精品解析： 广东省拔尖创新人才2023-2024学年八年级上学期学科知识竞赛数学试卷（初赛）

2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据垂直的定义计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2. 若，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的运算，求解即可． 【详解】解：由可得， 则， 故选D 【点睛】此题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式运算的法则． 3. 若，，都是负数，并且，则、、中（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 最小 【答案】C 【解析】 【分析】不等式中三个分式的分子与分母的和都相等，考虑这一特点，两边分别加上1并通分，化成同分子的分式，则比较分母，再由分母的大小即可确定、、的大小，从而完成解答． 【详解】解：， ， ， 又、、都是负数， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加法运算，在已知不等式两边都加上1并通分，化成分子相同的分式是解题的关键． 4. 如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，则∠ADF的度数为（　　） A. 54° B. 91° C. 81° D. 101° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF的度数． 【详解】解：∵BC=BD=DA， ∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD， ∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ECF=27°， ∴∠ADF=∠C+∠BAD=3∠ECF=81°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用． 5. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE， 又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB， ∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE=×5×5=12.5， ∴四边形ABCD的面积为12.5， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 6. 如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．由于，那么结合三角形面积公式可得，而，可得出，而是中点，故有，于是可求，从而易求． 【详解】解：如图， ∵，同高， ， ， 是的中点， ∴同理可知， 又，， ， ． 故选：B． 7. 如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　） A. 4S1 B. 4S2 C. 4S2+S3 D. 3S1+4S3 【答案】A 【解析】 【详解】设等腰直角三角形的直角边长为a，中间小正方形的边长为b，则另两个直角三角形的边长分别为a-b，a+b， ∴，，， 平行四边形的面积=2S1+2S2+S3， 故答案选A. 考点：直角三角形的面积. 8. 如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可． 【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG， ∵旋转角为60°， ∴∠MBH+∠HBN=60°， 又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°， ∴∠HBN=∠GBM， ∵CH是等边△ABC的对称轴， ∴HB=AB， ∴HB=BG， 又∵MB旋转到BN， ∴BM=BN， 在△MBG和△NBH中， ， ∴△MBG≌△NBH（SAS）， ∴MG=NH， 根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短， 此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5， ∴MG=CG=， ∴HN=， 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 9. 五条长度均为整数厘米的线段：，，，，，满足，其中厘米，厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，不等式的性质熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．根据三角形的三边关系，利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，由题意， ，，， 三个不等式相加得到：， 化简得到：，即， 因为， 所以只能取或， 当时．则， ∵取整数， ， 此时，与矛盾， ∴舍去， 当时，五条线段可以是，，，，9或，，，，满足题意． 故答案为：． 10. 若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为______． 【答案】3，4，0 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 11. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算出，根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，根据三角形内角和和平角定义得，进而证明，则． 【详解】解：，， ， 为等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 12. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，连接，利用全等三角形将的长转化为的长即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵与关于直线l对称，且是边长为2的等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P在点C位置时，取得最小值为的长度4， 所以的最小值是4． 故答案为：4． 13. 在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 14. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则． 【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H， ∵ 又∵， ∴ ∵，FA=CF ∴ ∴FH=FE ∵ ∵ ∴ 又∵DF=DF ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键． 15. 如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，理解折叠性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形的内角和定理和外角性质求得，由折叠性质和平角定义求得，然后利用三角形的内角和定理求得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】解：∵分别是、平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠使点A落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在中，已知，点分别是边上的点，且．则______． 【答案】． 【解析】 【分析】过B作DE的平行线，交AC于F；由于∠AED=∠CAB=60°，因此△ADE是等边三角形，则∠BDE=120°，联立∠CDB、∠CDE的倍数关系，即可求得∠CDE的度数；然后通过证△EDC≌△FCB，得到∠CDE=∠DCB+∠DCE，联立由三角形的外角性质得到的∠CDE+∠DCE=∠ADE=60°，即可求得∠DCB的度数 【详解】如图，延长到点，使，连接． 易知为等边三角形，则． 又，所以也为等边三角形． 则．，知． 在等边中，由，知，因此，． 【点睛】此题考查构造全等三角形、作平行线、联立倍数关系、全等三角形和三角形的外角性质，解题关键在于作辅助线 三、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简后，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，代数式求值，零指数幂，化简分式是解决本题的关键． 先通分计算括号内加减运算，再计算括号外除法，化为最简分式后，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式 ． 18. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的性质是解题关键．将分式变形为，再计算求值即可． 【详解】解： ． ， 原式． 19. 已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC． 【答案】 证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，如图 ∵CD是△ABC的中线， ∴AD=BD， 在△ADF与△BCD中， ， ∴△ADF≌△BDC（SAS）， ∴∠F=∠BCD，BC=AF， ∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线， ∴CD=BD， ∴∠B=∠BCD， 又∵∠AED=∠B ∴∠AED=∠BCD， ∵△ADF≌△BDC， ∴∠F=∠BCD， ∴∠AED=∠F ， ∴AE=AF， ∵BC=AF， ∴AE=BC． 【解析】 【分析】先通过延长CD到F使DF=CD，连接AF，构造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性质可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代换和等角对等边就可推出AE=BC． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能正确构造出全等三角形是做出本题的重点． 20. 已知和中，，，，与交于点． （1）如图当时求证：； （2）如图，直接写出的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用角的和差关系可得，利用证明，然后根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）由已知条件得到，推出，根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和可得，根据平角定义可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且． （1）直接写出的度数． （2）如图2，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，利用平方差公式分解因式，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，在轴的正半轴上取点，使，连接，再证是等边三角形，则可得出结论． （2）连接，证明，得，再证为等边三角形，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点在轴负半轴上， ，， ， 或， ， ， ， ， 在轴的正半轴上取点，使，连接，如图所示： 点在轴正半轴上， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 即， ， 为等边三角形， ， ． 22. 如图，∥． （1）如图，若，，求的度数； （2）如图，若，，，若，则与的数量关系是______．请写出理由． 【答案】（1） （2） 解：， 理由：连接并延长， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ，，， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，，，再利用角的和差关系以及等量代换进行计算，即可解答； （2）连接并延长，先利用三角形的外角性质可得，，从而利用角的和差关系以及等量代换可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得，最后利用平行线的性质可得，再利用等量代换进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的度数和为； 【小问2详解】 略 23. 如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 解：，证明如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2），或，． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，或，时，与全等，理由如下： 若， 则，， ， 解得，， 则． 若， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则等于( ) A. B. C. D. 3. 若，，都是负数，并且，则、、中（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 最小 4. 如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，则∠ADF的度数为（　　） A. 54° B. 91° C. 81° D. 101° 5. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（　　） A. 15 B. 12.5 C. 14.5 D. 17 6. 如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 7. 如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　） A. 4S1 B. 4S2 C. 4S2+S3 D. 3S1+4S3 8. 如图，边长为5的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 9. 五条长度均为整数厘米的线段：，，，，，满足，其中厘米，厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则______． 10. 若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为______． 11. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是______． 12. 如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是______． 13. 在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是_______．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 14. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______． 15. 如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则______． 16. 在中，已知，点分别是边上的点，且．则______． 三、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简后，再求值：，其中． 18. 已知，求的值． 19. 已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC． 20. 已知和中，，，，与交于点． （1）如图当时求证：； （2）如图，直接写出的度数为______（用含的式子表示）． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设，且． （1）直接写出的度数． （2）如图2，点为的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，若，求点的坐标． 22. 如图，∥． （1）如图，若，，求的度数； （2）如图，若，，，若，则与的数量关系是______．请写出理由． 23. 如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $