精品解析：甘肃省酒泉市肃州区酒泉市第二中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题

酒泉市第二中学2022-2023学年第二学期开学考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（　　） A.                                         B.                                         C.                                         D. 3. 如图，平行于的直线把分成的两部分面积相等，则( ) A. B. C. D. 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志.从而估计该地区有黄羊( ) A. 200只 B. 400只 C. 800只 D. 1000只 6. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是(　　) A. B. C. D. 8. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（）的图像如图所示，下列结论：；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知m是关于x的方程的一个根，则___________． 12. 已知，则的值为_______． 13. 在中，，是的中点，，则______． 14. 抛物线和的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为，则该抛物线的解析式为_________． 15. 两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是___． 16. △ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_____． 17. 已知线段，点C为的黄金分割点，则_____． 18. 一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b>的x的取值范围是___________． 三．解答题（请写出必要的计算步骤或证明过程，其中19题9分、20题4分、21、22、25题各6分，23题、24题各5分，26、27题各8分，28题9分共66分） 19. 解一元二次方程： （1） （2） （3） 20. 计算： 21. 已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在太阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影． （2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，计算的长． 22. 在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BEC∽△ABF； （2）求AF的长． 23. 某班从3名男生和2名女生中随机抽出2人参加演讲比赛，请用树状图或者列表的方式求出所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率． 24. 如图，海中有一个小岛，它的周围海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在岛南偏西的处，往东航行海里后到达该岛南偏西的处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝相交于A，B两点， 已知A（2，5）．求： （1）b和k的值； （2）△OAB的面积． 26. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可以多销售5件． （1）如果每天要盈利1600元，每件应降多少元？ （2）问将售价降多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 27. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形． (2)当∠ACB=30°，菱形OCED的面积为，求AC的长． 28. 已知：m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉市第二中学2022-2023学年第二学期开学考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】∵， ∴，即，. 2. 已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于（　　） A.                                         B.                                         C.                                         D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的锐角为45°求解． 【详解】cosα=cos45°=. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值. 3. 如图，平行于的直线把分成的两部分面积相等，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得答案. 【详解】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ ∵S△ADE＝S四边形BDEC,∴, ∴, ∴ 故答案为. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三 角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方. 4. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 5. 某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志.从而估计该地区有黄羊( ) A. 200只 B. 400只 C. 800只 D. 1000只 【答案】B 【解析】 【分析】根据捕捉40只黄羊，发现其中2只有标志.说明有标记的占到 ，而有标记的共有20只，根据所占比例解得. 【详解】20÷＝400(只). 故选：B. 【点睛】此题考查用样本估计总体，解题关键在于掌握统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息． 6. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标是． 7. 如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形， 故选B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图． 8. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案． 【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示： （2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示： 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：作于R，于S，连接、交于点O． 由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 10. 二次函数（）的图像如图所示，下列结论：；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图象像与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图像与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图像可知：开口向下，即；抛物线与y轴交于负半轴，即，对称轴在y轴的右侧，即， ∴，即且，故⑤正确； ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于不同的两点， ∴，故②正确； 由图象可知：当时，则有，当时，则有，故③错误，④正确； 综上所述：正确的有②④⑤，共3个； 故选B． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知m是关于x的方程的一个根，则___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值． 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 12. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值． 【详解】令 则a=6k，b=5k，c=4k 则 故答案为：． 【点睛】本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法． 13. 在中，，是的中点，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：中，，是的中点，，则， 故答案为：12． 14. 抛物线和的图象形状相同，对称轴平行于y轴，顶点为，则该抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线和的图象形状相同，得出，根据顶点为，写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线和的图象形状相同， ∴， ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，抛物线的顶点式． 15. 两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是___． 【答案】 【解析】 【分析】用列表法即可解决． 【详解】列表如下： 石头 剪子 布 石头 石头，石头 石头，剪子 石头，布 剪子 剪子，石头 剪子，剪子 剪子，布 布 布，石头 布，剪子 布，布 事件总的可能结果数为9，手势相同的有3种，则两人手势相同的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，根据概率计算公式，关键是由图或表中得到事件所有可能的结果数及事件发生的结果数． 16. △ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解． 【详解】 在直角△ABD中，BD=1，AB=2， 则AD===， 则sinA= ==. 故答案是：. 17. 已知线段，点C为的黄金分割点，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：∵线段，C为的黄金分割点， 当时， ∴， 当时， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 18. 一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点，则使kx+b>的x的取值范围是___________． 【答案】x＜﹣1或0＜x＜2． 【解析】 【分析】(1)先把,分别代入反比例函数解析式可求出m、n,于是确定A点坐标为,B点坐标为,然后利用待定系数法求直线AB的解析式; (2)根据函数图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可. 【详解】把,分别代入, 得,,解得,, 所以A点坐标为,B点坐标为, 把,代入得, 解得, 所以这个一次函数的表达式为; 所以，结合函数图象可得：当或时,一次函数的值大于反比例函数的值. 故答案为x＜﹣1或0＜x＜2 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式.也考查了待定系数法求函数解析式. 三．解答题（请写出必要的计算步骤或证明过程，其中19题9分、20题4分、21、22、25题各6分，23题、24题各5分，26、27题各8分，28题9分共66分） 19. 解一元二次方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴， 【小问2详解】 解： ，， ∴， 【小问3详解】 解： 或 ∴， 20. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】分别利用零指数幂、乘方、特殊角三角函数值化简各项，再进行实数的加减运算得出结果． 【详解】解： ． 21. 已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在太阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影． （2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，计算的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据平行投影的性质可先连接，再过点作交地面与点，即为所求； （2）根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【小问1详解】 解：在阳光下的投影是如图所示； 【小问2详解】 在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为， ， ，，， ， ， ， 答：的长为． 【点睛】本题通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求出点D离地面的距离，是平行投影性质在实际生活中的应用． 22. 在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BEC∽△ABF； （2）求AF的长． 【答案】 （1）证明：在矩形ABCD中，有 ∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°， ∵AF⊥BE，∴∠AFB=∠C=90° ∴∠ABF+∠BAF=90° ∴∠BAF=∠EBC ∴△BEC∽△ABF （2）. 【解析】 【详解】试题分析：由矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为DC的中点，由勾股定理可求得BE的长，又由AF⊥BE，易证得△ABF∽△BEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长． 试题解析：（1）略 （2）解：在矩形ABCD中，AB=10，∴CD=AB=10， ∵E为DC的中点，∴CE=5， 又BC=12，在Rt△BEC中，由勾股定理得BE=13， 由△ABF∽△BEC得 即，解得AF= 考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.矩形的性质． 23. 某班从3名男生和2名女生中随机抽出2人参加演讲比赛，请用树状图或者列表的方式求出所抽取的两名学生中至少有一名女生的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，根据树状图结合概率公式即可求解． 【详解】解：画树状图得， 由树状图得共有20种等可能结果，其中所抽取的两名学生中至少有一名女生共有14种结果，所以． 【点睛】本题考查了根据树状图或列表法求概率，熟知概率公式，正确画出树状图或列表，表示出所有等可能结果是解题关键． 24. 如图，海中有一个小岛，它的周围海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在岛南偏西的处，往东航行海里后到达该岛南偏西的处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险． 【答案】无触礁的危险，理由见解析 【解析】 【分析】作高AD，由题意可得∠ACD=60°，∠ABC=30°，进而得出∠ABC=∠BAC=30°，于是AC=BC=20海里，在Rt△ADC中，利用直角三角形的边角关系，求出AD与15海里比较即可． 【详解】解 ：过点A作ADBC，垂足为D ∵∠ ABC= ∠ ACD= ∴∠ BAC==∠ ABC ∴BC=AC=20 ∴ = AD=20=10 所以货船在航行途中无触礁的危险． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确作出高线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝相交于A，B两点， 已知A（2，5）．求： （1）b和k的值； （2）△OAB的面积． 【答案】（1）b=3，k=10；（2）S△AOB=． 【解析】 【详解】（1）由直线y=x+b与双曲线y=相交于A、B两点，A（2，5），即可得到结论； （2）过A作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据y=x+3，y=，得到（-5，-2），C（-3，0）．求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论. 解：（）把代入．∴∴． 把代入，∴， ∴． （）∵，． ∴时，， ∴，．∴． 又∵， ∴ ． 26. 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可以多销售5件． （1）如果每天要盈利1600元，每件应降多少元？ （2）问将售价降多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）36元或4元 （2）20元，2880元 【解析】 【分析】（1）设每件降价x元，则每件盈利元，平均每天可销售件，根据题意列出相应的方程，即可求得如果每天要赢利1600元，每件应降价多少元； （2）设总利润为w元，根据题意可以得到利润与降价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【小问1详解】 解：设每件降价x元，则每件盈利元，平均每天可销售件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴每件应降价4元或36元． 【小问2详解】 解：设总利润为w元， ∵， ∵， ∴当时，w有最大值，此时元． 答：每件应降价20元，每天能获得最大利润，最大利润为2880元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识和二次函数的性质即可解答本题． 27. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形． (2)当∠ACB=30°，菱形OCED的面积为，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AC=4． 【解析】 【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形OCED是菱形． （2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解． 【详解】（1）解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：∵∠ACB=30°， ∴∠DCO=90°-30°=60°． 又∵OD=OC， ∴△OCD是等边三角形． 过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x． 在Rt△DFC中，tan60°=， ∴DF=x． ∴OC•DF=2． ∴x=1． ∴AC=1×4=4． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 28. 已知：m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x+5；（2）15. 【解析】 【分析】（1）首先解方程求得m和n的值，得到A和B的坐标，然后利用待定系数法即可求得解析式； （2）首先求得C和D的坐标，作DE⊥y轴于点E，根据S△BCD＝S梯形OCDE﹣S△DEB﹣S△OBC求解． 【详解】解：（1）解方程x2﹣6x+5＝0， 解得：x1＝1，x2＝5， 则m＝1，n＝5． A的坐标是（1，0），B的坐标是（0，5）． 代入二次函数解析式得： ， 解得：， 则函数的解析式是y＝﹣x2﹣4x+5； （2）解方程﹣x2﹣4x+5＝0， 解得：x1＝﹣5，x2＝1． 则C的坐标是（﹣5，0）． y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x2+4x+4）+9＝﹣（x+2）2+9 则D的坐标是（﹣2，9）． 作DE⊥y轴于点E，则E坐标是（0，9）． 则S梯形OCDE＝（OC+DE）•OE＝×（2+5）×9＝， S△DEB＝BE•DE＝×4×2＝4， S△OBC＝OC•OB＝×5×5＝， 则S△BCD＝S梯形OCDE﹣S△DEB﹣S△OBC＝﹣4﹣＝15． 【点睛】考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，正确作出辅助线转化为易求面积的图形的和、差是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $