () A.平面EAB⊥平面DCB B.存在点F,使得DF∥平面ABC D C.存在点F,使得平面DEFI∥平面ABC D.存在点F,使得平面DCF⊥平面ABE 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)B(0,1)、C(-1,0)、D(0,-1).有一封闭图 形ABCD,其中图形第一、三象限的部分为线段AB、CD,第二、四象限的部分为两段圆 心在原点，半径为1的圆弧.角a的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，a的终边与 该封闭图形ABCD交于点P,点P的横坐标x关于a的函数记为x=f(a),则下列说法 正确的是（) A.x=f(a-是偶函数 B.函数x=f()没有对称中心 C.x之-号的解集为a1-30+2kπ≤a≤ 2π +2kπ，k∈Z) D.函数y三@snu的值域为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11 12.已知乙1=1+2i,乙2=3-4i,则一+一的值为 Z Zo 13.一个正三棱柱的底面边长为2√3，侧棱长为4，其内部有一个半径为1的能自由滚动的 高一年级数学科试卷第2页（共4页） 球，则在该三棱柱内，球任意滚动过程中始终不能到达的部分的体积为 14.已知o>0,f(x)=sin[o(x+a)],设M。={af(x)=f(-x)},若对每个实数t, M。∩(t-1,t+1)的元素不超过2个，且存在t使M。∩(t-1,1+1)有2个元素，则o的取 值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(in后+a,3-4cos受.6=(20，设函数fa)=a-6. 0若Q=元，2i-5与6的夹角小于号，求1的取值范围： ②若1=1,0pe0受，f0+=5+5 cos2p=-4,求0+0. 5 16.(15分) 如图，在六面体ABCD-AB,CD中，上、下底面平行且均为矩形，侧棱延长后相交于E, F两点， (1)证明：EF∥平面ABCD; (2)若AB=8BC=4,AB,=5,BC,=2,平面ABCD与平面ABC,D的距离为1，求 六面体ABCD-AB,C,D,的体积 E B 17.(15分) 己知△ABC中，sinB=cosA,AC=2,BC=2√3，M、N为线段AB上两点，N在线段MB 上，∠MCN=π 6 (I)设∠ACM=a,将△MCN的面积S表示为a的函数，并求其值域； 2若AM=46BN,求cs∠ACM. 3 高一年级数学科试卷第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在三棱柱A8C-4BC中，AM4C为正三角形，A4=AC=2BC=25 B在平面ACC,A内的射影在线段AC上，D是BC的中点. (1)证明：平面ABD⊥平面BBCC; (2)求AD与平面B,CCB所成角的正弦值： (3)N为线段AC上的动点，已知AN+BN的最小值为2万，记四面体A-ABC与 四面体B-ABC的公共部分为2，用平面AACC去截2的外接球球面，求所得交线在 侧面AA,CC内的部分的弧长， 19.（17分) 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型或余弦 型函数，现有某种信号的波形的数学模型为)-立0严 ,其中 n∈N*,a,(i=1,2,·,n)是待定系数.经研究知这个函数的图象呈现的仍是周期性变化，即 (x)是一个周期函数. (1)当n=3,4=元i=12,3时，写出(，的一个周期并求出函数在(0，上的零点： （2)当n=La=1时，令函数g()=2x+)-mp水，若g(y的图象关于直线x= 6 对称，且()在区间气，上恰有三个零点x,,5,求si(:+5+)的取值范 围； (3)当n=3时，)2-1，求28 的最大值， 高一年级数学科试卷第4页（共4页） 辽宁省实验中学2025一2026学年度下学期期末考试 高一年级数学试卷参考答案 考试时间：120分钟试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 AC DC BCAB 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AB 10.BD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 21559:4 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：()由a=元，得a=(23), 1分 又由<2a-6,6×号，得(2i-)-6=2a6->≥0 即2-2320-4+)=-2+61-6>0. 解得3-√5<t<3+√5 5分 2)由1=1得f(a)=2sin(+0四+3-4cos20 6 -2(cosa+ sina)+3-4x1+cosa 2 2 =3sina-cosa+1 =2sin(a-Z)+1 .7分 6 f(0+石）=2sin0+1=45+5 sino=25 ,又0是锐角，所以 6 5 ∴.tan0=2, …9分 4、 又cos20=-号且0是锐角，所以an0 4 - =3… .11分 4 1+← 2+3 所以tan(0+p)= =-1,又0+p∈(0，π)，所以0+p= 3π 1-2×3 4 .13分 高一年级数学科试卷参考答案第1页（共6页） 16.(15分) 【答案】(1)证明：，AB,CD是矩形ABCD的一组对 边，有AB∥CD, D 又AB丈平面CDEF, CDC平面CDEF B ∴.AB∥平面CDFE .2分 EF是面ABFE与面CDEF的交线， ABC平面ABFE ..AB∥EF ....4分 ,AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， ∴.EF∥面ABCD. …7分 (2)由B,C=2BC,B,CBC,知B为BF中点，从而AB为梯形EFBA中位线，所 以EF=2,且EF到平面ABCD距离为2 .8分 过F作平面FMN∥平面EAD,分别交AB,CD于M,N.交AB,CD于M,N,则多面 体EFCBAD被分成三棱柱FMN-EAD和四棱锥F-BCNM 9分 1 1 Vr-Bcww=7BM.BC·2=2×6×4×2=16 3 E …10分 由于BM=3,所以B到平面FMN的距离与 MA M到平面EAD的距离之比为3，所以 B VB-EMN-1 VEMN EAD 1 VB-FAN VF-BAN =Vr-BNC =VF-BCNM=8 M B 2 所以VMN-EAD=812分 3. 由于A是AE的中点，所以VM,MM-AADA=VN-ED=6, 4 又w-vw=4 所以该六面体体积为 VN C-MNCB+VM,N NM-ADIDA =20 15分 17.(15分) (1)由题意，sinB=cosA=sin(匹-A) B 由sinB=cosA>0,所以A为锐角，又AC<BC,所以B<A. 所以B=T-A即A+B=5,C=7.△ABC为直角三角 2 2 2 形3分 高一年级数学科试卷参考答案第2页（共6页） 又由AC=2,BC=25,得tanA=V5,所以A=T,B=- 4分 3 从而在△ACM中，ACM=a0≤a≤智)，BC=25,∠CBN= CM AC 由正孩定理得加等sm sin 3 CN BC 在△BCW中，∠BCN=?-a,由正弦定理得sin 6 sin π-a+ 3 6 即cwV5 .6分 cosa 所以S,cww=,CM.CN.sin 1 3 3 2 6 4sim(a)cosa 43 cosa+ -sina)cosa 3 3 3+3cos2a+sin2a +2sin(2a+)' 3 3 即5-5+2sin2a+ _cel0.) …8分 所以写s2a+写s,所以sn2a+学e0, 所以S∈[6-35，√] 9分 2)由（D知∠ACM=a,当Aw-g5N时，Saaw 4v6 3 S△CBN' 即)Ac.CM.sina=4y6x1x 32 BCxCNxsin(-a), 3 因为BC=3AC, 所以4W2CW-Sin(F-）=CM.sina,11分 3 CM=- 5 CN=- sin 3 cosa 所以4V2 5snξ-a_sina 3 cosa ,π sin(+a) 3 即45snc管+a)sin写-a)=-sinaco …13分 整理得：√2sin2a+sinacos-3√2cos2a=0, 两边同除以cos2a,得√2tan2a+tana-3√2=0， 高一年级数学科试卷参考答案第3页（共6页） 解得tana=√反或tan&= 32 (舍去)， 此时cos∠ACM=cosa= 5 .15分 18.(17分) (I)证明：在三棱柱ABC-AB,C中，取AC的中点H,连接AH,HD,AC. 因为H、D分别为AC,BC的中点，所以HDIIAB,所以 C HD∥AB,所以平面AHDB即为平面AB,D. 因为△AAC为正三角形，所以AH⊥AC. 又B在平面ACC,A内的射影在线段AC上， 所以平面ACCA⊥平面ABC, .1分 又平面ACC,A∩平面ABC=AC, AHc平面ACC,A,所以AH⊥平面ABC, 所以AH⊥BC. 2分 在MBC中，由AC=2BC=25AB得AB+BC2=AC2, 3 从而AB⊥BC, 因为HD∥AB,所以BC⊥HD, .3分 因为AH⌒HD=H,AHC平面AHDB,HDc平面AHDB, 所以BC⊥平面AHDB, …4分 又BCc平面BB,CC,所以平面AHDB⊥平面BB,CC, 即平面ABD⊥平面BB,CC. .5分 (2)设AA=4t,则AC=4t,BC=2,AB=2√5t 作AK⊥BD于K,由平面ABD⊥平面BB,CC. 平面A,B,D∩平面BB,CC=BD, 所以AK⊥平面BCCB, 所以∠ADK即为AD与平面BBCC所成的角 …7分 如图所示，在直角梯形ABDH中，AB=2N3t,HD=√5，AH=2N3t,作DM⊥AB 于M，则DMAH,又AMI/HD,所以四边形AMDH为平行四边形，所以 AMDH MD2 M B,D=VMD2+B,M2=V(2W3)2+(W3)2=15t=AD, 又△DMB~△MKB 所餐8器即A水-25-， DB 15t 5 所以在Rt△AKD中， 高一年级数学科试卷参考答案第4页（共6页） 4v15 sin∠ADK=AK= 5 9分 AD= (3)将平面ACCA与平面ABC展平，由(I)得展平后∠AAB=90. 所以AN+BN的最小值为VAA+AB2=√4BC2+3BC2=√7BC=2√万， BC=2,AA=AC=AC=4,AB=23 11分 设AB∩AB=P,连接CP, 则公共部分2即为四面体P-ABC…12分 由(1)知AH⊥平面ABC,在R置中，HA=HB=HC, 所以AA=AB=A,C=4,所以△AHA,△AHB,△AHC两两 全等，所以∠ABH5，所以R△4HB中， 3 AE,从而得HP=HA=HC=HB, 2 即H为Ω的外接球球心， 且球的半径为HA=2 15分 因为H∈平面AAC,从而球H被平面AAC截得一个大圆.设圆与线段AA交于点Q,则 由Q1=AH=2∠AAH=写，知△MH(为等边三角形，所以∠QM=号，所以 ∠oHc= 2受，所以截面圆在侧面A4CC内的弧长为2x2=4红 33 .17分 19.(17分) 解(1)由题意，此时f(x)=cosx+cos2x+cos3x,它的一个周期为T=2π，.2分 cosx+cos3x+cos 2x cos(2x-x)+cos(2x+x)+cos2x =cos 2xcosx+sin 2xsinx+cos 2xcosx-sin 2xsinx+cos2x, =2cos 2xcos x+cos 2x cos2x(2cosx+1) 因为xe0受，所以ea2x=0,所以2x=子，即x=至 所以f()在Q孕上的一个零点为牙 …4分 2》n=la=ls)=cos2x+o)m（q 又由8()图象关于直线x=名对称，所以2x后+9=红ez,即p=晋eZ, 所以p=-乃， …6分 3 3’12 3 3’2 由“g(在区间x百，17匹上恰有三个零点x,6,飞”，不妨设x<6<:, 3’12 高一年级数学科试卷参考答案第5页（共6页） 得*方程c0s1=m在区间写受上恰有三个不同实数根，女，67分 而y=cost的图象如下： 从而4e写受.由图得，名+核=4红，所以 5+ X=一 3g55)+=2 3_7π 3'1 2 3 即x+x2+x3∈ 8元1还. 3’4 8分 综上，sing++5)e5瓦. 2’2 9分 （3）当n=3时，fx上-，即ac0+号c0 x王日，不妨设 2 3 a=a,b= )c=?，则有acos x+bcos2x+ccos3x之-1 cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-1)cosx-2sin2 xcosx =2cos3x-cosx-2(1-cos2)cosx=4cos3x-3cosx..................... ..12分 从而设u=cosx∈[-1,1]， 则左端=hw)=au+b(2u2-1)+c(4u3-3)=4cu3+2bu2+(a-3c)u-b 原问题等价于h(w)≥-1，u∈[-l,1]恒成立， 由h(0)≥-1，得-b≥-1，即b≤1....... 13分 由h(-1)≥-1，得4c+2b-(a-3c)-b≥-1，即a-b+c≤1.14分 所以a+b+C=(a-b+C)+2b≤315分 又a号多b,c号时，h四)=2m+21E2utD=12成立，故a+b+c的最大值 为3 从而宁兰的最大值为3 17分 i=l 高一年级数学科试卷参考答案第6页（共6页）