精品解析：云南德宏州芒市第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

芒市第一中学2026年春季学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. -9 B. 9 C. -4 D. 4 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（    ） A. B. C. D. 7. 小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 月跑步里程出现波动性 B. 月跑步里程最大值出现在10月 C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 8. 某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 10. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 11. 正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（ ） A. 平面平面 B. 该正八面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 13. 正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 14. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人组成“星对”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为.在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响. （1）求乙每轮投中的概率； （2）求“星对”在两轮活动中投中3个球的概率. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在正三棱柱中，点是的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 18. 随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； （2）若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 19. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芒市第一中学2026年春季学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. -9 B. 9 C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依据，直接计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：D 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法及共轭复数即可求解. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选:A. 3. 袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型直接得解. 【详解】由题可得取到红球的概率为. 故选：C 4. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A. 80 B. 100 C. 192 D. 200 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以． 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 6. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由，得，即. 由余弦定理得. 中，，所以. 7. 小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 月跑步里程出现波动性 B. 月跑步里程最大值出现在10月 C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由折线图知，月跑步里程互不相同，出现波动，A正确； 对于B，月跑步里程最大值出现在10月，B正确； 对于C，月跑步里程数从小到大排列分别是2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月， 因此5月份对应的里程数为中位数，C正确； 对于D，1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，D错误． 8. 某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ） A. 这组数据的极差为7 B. 这组数据的众数等于中位数 C. 这组数据的下四分位数为8 D. 这组数据的方差为 【答案】AC 【解析】 【详解】将原始数据按从小到大排序：， 所以这组数据的极差为，故A正确； 这组数据的众数为，这组数据的中位数为，故B不正确； 由于，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确； 这组数据的平均数为，所以方差,故D不正确 10. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故错误； 对于B，若，则，故错误； 对于C，若A与B相互独立，则与也相互独立， 所以，故正确； 对于D，，可得， 所以，则A与B相互独立，故正确. 11. 正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（ ） A. 平面平面 B. 该正八面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线面平行结合面面平行判定定理判断A，再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计算判断B，运用二面角定义得到即二面角的平面角，再结合余弦定理求解判断C，根据线线平行得出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可判断D. 【详解】对于A，由正八面体的性质，，平面，平面，所以平面， 又因，平面，平面，故平面， 又平面，故平面平面，故A正确； 对于B，连接，，设，则即该正八面体的外接球的半径， 因，则该正八面体的外接球的表面积为：，故B正确； 对于C，取中点，连接易得，则即二面角的平面角， 因正八面体的棱长为5，则， 由余弦定理，可得，故C正确； 对于D，因，故为异面直线与所成的角， 又因， 由余弦定理，， 则，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量计算公式结合题设可得答案. 【详解】根据投影向量定义知：在上的投影向量为. 13. 正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求底面的外接圆半径，再结合正三棱柱性质求外接球半径和表面积. 【详解】如图所示，设底面正的中心为，正三棱柱的外接球球心为， 由正弦定理可得底面的外接圆半径， 由正三棱柱性质可知，则外接球半径， 所以所求外接球的表面积为. 14. 如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人组成“星对”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为.在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响. （1）求乙每轮投中的概率； （2）求“星对”在两轮活动中投中3个球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的定义列方程即可求得乙每轮投中的概率为； （2）由互斥事件的加法公式计算可得. 【小问1详解】 设甲、乙每轮投中的概率分别为，已知， 则； 即乙每轮投中的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 则“星对”在两轮活动中投中3个球的概率为 . 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，进而可求； （2）由向量数量积及（1）可求得的值，进而计算可求三角形面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以，所以，所以； 【小问2详解】 由，可得，即， 由（1），，所以， 所以. 17. 如图，在正三棱柱中，点是的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）连接，交于点，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，所以为中点. 又点是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）正三棱柱中，为正三角形，且平面. 因为点是的中点，所以. 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； （2）若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】（1）； 平均数为74（分）；中位数为分 （2）288 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. 【小问2详解】 由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. 【小问3详解】 由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 19. 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，所以，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由平面，得到是直线与平面所成角，在直角中，即可求解； （3）设点到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以， 在直角中，可得， 因为，所以. 【小问3详解】 解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形， 所以，且， 所以， 因为，所以， 设点到平面的距离为，由，可得， 即，解得， 所以点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $