精品解析：江苏省徐州市铜山区柳泉镇中心中学2025-2026学年九年级下学期开学数学试题

2025-2026学年度徐州市柳泉镇中心中学九年级开学检测 数学试题 （提醒：本卷共6页，满分为140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件的概率事件包含的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，2个黄球和1个白球，所有球除颜色外无其他差别，随机摸出一个球， ∴所有可能出现的结果总数为，其中摸出红球的结果数为， ∴摸出红球的概率是 ． 2. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可． 【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 3. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表格所示．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 4 人数 6 14 16 12 2 A. 众数是16 B. 中位数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【详解】解：A、由出现次数最多的数据是2册，所以众数是2册，结论错误，故A不符合题意； B、排在最中间的两个数据分别是2和2，所以中位数是2册，结论正确，故B符合题意； C、平均数是（0×6+1×14+2×16+3×12+4×2）÷50=1.8（册），结论错误，故C不符合题意； D、方差= ，结论错误，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数及众数的知识，属于基础题，掌握各自的定义及计算方法是解题关键． 4. 如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（ ）． A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：，分别是和的中点， 是的中位线， ，， ， ， 点是的中点， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理求出是解题的关键． 5. 在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 6. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d． 本题考查了比例线段，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 20 D. 3.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得，从而代入数值求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选B． 8. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，根据勾股定理可得的长，再根据可求出的长． 【详解】解：由题意，是的角平分线； 过点D作于点E， ∴， ∴； ∴； ∵，； ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质及分式的求值， 根据比例关系设参数表示 和 ，代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为 ：4． 10. 小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 11. 若线段a，b，c，d依次成比例线段，且，，，则d为_____cm． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的定义．根据成比例线段的定义，可得比例关系，进而利用比例性质求解． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：15． 12. 若，且，则______ 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：，且 相似比为， ， ， 故答案为：27． 13. 如图，在中， 分别以为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点分别为，连接．证明 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形，标记．则，根据即可求出答案． 【详解】解：如图，设的中点分别为，连接． 在中， ∴．， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴ 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形， 如图，标记． ∵， ∴ 14. 已知圆柱的底面半径长为，高为，则这个圆柱的侧面积________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆柱的底面周长，再利用圆柱侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意得，圆柱底面半径长为，高为， 故圆柱底面周长为，圆柱侧面积为． 15. 如图，四边形四边形．则（即）的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题的关键．根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得， 故答案为：． 16. 如图，点A，B在上，点C是劣弧的中点，，则的大小为______ ． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由点是劣弧的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵点C是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共84分） 17. 解方程和计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的运算，掌握解一元二次方程的方程，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，计算即可． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为； （2）以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为； （3）在边上求作点M，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，画位似图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据A、B的坐标确定原点的位置以及x、y的轴的位置，然后建立坐标系即可； （2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以2得到的坐标，再顺次连接即可； （3）取格点P、Q，连接交于M，点M即为所求 【小问1详解】 解：如图所示坐标系即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，取格点P、Q，连接交于M，点M即为所求； 易证，则，即． 19. 如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，． （1）______度； （2）求证：； （3）点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为______； （4）当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的定义求解即可； （2）利用余弦函数的定义推出，根据，得到，即可证明； （3）过点作于，由（2）知，推出点在过点且垂直于的垂线上，当，即点与点重合时，线段有最小值，过点作于，据此求解即可； （4）求得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于， ∵， ∴， ∴点在过点且垂直于的垂线上， ∴当，即点与点重合时，线段有最小值， 过点作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20. 已知交于点． （1）试说明 （2）若， 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，，即可证明； （2）根据（1）的相似三角形的性质，得出，可求出的长． 【小问1详解】 证明：， ∴，， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题关键． 21. 主题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度 素材：标杆、皮尺等测量工具 步骤1：如图，阳光明媚的一天，青青站在旗杆在阳光下的影子末端处，同一时刻青青的影子为，她的身高，测得； 步骤2：在处竖立了一根高2米的标杆．发现地面上的点、标杆顶端和旗杆顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 说明：已知，，，点、、、、在同一条直线上，且点、之间存在障碍物，无法直接测量． 计算：请根据以上信息计算旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，可证明，推出，再证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 又∵，， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆的高度为． 22. 如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合夹角相等即可证明； （2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 23. 如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据已知条件将抛物线化为交点式，再将式子展开后与抛物线表达式进行对比，得到，再将代入原式得到抛物线的表达式即可； （2）先求出相关点坐标和直线的表达式，再分情况讨论为等腰直角三角形的情况，最终得到点E的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度徐州市柳泉镇中心中学九年级开学检测 数学试题 （提醒：本卷共6页，满分为140分，考试时间为90分钟；答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效） 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）． A. B. C. D. 3. 每年的4月23日是世界读书日．某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表格所示．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） 册数 0 1 2 3 4 人数 6 14 16 12 2 A. 众数是16 B. 中位数是2 C. 平均数是2 D. 方差是1 4. 如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（ ）． A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 5. 在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A. B. C. D. 6. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 20 D. 3.2 8. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 已知，则______． 10. 小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 11. 若线段a，b，c，d依次成比例线段，且，，，则d为_____cm． 12. 若，且，则______ 13. 如图，在中， 分别以为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． 14. 已知圆柱的底面半径长为，高为，则这个圆柱的侧面积________（结果保留）． 15. 如图，四边形四边形．则（即）的长为________． 16. 如图，点A，B在上，点C是劣弧的中点，，则的大小为______ ． 三、解答题（共84分） 17. 解方程和计算 （1） （2）． 18. 如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上． （1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为； （2）以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为； （3）在边上求作点M，使得． 19. 如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，． （1）______度； （2）求证：； （3）点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为______； （4）当时，直接写出线段的长． 20. 已知交于点． （1）试说明 （2）若， 求的长． 21. 主题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度 素材：标杆、皮尺等测量工具 步骤1：如图，阳光明媚的一天，青青站在旗杆在阳光下的影子末端处，同一时刻青青的影子为，她的身高，测得； 步骤2：在处竖立了一根高2米的标杆．发现地面上的点、标杆顶端和旗杆顶端在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 说明：已知，，，点、、、、在同一条直线上，且点、之间存在障碍物，无法直接测量． 计算：请根据以上信息计算旗杆的高度． 22. 如图，在中，点D是上一点，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $