精品解析：宁夏永宁上游高级中学2025-2026学年高一第二学期月考（二）数学试题

永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期月考（二） 高一数学试题 班级： 姓名： 学号： 时间:120分钟 分值:150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 3. 在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（ ） A. 250 B. 220 C. 30 D. 20 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A. 据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 7. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 B. 从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“恰好摸出1个红球”，事件“恰好摸出2个红球”，则事件与事件是互斥事件 C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是； D. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 10. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 一定有 11. 已知正方体，分别为，的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与直线所成角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为_________． 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 14. 如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 16. 甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． （1）求这组数据的分位数； （2）求这组数据的平均数和标准差； （3）求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A的大小； （2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 18. 为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生又参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. （1）估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 19. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期月考（二） 高一数学试题 班级： 姓名： 学号： 时间:120分钟 分值:150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 故复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，. 选项A，因为事件可能同时发生，即，所以不是对立事件，故A错误； 选项B，，即B正确. 选项C，第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误. 选项D，由A项知，即两者并不互斥，故D错误. 3. 在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（ ） A. 250 B. 220 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的每层中抽取样本比例相同，列式计算即可. 【详解】设本科生抽取的人数为人，由分层抽样每层中抽取样本比例相同， 可得，解得. 故选：. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若，则或者相交或者异面，故A正确， 对于B,若则或者，故B错误， 对于C, 若，则或者或者相交，故C错误， 对于D, 若，则,D正确， 故选：D 5. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：D. 6. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A. 据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数以及方差计算公式可得，由平均数性质可得A正确，由方差性质计算可得B错误，计算易知C正确，结合平均数与方差公式计算可得D正确. 【详解】依题意可得； 对于A，易知，即A正确； 对于B，依题意， 所以数据的方差为，即B错误； 对于C，由可得，即C正确； 对于D，由可得，‘ 即， 可得，即D正确. 故选：B 7. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，计算出 ，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标. 【详解】因为, 所以 ， 将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转， 得到 化简得 ， 所以P点坐标为； 故选：C. 8. 如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，， ，，，分别为所在棱的中点，则，， ，又平面，平面， 平面. ，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又， 平面平面. 是侧面内一点，且平面， 点必在线段上. 在中，. 同理，在中，可得， 为等腰三角形. 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长. ，. 线段长度的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 B. 从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“恰好摸出1个红球”，事件“恰好摸出2个红球”，则事件与事件是互斥事件 C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是； D. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据频率分布直方图的特点可判断中位数与平均数位置，比较大小；B选项，根据互斥事件积事件概率为0的特点判断；C选项，利用古典概型的计算公式计算即可；D选项，根据平均值与数据个数计算数据总和． 【详解】根据频率分布直方图的特点，中位数在面积为0.5的分界点，而平均数则会偏移到长拖尾一边，故平均数比中位数大，A错误； 事件“摸出一个红球，两个白球”；事件“摸出两个红球，一个白球”，，故两个事件为互斥事件，B正确； 根据古典概型的计算公式可知概率为，C错误； 由方差公式可知，共有20项，且平均数为3，故样本数据总和等于，D正确． 10. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 一定有 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 11. 已知正方体，分别为，的中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与直线所成角的大小为 D. 直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可判断A；连接，取中点，设正方体的棱长为2，在中由余弦定理求出可判断B；设正方体的棱长为2，直线与直线所成的角即为，求出可判断C；连接、相交于点，利用线面垂直的判定定理得即为与平面所成的角，设正方体的棱长为2，求出可判断D. 【详解】对于A，因为平面，平面，，平面， 所以与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，取中点，连接，可得， 所以平面，设正方体的棱长为2， 则，， ，， 由余弦定理得， 所以，所以，故B正确； 对于C，由B，，，所以， 设正方体的棱长为2， 所以直线与直线所成的角即为与直线所成的角，即为， 因为，平面，所以， 即直线与直线所成角的大小为， 故C正确； 对于D，连接，因为分别为，的中点，所以， 连接、相交于点，则，因为平面， 平面，所以，且，平面， 所以平面，所以等于与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，则，， 所以，，所以， 所以与平面所成的角大小为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件的概率计算公式和独立事件的乘法公式即可得到答案. 【详解】设事件为院校A，B至少有一所被选择，则其对立事件为两人均选择院校， 甲选择院校的概率为，乙选择院校的概率为， 则甲乙同时选择院校的概率为， 则. 则院校A，B至少有一所被选择的概率为. 故答案为：. 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 【答案】2.14 【解析】 【详解】由题意，总体的均值为， 根据分层抽样的性质，则总体的方差为 . 14. 如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为______. 【答案】3 【解析】 【分析】取的中点为，连接，，证明平面，所以为与平面所成的角，在直角三角形中求解即可. 【详解】 在正三棱柱中，设的中点为，连接，， 平面，平面， 所以，，， 平面，平面， 则平面，所以为线段在平面内的射影， 为与平面所成的角， 所以，所以在中，. 故答案为：3 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得证； （2）设，首先证明即为二面角的平面角，再由解三角形的知识求解即可得答案. 【小问1详解】 在正方体，且， ∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵在正方形ABCD中，设，连接， ∴，， ∵中，，∴为等腰三角形，∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴，即二面角的正弦值为. 16. 甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． （1）求这组数据的分位数； （2）求这组数据的平均数和标准差； （3）求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 【答案】（1）10.5 （2）10， （3）6个， 【解析】 【分析】（1）利用总体百分位数的估计求解分位数即可. （2）利用平均数公式求解平均数，利用标准差公式求解标准差即可. （3）结合题意求出和，再求出其中的零件个数和百分比即可. 【小问1详解】 因为， 所以这组数据的分位数为． 【小问2详解】 由题意得， 由标准差公式得． 【小问3详解】 由题意得， 则零件重量位于和之间的有，共6个， 可得所占的百分比是． 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A的大小； （2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出或； （2）由得到，故，以由（1）知，，且，由余弦定理，由基本不等式得，求出，得到面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，， 则有， 因为在△ABC中，， 所以化简得：， 又，解得：或； 【小问2详解】 由得：， 则，从而， 因为A为钝角，所以由（1）知，，且， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 又b，c可以无限接近0，所以， 从而， 故△ABD面积的取值范围为． 18. 为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生又参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. （1）估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 【答案】（1） 分 （2）分 （3）选择方案二，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算成绩大于或等于分的学生频率，再求频数即得结果； （2）根据组中值计算平均数； （3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案. 【小问1详解】 平均成绩为： 因此该 名学生平均成绩为 分. 【小问2详解】 依题意 ，即求第 90 分位数 频率分布直方图中,分数在 的频率为 分数在 的频率为 可知第 分位数在 内, 不妨设其为 ，所以 解得 , 取整可知至少 分才有参赛资格. 【小问3详解】 5道备选题中,甲会的3道题分别记为 ,不会的记为 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有 共5种,抽中会的 ,有3种，那么参加复赛的概率为 方案二： 学生甲从 5 道题中任抽 3 道,结果如下： 共10种, 至少会 2 道题的, 有 7 种情况 那么参加复赛概率为 ，因为. 所以选择方案二,可让学生甲进入复赛概率更大. 19. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【小问1详解】 点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； 【小问2详解】 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $