2.3 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3一元二次方程的根与系数的关系 知识归纳与题型总结 考点01 一元二次方程的根与系数的关系 1. 对若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 2. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 考向01 一元二次方程的根与系数的关系 【例1】已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 【对点1】已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 一、选择题 1．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 2．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 3．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 6．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 7．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 【答案】B 【分析】一元二次方程的两个根，，则满足，． 【详解】解： 原方程为 ，移项整理得一般形式： ． 其中 ， ，， ∴ ，即方程有两个实数根， ∴两根之和为，两根之积为， 解方程得，， 故：，， 对比选项，只有B说法正确． 8．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 9．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 10．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 二、填空题 11．已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 【答案】1 【分析】已知一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ， ∴. 12．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 13．设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 14．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 15．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 三、解答题 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 17．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 20．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3一元二次方程的根与系数的关系 知识归纳与题型总结 考点01 一元二次方程的根与系数的关系 1. 对若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 2. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 考向01 一元二次方程的根与系数的关系 【例1】已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【对点1】已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 一、选择题 1．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 7．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 8．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 9．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 12．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 13．设m，n是方程的两实数根，则______． 14．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 15．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 三、解答题 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 17．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 20．关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $