辽宁沈阳市重点高中五校联考2025-2026学年高一下学期期末调研数学试卷

2025－2026学年度（下）期末调研答案 高一年级数学试卷答案 考试时间：120分钟　　考试分数：150分 一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．D 二、多选题 9．BC 10．BCD 11．ABD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．（13分） （1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数， 设，则， 那么代入可得， 即，　　　　　　　　3分 则有，故，．　　　　　　　　6分 （2）设，则，故与，　　　　　　　　7分 那么，，　　　　　　　　8分 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线，　　　　　　　　10分 则解得且， 故实数的取值范围为　　　　　　　　13分 （没讨论不共线，只求出得9分） 16．（15分） （Ⅰ）证明：在正四棱柱中，连结交于，连结． 因为为正方形，所以为中点． 在中，因为为中点，所以．　　　　　　　　3分 因为平面，平面，所以平面．　　　　　　　　5分 （Ⅱ）证明因为为正方形，所以． 因为平面，所以． 因为，所以平面． 因为平面，所以．　　　　　　　　10分 （Ⅲ）解：当，即点为线段的中点时，平面平面． 因为，且，所以四边形是平行四边形．所以． 取的中点，连结，． 因为为中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形．所以． 同理．所以． 因为，，所以平面平面．　　　　　　　　15分 17．（15分） （1），　　　　　3分 则． 因为为偶函数，所以，解得， 所以的最小值为．　　　　　　　　5分 （2）令，得．由，得， 因为在上恰有4个零点，所以，　　　　　　　　9分 得，故的取值范围为．　　　　　　　　10分 （3）不等式，即为， 得． 当时，不等式恒成立，符合题意． 当时，函数可看成关于的一次函数， 则依题意得，即， 因为，，所以， 解得且．综上，，　　　　　　　　14分 则，即，故的取值范围为．　　　　15分 18．（17分）解（1）法1：，， 由正弦定理得， 即， ，， 又，，，又，；　　　　　　　　4分 法2：，， ①， 在中，由余弦定理得，②， 由①②得，即 由正弦定理得， 又，，，又，；　　　　　　　　4分 （2）点是内一动点， ， ，，　　　6分 由余弦定理知， 由基本不等式可得，即，，　　　　　　　　8分 ，当且仅当时等号成立， ；　　　　　　　　10分 （3），， ， 又余弦函数在上单调，，即平分，　　　　　　　　11分 又，，①， 又，，②， 由①②可得， 所以　　　　　　　　13分 ，　　　　　　　　15分 又，且为锐角三角形，， ，，．　　　　　　　　17分 19．（17分） （1）连接，在中，由余弦定理得， ，所以，所以， 又因为四边形为平行四边形，所以，即，　　　　　　　　1分 因为平面，平面，所以，　　　　　　　　2分 又，，平面，所以平面．　　　　　　　　3分 （2）在平面中，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，平面，所以， 又，，平面，所以， 又平面，平面， 平面平面， 所以为二面角的平面角，　　　　　　　　5分 因为平面，平面，所以， 则在中，，　　　　　　　　7分 因为底面，平面，所以， 在中，， 又为棱的中点，所以， 所以，则，所以， 在中，，所以， 设，在中，由余弦定理得，， 所以．　　　　　　　　10分 （3）ⅰ．正弦值的取值范围为　　　　　　　　14分 （写对一边给2分） ⅱ．将，在同一平面展开，将沿对称得， 点沿对称得， 则，当且仅当，，在同一直线上时，取得最小值， 所以， 当，，在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示， 则， 故的最小值为．　　　　　　　　17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（下）期末调研试题 高一年级数学试卷 命题：五中     校对：五中 时间：120分钟    分数：150分 试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－11题58分） 第二部分：非选择题型（12－19题92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则（ ） A． B．或 C． D．或 4．设，是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论中正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则 C．若复数满足，则的最大值为3 D．若（），则 10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A．的图像关于点对称 B．的图像关于直线对称 C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 11．已知正四棱柱中，，则（ ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的半径为 D．三棱锥的内切球的半径为 第Ⅱ卷（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，，则_______． 13．已知函数的一个零点是，则的最小值是_______． 14．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根． （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16．（15分）已知正四棱柱中，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知函数． （1）若，函数为偶函数，求的最小值； （2）若在上恰有4个零点，求的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 18．（17分）在锐角中，，，所对边的长分别是，，．已知， （1）求角； （2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由； （3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，，分别是棱，上的点（含端点）． （1）证明：平面； （2）若为棱的中点，且二面角的正切值为，求； （3）设点是边上的点（含端点）， i．连接，求与面所成角的正弦值的取值范围（直接写结果）； ii．求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $