精品解析：宁夏永宁上游高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间:120分钟 分值:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的. 1. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【详解】解：样本数据14，16，18，20，21，22，24，28，共8个， ，由于位置非整数，取第6和第7个值的平均， 故第三四分位数为． 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 设，向量，，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B． 考点：1.向量的数量积；2.向量的模． 4. 设，，若，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 7. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理易得，，进而结合空间向量夹角公式求解即可. 【详解】以为基底，则，， 则， ， ， 所以， 则直线所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案． 【详解】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以 所以． 故选：B． 【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】ABD 【解析】 【详解】任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确； 对于B，由题意得，得到，，故B正确； 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽，故C错误； 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为，方差为，故D正确. 10. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 异面直线与间的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】要解决这道正方体中的空间几何问题，我们需要利用空间向量、异面直线所成角、线面角、点到直线的距离以及异面直线间的距离等相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A选项，在正方体中， 即为异面直线与所成角， 因为,所以为等边三角形， 因此，故A正确. 对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影， 那么直线与平面所成角为， 在中，， 则，故B错误. 对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，那么 根据点到直线的距离公式： 又，， 代入可得.故C正确. 对于D选项,由, 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则 令，则，取， 根据异面直线间的距离公式， 又，则，故D正确 故选：ACD. 11. 下列命题为真命题的是（　　） A. 已知，则 B. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量在基底下的坐标，写出关于的线性组合，再整理成关于的一个线性组合，即得向量在基底下的坐标. 【详解】因向量在基底下的坐标是， 则， 故向量在基底下的坐标是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． （1）求角 ； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【小问1详解】 已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 16. 滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下： 组 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 组 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51 改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和 （1）求； （2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）． 【答案】（1）， ，， （2）当时，，， ， ， 应用技术1后，土壤可溶性盐含量没有显著降低， 当时，，， ， ， 应用技术2后，土壤可溶性盐含量显著降低． 【解析】 【分析】（1）借助平均数与方差公式计算即可得； （2）计算出、、与即可得. 【小问1详解】 ，， ，. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，根据已知证得、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）向量法求点面距离即可. 【小问1详解】 在直角梯形中，过作于， 因为，，且， 所以四边形为正方形，可得，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 在中，所以，即， 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 已知平面的一个法向量为，平面外一点， 在平面上任取一点，所以， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 【答案】（1），平均成绩为77.5 （2） （3）首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式求出平均成绩； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算至少有名学生成绩在的概率； （3）需要分别计算甲与乙、甲与丙、乙与丙参加首场比赛时甲获胜的概率，再进行比较. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率． 【小问3详解】 若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大． 19. 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点． 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面平面， 所以平面； （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取, 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 解得，因为，故不满足题意， 所以不存在点使得平面与平面所成的二面角的正切值为 【解析】 【分析】（1）找平面外直线与平面内一条直线平行来证明线面平行，利用中点得到中位线从而构造平行四边形． （2）根据二面角的平面角确定点的空间坐标，建立空间直角坐标系，用向量法求平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角的余弦绝对值即得线面角的正弦值． （3）假设存在点并设参数表示坐标，分别求出两个平面的法向量，用法向量夹角余弦的平方等于二面角平面角余弦的平方建立方程，解出参数不在范围内判断不存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在图1中，且，在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 又因为平面，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，则有，取 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间:120分钟 分值:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的. 1. 样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（　　） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 设，向量，，且，则 A. B. C. D. 4. 设，，若，则k的值是（ ） A. B. C. 3 D. 5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 10. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 异面直线与间的距离为 11. 下列命题为真命题的是（　　） A. 已知，则 B. 已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 在中，，，，则__________． 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． （1）求角 ； （2）若，，求的面积． 16. 滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一，如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源，成为摆在我们面前的世界级难题．对盐碱的治理方法，研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大，且能降低滨海盐碱地30-60cm土壤层可溶性盐含量的技术，为了对比两种技术治理盐碱的效果，科研人员在同一区域采集了12个土壤样本，平均分成两组，测得组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差，B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数，方差．用技术1对组土壤进行可溶性盐改良试验，用技术2对组土壤进行可溶性盐改良试验，分别获得改良后土壤可溶性盐含量数据如下： 组 0.66 0.68 0.69 0.71 0.72 0.74 组 0.46 0.48 0.49 0.49 0.51 0.51 改良后组、组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为和，样本方差分别记为和 （1）求； （2）应用技术1与技术2土壤可溶性盐改良试验后，土壤可溶性盐含量是否有显著降低？（若，则认为技术能显著降低土壤可溶性盐含量，否则不认为有显著降低）． 17. 如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 19. 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $