专题07 平方根与立方根 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册.

专题07平方根与立方根 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.算术平方根：定义、双重非负性、基础公式、求值 2.平方根：定义、开平方、性质、相反数参数模型、辨析 3.立方根：定义、开立方、符号性质、恒等变形 4.综合应用：非负性求值、几何应用题、根式估算 ✅本章节遵循 “单一概念→对比区分→综合运用” 的学习逻辑，先依次拆解算术平方根、平方根、立方根的核心概念与运算规则，再横向对比两类开方的异同，最后结合代数非负性、几何实际场景完成综合题型训练，由浅入深、层层递进搭建完整开方知识体系。 ✺学习目标 基础识记：1.复述算术平方根、平方根、立方根定义，规范书写根号符号，区分平方根、立方根书写差异。2.牢记被开方数取值范围：平方根被开方数a≥0，立方根被开方数可取全体实数。3.明确互逆运算关系：平方⟺开平方、立方⟺开立方；统一识记：0 的算术平方根、平方根、立方根均为 0。 理解运用：1.熟练掌握算术平方根双重非负性，会判断根式有无意义、求解字母取值范围。2.掌握 “正数两个平方根互为相反数”，能列方程求解参数基础题，规范书写完整解题步骤。3.清晰区分和 的适用条件与运算结果，规避计算易错点。4.掌握开平方、开立方标准书写步骤，独立完成基础根式计算；会利用和﹣简化负数立方根。 综合素养：1.掌握“多个非负数相加和为 0，则每一项均为 0” 标准解题模型，养成分步书写答题习惯。 2.结合正方形、正方体几何场景，利用根式求解边长、棱长，主动舍去无意义负长度。 3.掌握简单根式估算方法，建立类比辨析思维，自主区分平方根、立方根易混淆概念。形成规范代数书写习惯，为后续二次根式、实数混合运算打好基础。 ✺题型归纳 题型1.求一个数的算术平方根 题型2.利用算术平方根的非负性解题 题型3.估计算术平方根的取值范围 题型4.无理数整数部分的有关计算 题型5.与算术平方根有关的规律探索 题题型6.算术平方根的实际应用 题型7.平方根概念理解 题型8.求一个数的平方根 题型9.求代数式的平方根 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 题型11.利用平方根解方程 题型12.立方根概念理解 题型13.求一个数的立方根 题型14.已知一个数的立方根，求这个数 题型15.与立方根有关的规律探索 题型16.立方根的实际应用 题型17.算术平方根和立方根的综合应用 题型18.计算器——平方根和立方根 题型19.程序设计与实数运算 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、算术平方根 1.算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0。 几何引入：已知正方形面积a，求边长，边长只能取算术平方根。 2.符号表示：a的算术平方根记作，读作 “根号a”，a叫做被开方数。 3. 必考核心：双重非负性 ① 被开方数非负：a≥0；负数不能作为被开方数， ② 算术平方根结果非负：a​≥0。 易错警示：先判断被开方数符号，负数不存在算术平方根。 4.基础恒等式 =a(a≥0) 文字解读：一个非负数算术平方根的平方，等于这个数本身。 5. 算术平方根的估算 要估算“(a≥0)”的值，第一步先确定被估算数的整数范围，如＜7＜，所以2＜＜3；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续，即可估算“”的近似值。 知识点二、平方根 1.平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）。 例如：2和﹣2是4的平方根，简记为±2是4的平方根。 2.平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用符号﹣表示.所以正数a的平方根可以用符号±表示.读作“正、负根号a”. 例如：±=±6 3. 平方根三条性质 ◆ 正数有两个平方根，二者互为相反数； ◆ 0只有一个平方根，是0本身； ◆ 负数没有平方根。 4.开平方及步骤 ◆求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；平方与开平方互为逆运算。 ▶步骤 1：判断被开方数正负，负数直接写 “无平方根”； 步骤 2：正数先求出对应的算术平方根； 步骤 3：完整平方根结果必须标注±；0 的平方根直接写 0。 5. 核心模型：正数两平方根互为相反数 一个正数的两个平方根相加等于 0，据此列方程求字母参数。 6.算术平方根与平方根对比辨析表 对比维度 算术平方根a​ 平方根±a​ 取值个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个 表示方法 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为± 取值范围 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负，互为相反数。 内在联系 （1） 只有非负数才有平方根和算术平方根，即≥0，a≥0； （2） 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根； （3） 0的平方根与算术平方根均为0. 知识点三、立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。 几何引入：已知正方体体积a，求棱长，棱长为。 2.立方根的表示方法 一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，，其中a是被开方数，3是根指数。 例如：表示8的立方根，=2；表示﹣8的立方根，=﹣2. 中的根指数3不能省略。 3.立方根完整性质 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. 开立方及步骤 ◆求一个数的立方根的运算叫做开立方；立方与开立方互为逆运算。 ★开立方时，被开方数可以是正数、负数或0 ▶步骤 1：观察被开方数正负； 步骤 2：找到对应完全立方数； 步骤 3：负数可将负号移至根号外简化计算。 知识点四、平方根、立方根区别与联系 对比项目 平方根 立方根 正数 两个平方根且互为相反数 一个立方根且为正数 负数 无平方根 一个立方根且为负数 1 ±1 1 表示方法 ±(a≥0) 联系 逆运算：都与相应的乘方运算互为逆运算。 0的平方根和立方根都是它本身。 ✺题型精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1．下列实数中，属于无理数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．是整数，属于有理数； B．开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； C．，是整数，属于有理数； D．是分数，属于有理数． 2．当时，代数式的值是________． 【答案】3 【详解】解：当时，． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)70 (2)1600 (3)0.03 (4)1.8 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可． 【详解】解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 2．已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 3．若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据非负数的性质即可求解； （）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴． 2．若为正整数，且满足，则______． 【答案】3 【详解】解：∵ ，而为正整数，且满足， ． 3．（1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题围绕算术平方根的大小估算展开，要清楚一个正数的算术平方根介于两个整数或两个小数之间的判断方法，即通过比较被开方数与整数或小数平方数的大小来确定． （1）利用夹逼法估算即可； （2）分别计算出3.1和3.2的平方即可判断； （3）分别计算出3.15、3.16和3.17的平方即可求解． 【详解】解：（1）因为， 所以，即在3和4两个相邻整数之间； （2）， ， 因为 ， 所以， 所以该说法正确； （3）分别计算各选项两边界值的平方： 因为 ， 所以，， 故选： B． 题型4.无理数整数部分的有关计算 1．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 2．的整数部分为_________． 【答案】 【分析】通过比较被开方数与相邻整数的立方大小，确定的取值范围，即可得到其整数部分． 【详解】解：，， 又， ， 即， 的整数部分为． 3．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 题型5.与算术平方根有关的规律探索 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知每个代数式都含，系数是从1开始的连续奇数，据此推导第个代数式即可． 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 2．已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3） 解：；． 题题型6.算术平方根的实际应用 1．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题． 【详解】解：分割图形如下： ∵正方形的面积为， 故这个正方形的边长是：． 2．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】将，代入公式求解，结合速度的实际意义确定为正，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 由实际意义可知，， 因此． 3．如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【答案】(1) (2)解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长为， ， ∴王芳的想法不可行． (3)解：∵一共有5个边长为1的小正方形，组成的大正方形的面积为5， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，根据，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为a，则：， 因为边长为正数，所以． （2）略 （3）略 题型7.平方根概念理解 1．若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数没有平方根, ∴. 故选项中只有满足条件. 2．若是2026的两个平方根（），则的值为___________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出的值． 【详解】解：，是的两个平方根，且， 与互为相反数， ． 3．已知一个正数的两个平方根是和，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】先一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出关于的方程，求解得出的值，再求出的算数平方根即可． 【详解】∵一个正数的两个平方根是和， ∴． 解得：， ∵， ∴4的算术平方根为2． 【点睛】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义和性质，熟知一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 题型8.求一个数的平方根 1．若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 2．81的平方根是________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 3．求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴81的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是． 题型9.求代数式的平方根 1．若 ,则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的值，求出，再利用负整数指数幂的运算法则，得到的值． 【详解】解：， 或（舍去）， ， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了开二次根式以及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握负整数指数幂的运算法则：，是解决本题的关键． 2．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 3．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 1．一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用正数的平方根的性质求解，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出参数的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 整理得 解得， 将代入，得， ∴这个正数为． 2．已知的平方根是，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， ． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0，求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得            这个正数的其中一个平方根为，   这个正数为． 题型11.利用平方根解方程 1．已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵25的平方根为， ∴． 2．已知，则的值为________________． 【答案】5或 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述，x的值为或． 3．解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵ ， ∴； （2）解：∵ ， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵， ∴， （4）解： ∵， ∴． 题型12.立方根概念理解 1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【详解】解：∵立方根等于本身的数为，平方根为本身的数只有0， 故这个数为0. 2．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根解方程，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ， ． 题型13.求一个数的立方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根性质，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意． 2．若，则__________． 【答案】2 【详解】解：， ． ． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 题型14.已知一个数的立方根，求这个数 1．已知，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2或8 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】根据立方根等于本身的数有0，，可得到x的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴或或， 解得：或1或2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为0或2或6． 2．已知的立方根是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴． 解得：． 3．求式中的值： 【答案】 【详解】 题型15.与立方根有关的规律探索 1．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 2.【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 3．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 题型16.立方根的实际应用 1．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 2．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 3．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【答案】 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 题型17.算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 2．若，则x的立方根是_______ 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的定义可求出x的值，再求它的立方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的立方根是3． 故答案为：3． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 题型18.计算器——平方根和立方根 1．用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用计算器求算术平方根，知道计算器各个按键的功能是解决问题的关键． 根据题意，的算术平方根为，所以必须按的键是根号键． 【详解】解： 算术平方根的计算需按根号键 ， 故选： C． 2．利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果是______． 【答案】16 【分析】本题考查的是计算器的使用，熟练掌握计算器的使用是关键．求一个数的立方根的平方，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：， 故答案为：． 3．用计算器求下列各式的近似值：（结果精确到0.001） (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用计算器计算算术平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练使用计算器进行计算． （1）利用计算器进行求解即可得到答案； （2）利用计算器进行求解即可得到答案； （3）利用计算器进行求解即可得到答案； （4）利用计算器进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）． 题型19.程序设计与实数运算 1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 2．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 3．下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，错误． B．，错误． C．，错误． D．，正确． 2．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 3．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 4．下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，逐一判断各选项即可得到错误说法. 【详解】解：对选项A，，9的算术平方根为3，A说法正确，不符合题意. 对选项B，，与互为相反数，B说法正确，不符合题意. 对选项C，表示24的算术平方根，算术平方根为非负数，，C说法错误，符合题意. 对选项D，，9的平方根为，D说法正确，不符合题意. 5．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 6．下列结论正确的是（     ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】根据平方根与立方根的定义和性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、的平方根是，不是，A错误； B、任何实数都有立方根，负数也有立方根，，因此有立方根，B错误； C、立方根等于本身的数有0，1，，不只有，C错误； D、∵，，∴成立，D正确． 7．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 二、填空题 8．已知一个正方体的棱长为，若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为_______． 【答案】 【详解】解：原正方体的棱长为， 原正方体体积为 ， 改变后正方体体积为 ， 设改变后正方体的棱长为， 可得， 解得. 9．用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据计算器显示的结果，使用四舍五入法将其精确到，需看小数点后第四位数字（即万分位）为0，由于，故小数点后第三位（即千分位）数字8不变，即可求解． 【详解】解：计算器显示结果为0.61803399，精确到0.001时， 看小数点后第四位数字是0，， ∴舍去， ∴第三位数字8不变， ∴． 故答案为：． 10．已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 11．已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：的立方根是， ， ， ，即， 是的整数部分， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 12．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 13．若的立方根是，则的平方根是________． 【答案】 【分析】先根据题意可得的值，然后求的平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 14．一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 【答案】4 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， ， 得． 三、解答题 15．已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 16．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 17．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的概念可求出的值，再根据立方根的概念求出的值，把、的值代入中求值，最后根据平方根的概念即可得出答案． 【详解】解：∵为的算术平方根， 又∵的算术平方根为， ∴，解得：， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根为． 18．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即， 的整数部分是3， ， 解得， 综上，，，； （2）解：把代入，， 3的平方根是． 19．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两；；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 20．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)输入的数据可能是负数，理由见解析 (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平方根与立方根 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.算术平方根：定义、双重非负性、基础公式、求值 2.平方根：定义、开平方、性质、相反数参数模型、辨析 3.立方根：定义、开立方、符号性质、恒等变形 4.综合应用：非负性求值、几何应用题、根式估算 ✅本章节遵循 “单一概念→对比区分→综合运用” 的学习逻辑，先依次拆解算术平方根、平方根、立方根的核心概念与运算规则，再横向对比两类开方的异同，最后结合代数非负性、几何实际场景完成综合题型训练，由浅入深、层层递进搭建完整开方知识体系。 ✺学习目标 基础识记：1.复述算术平方根、平方根、立方根定义，规范书写根号符号，区分平方根、立方根书写差异。2.牢记被开方数取值范围：平方根被开方数a≥0，立方根被开方数可取全体实数。3.明确互逆运算关系：平方⟺开平方、立方⟺开立方；统一识记：0 的算术平方根、平方根、立方根均为 0。 理解运用：1.熟练掌握算术平方根双重非负性，会判断根式有无意义、求解字母取值范围。2.掌握 “正数两个平方根互为相反数”，能列方程求解参数基础题，规范书写完整解题步骤。3.清晰区分和 的适用条件与运算结果，规避计算易错点。4.掌握开平方、开立方标准书写步骤，独立完成基础根式计算；会利用和﹣简化负数立方根。 综合素养：1.掌握“多个非负数相加和为 0，则每一项均为 0” 标准解题模型，养成分步书写答题习惯。 2.结合正方形、正方体几何场景，利用根式求解边长、棱长，主动舍去无意义负长度。 3.掌握简单根式估算方法，建立类比辨析思维，自主区分平方根、立方根易混淆概念。形成规范代数书写习惯，为后续二次根式、实数混合运算打好基础。 ✺题型归纳 题型1.求一个数的算术平方根 题型2.利用算术平方根的非负性解题 题型3.估计算术平方根的取值范围 题型4.无理数整数部分的有关计算 题型5.与算术平方根有关的规律探索 题题型6.算术平方根的实际应用 题型7.平方根概念理解 题型8.求一个数的平方根 题型9.求代数式的平方根 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 题型11.利用平方根解方程 题型12.立方根概念理解 题型13.求一个数的立方根 题型14.已知一个数的立方根，求这个数 题型15.与立方根有关的规律探索 题型16.立方根的实际应用 题型17.算术平方根和立方根的综合应用 题型18.计算器——平方根和立方根 题型19.程序设计与实数运算 题型20.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、算术平方根 1.算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0。 几何引入：已知正方形面积a，求边长，边长只能取算术平方根。 2.符号表示：a的算术平方根记作，读作 “根号a”，a叫做被开方数。 3. 必考核心：双重非负性 ① 被开方数非负：a≥0；负数不能作为被开方数， ② 算术平方根结果非负：a≥0。 易错警示：先判断被开方数符号，负数不存在算术平方根。 4.基础恒等式 =a(a≥0) 文字解读：一个非负数算术平方根的平方，等于这个数本身。 5. 算术平方根的估算 要估算“(a≥0)”的值，第一步先确定被估算数的整数范围，如＜7＜，所以2＜＜3；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续，即可估算“”的近似值。 知识点二、平方根 1.平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）。 例如：2和﹣2是4的平方根，简记为±2是4的平方根。 2.平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用符号﹣表示.所以正数a的平方根可以用符号±表示.读作“正、负根号a”. 例如：±=±6 3. 平方根三条性质 ◆ 正数有两个平方根，二者互为相反数； ◆ 0只有一个平方根，是0本身； ◆ 负数没有平方根。 4.开平方及步骤 ◆求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；平方与开平方互为逆运算。 ▶步骤 1：判断被开方数正负，负数直接写 “无平方根”； 步骤 2：正数先求出对应的算术平方根； 步骤 3：完整平方根结果必须标注±；0 的平方根直接写 0。 5. 核心模型：正数两平方根互为相反数 一个正数的两个平方根相加等于 0，据此列方程求字母参数。 6.算术平方根与平方根对比辨析表 对比维度 算术平方根a​ 平方根±a​ 取值个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个 表示方法 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为± 取值范围 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负，互为相反数。 内在联系 （1） 只有非负数才有平方根和算术平方根，即≥0，a≥0； （2） 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根； （3） 0的平方根与算术平方根均为0. 知识点三、立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。 几何引入：已知正方体体积a，求棱长，棱长为。 2.立方根的表示方法 一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，，其中a是被开方数，3是根指数。 例如：表示8的立方根，=2；表示﹣8的立方根，=﹣2. 中的根指数3不能省略。 3.立方根完整性质 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. 开立方及步骤 ◆求一个数的立方根的运算叫做开立方；立方与开立方互为逆运算。 ★开立方时，被开方数可以是正数、负数或0 ▶步骤 1：观察被开方数正负； 步骤 2：找到对应完全立方数； 步骤 3：负数可将负号移至根号外简化计算。 知识点四、平方根、立方根区别与联系 对比项目 平方根 立方根 正数 两个平方根且互为相反数 一个立方根且为正数 负数 无平方根 一个立方根且为负数 1 ±1 1 表示方法 ±(a≥0) 联系 逆运算：都与相应的乘方运算互为逆运算。 0的平方根和立方根都是它本身。 ✺题型精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1．下列实数中，属于无理数的是（    ）． A． B． C． D． 2．当时，代数式的值是________． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 2．已知，则______． 3．若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2．若为正整数，且满足，则______． 3．（1）在哪两个相邻的整数之间？ （2）正确吗？ （3）下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4.无理数整数部分的有关计算 1．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 2．的整数部分为_________． 3．阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 题型5.与算术平方根有关的规律探索 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则_________． 3．【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 题题型6.算术平方根的实际应用 1．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 2．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 3．如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 题型7.平方根概念理解 1．若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 2．若是2026的两个平方根（），则的值为___________． 3．已知一个正数的两个平方根是和，求的算术平方根． 题型8.求一个数的平方根 1．若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 2．81的平方根是________． 3．求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 题型9.求代数式的平方根 1．若 ,则 （   ） A． B． C． D． 2．若，则__________． 3．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 1．一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 2．已知的平方根是，则的值是__________． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 题型11.利用平方根解方程 1．已知，则x的值是（     ） A．5 B． C．25 D． 2．已知，则的值为________________． 3．解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型12.立方根概念理解 1．一个数的立方根等于它本身，且这个数的平方根也等于它本身，则这个数是（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 2．化简：______． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型13.求一个数的立方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则__________． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型14.已知一个数的立方根，求这个数 1．已知，则的值为（   ） A．0或1 B．0或2或8 C．0或6 D．0或2或6 2．已知的立方根是，则____________． 3．求式中的值： 题型15.与立方根有关的规律探索 1．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 2.【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 3．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 题型16.立方根的实际应用 1．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 2．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 3．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 题型17.算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 2．若，则x的立方根是_______ 3．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型18.计算器——平方根和立方根 1．用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 2．利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果是______． 3．用计算器求下列各式的近似值：（结果精确到0.001） (1)； (2)； (3) (4)． 题型19.程序设计与实数运算 1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 2．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 3．下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中，不正确的是（     ） A．3是的算术平方根 B．与互为相反数 C． D．平方根是 5．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 6．下列结论正确的是（     ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 7．已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 二、填空题 8．已知一个正方体的棱长为，若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为_______． 9．用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 10．已知实数满足，则的值为_____． 11．已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______． 12．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 13．若的立方根是，则的平方根是________． 14．一个正数的平方根分别是和，则的值为______； 三、解答题 15．已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 16．计算：． 17．已知为的算术平方根，为的立方根，求的平方根． 18．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 19．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 20．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 学科网（北京）股份有限公司 $