01集合专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-关系-运算-应用”为逻辑主线，整合课标要求、题型分类与高考真题，形成“原理提炼-典例验证-素养落地”的闭环训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与表示|3题（含2026上海高考题）|元素三特性（确定性、互异性、无序性）；列举法与描述法转化|从集合含义（实例抽象）到表示方法（自然/图形/符号语言），建立符号意识| |关系与运算|7题（含4道高考题）|子集个数公式（2ⁿ）；德摩根定律；Venn图直观化|从包含关系（子集/真子集）到交并补运算，构建逻辑推理链条| |拓展应用|11题（含参数/新定义/情境题）|参数分类讨论（空集优先）；新定义迁移（如“影子关系”）；容斥原理建模|从数学内部（参数范围）到现实情境（计数问题），培养应用意识与创新意识|

专题一 集合 类型一：集合的含义与表示 1．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 3．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 类型二：集合的基本运算 1．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 类型三：集合间的关系 1．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 2. 满足⫋的集合的个数为（ B   ） A．8 B．7 C．6 D．5 类型四 根据集合的关系求参数范围 1．已知集合，，且，则（ D   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知集合，，若，则的取值范围为__[0，＋∞）____ 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 类型五：集合新定义问题 1．（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ D ） A． B． C． D． 2. 定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为___4___． 3. （2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 类型六：数学情境 1. 〔人A必修一P35〕学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【答案】3人,9人 【详解】解:如图. 设同时参加田径和球类比赛的有x人,则, , 即同时参加田径和球类比赛的有3人, 而只参加游泳一项比赛的有(人). 2. 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为（　C　） A.168 B.172 C.184 D.196 4、 巩固训练 1．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 4．（2026·湖北黄冈·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，集合或， 故或，即． 5．已知集合，．若，则的取值范围是（ A  ） A． B． C． D． 6．（2026·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________. 【答案】 【解析】根据三角不等式，当且仅当时等号成立，所以， 即，解不等式得或，即，所以. 7．已知集合，则（ B  ） A． B． C． D． 8．给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（ ABD   ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 （多选）9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 【答案】AB 【解析】对于A，当时，则，， 由，解得，因此，A正确； 对于B，直线过定点， 表示直线上所有的点，因此，B正确； 对于C，，若，则；若，则直线 与直线平行，且，于是，解得， 因此当或时，，C错误； 对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 集合 课标要求和教材梳理 集合 集合的概念与表示 集合的含义（通过实例） 了解 常用的数集及其记法 元素与集合的关系 理解 在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（针对具体问题） 能 例1用列举法表示集合 例2用描述法和列举法表示集合 全集与空集的含义 了解 集合的基本关系 集合间的包含与相等的含义 理解 子集、真子集 识别给定集合的子集 能 例1写出集合的所有子集，指出哪些是真子集 例2判断集合A是否为集合B的子集 集合的基本运算 两个集合的并集与交集的含义 理解 例1求两个有限集合的并集 例2求两个连续无限集合的并集 求两个集合的并集与交集 能 例3求两个集合的交集（生活情境） 例4求两个集合的交集（两直线位置关系） 在给定集合中一个子集的补集的含义 理解 例5求给定集合（全集）中的某个子集的补集 例6求交集，并集、补集的综合运算（有关三角形分类） 求给定子集的补集 能 使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算 能 体会图形对理解抽象概念的作用 阅读与思考：容斥原理，元素无限集合的个数比较 类型一：集合的含义与表示 (1)集合中元素的三个特性：确定性、 、无序性. (2)元素与集合的关系是 或不属于，表示符号分别为 和 (3)集合的三种表示方法： 、 、 . (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 1．（2026·上海·高考真题T1）已知集合，，则__________． 2．（2023·全国乙卷·高考真题T10）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 3．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 类型二：集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 1．（2026·北京·高考真题T1）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·全国一卷·高考真题T3）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题T1）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题T1）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 类型三：集合间的关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作 (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的 . (3)相等：若A⊆B，且 ，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何 集合的真子集. 常用结论 （1）1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个. （2）注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. （3）A∩B＝A⇔ ；A∪B＝B⇔ （4）.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 1．（2026·上海·高考真题T1）已知集合，，若，则____________. 2．满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 类型四：根据集合的关系求参数范围 1．已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知集合，，若，则的取值范围为______ 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 类型五：集合新定义问题 1．（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 2．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为______． 3．（2025·上海·高考真题T21）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； 类型六：数学情境 容斥原理 （1）card(AB)＝card(A)＋card(B)﹣card(AB)； （2）card(ABC)＝card(A)＋card(B)＋card(C)﹣card(AB)﹣card(BC)﹣card(AC) +card(ABC)． 1．〔人A必修一P35〕学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 2．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为（　　） A.168 B.172 C.184 D.196 巩固训练 1．（2023·上海·高考真题T13）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国二卷·高考真题T2）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考T2）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 4．（2026·湖北黄冈·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海闵行·一模）已知集合对任意恒成立，，则________. 7．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 8．给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 （多选）9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $