精品解析：河南省南阳市宛城区汉冢中学2022-2023学年八年级上学期学科竞赛数学试卷

汉冢中学2022年秋学期学科竞赛 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的立方根是（ ） A. 8 B. 2 C. ±8 D. ±4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出=8，再求出8的立方根即可． 【详解】∵=8， ∴的立方根是. 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（a≥0）的平方根是，a的立方根是. 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】现将各数进行化简，然后根据无理数与有理数的分类进行判断即可得． 【详解】解：A、无理数； B、分数是有理数； C、有限小数是有理数； D、，是有理数； 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数与无理数的分类，理解如何区分有理数与无理数是解题关键． 3. 计算的结果为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：原式 故选B. 4. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义及其特征是解答的关键．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、是因式分解，故此选项符合题意； D、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可 【详解】A．和不是同类项，不能合并，此选项错误； B．和不是同类项，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键． 6. 若是完全平方式，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方式的特点，根据完全平方式的结构，将已知多项式与标准形式对比，确定参数值即可． 【详解】解：多项式 为完全平方式， ∴， 解得：或； 的值为7或， 故选：D． 7. 下列命题中，假命题是（ ） A. 一个三角形三条边确定，那么这个三角形的形状就被唯一确定 B. 如果两个三角形的面积和周长都相等，那么这两个三角形全等 C. 等腰三角形底边上的中线平分顶角 D. 三角形外角可以是一个锐角 【答案】B 【解析】 【分析】利用确定三角形的条件判断A；根据三角形全等的判定判断B；利用等腰三角形三线合一判断C；利用三角形外角的概念判断D． 【详解】解：A、一个三角形三条边确定，那么这个三角形的形状就被唯一确定，正确，是真命题，不符合题意； B、如果两个三角形它们的面积和周长都相等，那么这两个三角形全等，错误，是假命题，符合题意； C、等腰三角形底边上的中线平分顶角，正确，是真命题，不符合题意； D、三角形外角可以是一个锐角，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定三角形的条件、三角形全等的判定，等腰三角形的三线合一和三角形的外角的定义，注意三角形按角的分类和三线合一是易错点． 8. 如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可； 【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积， 阴影部分的面积是4个小长方形的面积和， 阴影部分的面积， ． 9. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠A的度数为（　　） A. 25° B. 45° C. 50° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可． 【详解】解：由题意可得：MN垂直平分BC， 则DC＝BD， 故∠DCB＝∠DBC＝25°， 则∠CDA＝25°+25°＝50°， ∵CD＝AC， ∴∠A＝∠CDA＝50°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出∠DCB=∠DBC=25°是解题关键． 10. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，连接CP．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，然后可得①正确；过P作于M，于N，于S，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形面积公式列式，继而得出②正确；根据三线合一可知③正确；证明平分，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正确． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∵，②正确； ∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），③正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边距离相等是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 若，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案． 【详解】∵ ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键． 12. 若，，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 13. 由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可． 【详解】﹣64x3＋y3 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键． 14. 如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件______，使ΔABC≌ΔDBE．(只需添加一个即可) 【答案】∠BDE=∠BAC（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可： 【详解】∵∠ABD=∠CBE， ∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE． ∵AB=DB， ∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC； ②用“SAS”，需添加BE=BC； ③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB． 故答案为：∠BDE=∠BAC（答案不唯一） 15. 如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为_____．　 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出∥∥，以及，得出，，，进而得出答案； 【详解】如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴∥∥，∥， ∴，， ∴， ∴，，， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和图形规律，准确分析计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共3小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，原式先将中括号内的利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当，时，原式． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，即可求解； （2）先提出公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，即可求解； （3）先提出公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，即可求解； （4）先利用平方差公式法进行因式分解，再提出公因式，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 19. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 【答案】 证明：∵∠1=∠2 即, 在和中， 【解析】 【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，中，，，垂足为D．求作的平分线，分别交于P，Q两点；并证明．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 就是所求的的平分线,就是所求作的点. 【解析】 【分析】根据角平分线的性质作出即可.先根据垂直的定义得出, 故.再根据余角的定义得出, 根据角平分线的性质得出,再由可知，据此可得出结论. 【详解】就是所求的的平分线,就是所求作的点. 证明: ∴, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴. ∵, ∴, ∴. 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键. 22. 如图，P为平分线上一点，于A，于B． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：∵P为平分线上一点，于A，于B， ∴，，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定： （1）角平分线的性质，推出，证明，得到即可； （2）根据，，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证： ①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 【答案】（1） 证明：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． （2） 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了余角的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）①根据证明即可得证． ②根据，利用全等的性质证明即可； （2）根据证明即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉冢中学2022年秋学期学科竞赛 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的立方根是（ ） A. 8 B. 2 C. ±8 D. ±4 2. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为( ) A. B. C. D. 4. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是完全平方式，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 7 D. 7或 7. 下列命题中，假命题是（ ） A. 一个三角形三条边确定，那么这个三角形的形状就被唯一确定 B. 如果两个三角形的面积和周长都相等，那么这两个三角形全等 C. 等腰三角形底边上的中线平分顶角 D. 三角形外角可以是一个锐角 8. 如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠B＝25°，则∠A的度数为（　　） A. 25° B. 45° C. 50° D. 105° 10. 如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，连接CP．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 若，则_________． 12. 若，，则_____． 13. 由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___． 14. 如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件______，使ΔABC≌ΔDBE．(只需添加一个即可) 15. 如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为_____．　 三、解答题（本大题共3小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 20. 如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 如图，中，，，垂足为D．求作的平分线，分别交于P，Q两点；并证明．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，P为平分线上一点，于A，于B． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 23. 如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证： ①； ②； （2）当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $