精品解析：河南济源市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年下期期末学业质量调研 高一数学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后， 将答题卡交回. 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 棱长都相等的直四棱柱是正方体 C. 棱台的侧棱延长后交于同一点 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱、正方体、棱台、正棱锥的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误； 对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误. 3. 有以下说法：①对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查.②调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查.③某班共45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样.④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则．这些说法，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据每种调查方式、抽样方法的适用条件及定义逐个判断. 【详解】对于①，小区全体住户燃气、水电设施安全检查的调查范围有限，且涉及住户安全，需覆盖所有住户，适用全面调查，故①正确； 对于②，检测袋装牛奶的细菌数需要拆封包装，对产品进行损坏，对全部产品进行破坏性检测不现实，适用抽样调查，故②正确； 对于③，简单随机抽样要求总体内每个个体被抽取的概率相等，本题指定个子最高的5名同学参与活动，其余个体无被抽取的可能，不符合简单随机抽样的定义，故③错误； 对于④，根据分层抽样的计算方法，可得，解得，故④正确； 综上，①②④这3个正确. 4. 已知是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得到两根之积，结合模长相关性质可得答案 【详解】， 由题意得和是的两个根， 由韦达定理得，故， 因为，所以， 5. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确. 【详解】 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以A错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确； 故选：D. 6. 已知向量，，，若，，则（ ） A. 2 B. C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由向量，，因为，可得，解得， 又由向量，，因为，可得，解得 所以 7. 某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（ ） A. 平均数为3，中位数为3 B. 众数为2，中位数为3 C. 平均数为2，方差为3 D. 中位数为3，方差为3.6 【答案】C 【解析】 【分析】通过先假设存在6，并满足选项的某个条件，若根据条件推出结果与选项的条件矛盾，即可反推出答案. 【详解】设5次投掷的点数按从小到大排列为，， A：中位数为3，故；平均数为3，故， 取，满足条件，所以可能出现. B：众数为2，2出现次数最多；中位数为3， 故；取，满足条件，所以可能出现. C：平均数为2，即；若存在，则其余4个数的和为， 骰子点数最小为1，故其余4个数只能全为1，此时方差： ， 与方差为3矛盾，故C一定不会出现6. D：中位数为3，故，取，， ， 满足条件，所以可能出现. 8. 如图， 是由 3 个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若 ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据正弦定理，即可判断A，对于B：根据向量的线性运算，判断B，对于C：利用基底表示和，再利用向量数量积的运算律和公式，判断C，对于D：根据C的结果，判断D. 【详解】对于A：由条件可知，，中，，所以，故A正确； 对于B： ， 即，得，故B正确； 对于C：， ， 且， 所以，故C正确； 对于D：因为，，且，所以， 即，故D错误. 二、选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用定义判断选项B的真假，利用公式计算判断选项ACD的真假，即得解. 【详解】对于A，对于事件A与事件B，， 事件A与事件B是相互独立事件，故选项A正确； 对于B，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生， 如第一次记录的数字为1，第二次记录的数字为4，故选项B错误； 对于C，因为，所以，故选项C正确； 对于D，事件等价于事件，即第一次记录的数字为奇数且第二次记录的数字为偶数 故，故D错误. 故选：AC． 10. 若复数 ，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 是纯虚数 【答案】BCD 【解析】 【详解】虚数无法比大小，故A错误； ，则， 则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确； ， ，故C正确； ，是纯虚数，故D正确. 11. 在棱长为 2 的正方体 中， 分别为棱 的中点，过点作与直线垂直的平面 ，则下列说法正确的是（ ） A. 点 到平面 的距离为 B. 直线 与 所成的角为 C. 三棱锥 的外接球的表面积为 D. 平面 截正方体所得截面多边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用三棱锥体积的等积性即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可. 【详解】对于A，设点 到平面 的距离为， 因为是棱 的中点， 所以根据正方体的性质和勾股定理，得， 因此， ， 因为， 所以，故A正确； 对于B，如图所示， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与所成的角为， 而， 所以，所以，故B错误； 对于C，如图所示， ， 所以三角形的外接圆半径为， 显然平面，且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以球的表面积为，故C正确； 对于D，如图所示，取中点，顺次连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证，， 而，，平面， 所以平面， 根据前面的假设，得，所以四点共面， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以六点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面， 所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形， 显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 如图， 是的直观图 (斜二测画法). 其中在轴上，且轴. . ，则的周长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接由斜二测画法特征计算可得. 【详解】由斜二测画法可知，因为轴，且，所以原图形中，且轴； 因为在轴上，，所以原图形中在轴上，； 所以原图形中为原点，坐标为，坐标为，坐标为， 因此， 所以的周长为：. 13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ，则该队员每次罚球的命中率为____________. 【答案】3/5 【解析】 【详解】设该队员每次罚球的命中率为p(其中0＜p＜1)，则依题意有1－p2＝，p2＝.又0＜p＜1，因此有p＝. 14. 已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算方法，直接求出结果即可，再根据向量数量积的运算律，列出方程组，求出参数值，求出结果即可. 【详解】由题意可知；    所以 因为，所以， 得，解得， 则. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. （1）求圆锥的表面积和体积; （2）过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. 【小问1详解】 设圆锥的高为h，由题意得：，故，所以． 所以圆锥侧面积，圆锥的底面积， 所以圆锥的表面积； 圆锥的体积为． 【小问2详解】 圆柱的底面半径为，高（母线）为， 所以圆柱的体积为 又圆锥的体积为，所以剩下几何体的体积为； 因为，圆锥的表面积； 所以剩下几何体的表面积 16. 在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的 2 个球颜色相同的概率； （3）求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用表示抽取小球，通过列举法即可求解； （2）由样本空间，结合古典概型概率公式即可求解； （3）由独立事件概率公式和对立事件概率公式即可求解. 【小问1详解】 用表示抽取小球的所有结果（其中x，y分别为从甲、乙盒子抽到的小球标号），则 【小问2详解】 由（1）． 设事件“取出的2个球颜色相同”， 则事件， ， 所以． 【小问3详解】 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，， “2个球至少有一个红球”的概率为． 17. 用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数； （2）若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和. 求总样本的平均数和方差. 【答案】（1）， （2）人 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及上四分位数的定义计算可得； （2）先计算样本中成绩“优秀”的频率，再估计总体中成绩“优秀”的频率，进而可得成绩优秀的人数. （3）直接根据分层抽样中，由各层的平均数及方差计算总体的平均数及方差可得. 【小问1详解】 因为，所以. 在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此上四分位数一定在内．设为，则，解得， 所以估计上四分位数约为. 【小问2详解】 样本中成绩不低于分的频率为，所以总体中成绩不低于分的频率为. 高一年级男生总人数为，所以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：， 因此估计高一年级男生中成绩优秀人数为人. 【小问3详解】 因为男生成绩样本平均数为，方差为，女生成绩样本平均数，方差为， 设总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为和． 18. 锐角的内角的对边分别为,已知，为边的中点. （1）求； （2）若； （i）求的周长的取值范围； （ii）设点在边上 (含端点)，当的周长最大时，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式、辅助角公式可求； （2）（i）利用正弦定理以及三角函数求值域； （ii）建系，利用坐标法求解. 【小问1详解】 由以及正弦定理得， 在中，因为，所以． 代入上式化简得：． 因为，，所以，即． 因为A为锐角，所以，则，得． 【小问2详解】 （i）由正弦定理得， 所以 ． 因为是锐角三角形，所以，得， 所以，则， 所以 ． 所以周长的取值范围为． （ii）当三角形周长最大时，，，此时三角形为等边三角形， 以所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意可知， 设，则， 所以． 当时，取最小值． 所以的最小值是． 19. 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明：如图，过作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）由定义可得为二面角的平面角，从而，求出可得结果； （3）依题意有，，分别讨论在线段上和在线段的延长线上即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 所以二面角的正弦值为． 【小问3详解】 因为平面，平面，平面平面，所以，故与所成角等于与所成角． 由（2）知，所以． 由题意得，则． ①如图，当在线段上时， 因为，， 所以 ． 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，故． ②如图，当在线段的延长线上时， 因为，， 由图知， 则， 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，． 综上得，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期末学业质量调研 高一数学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后， 将答题卡交回. 一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列四个选项中正确的是（ ） A. 有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 棱长都相等的直四棱柱是正方体 C. 棱台的侧棱延长后交于同一点 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 3. 有以下说法：①对某小区全体住户燃气、水电设施安全检查适用全面调查.②调查一批待售袋装牛奶的细菌数适用抽样调查.③某班共45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动用的方法是简单随机抽样.④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型，需对采集的一批图片进行人工标注，图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，已知四类图片的数量之比为，现按类别分层，采用分层抽样的方法抽取容量为n的样本对标注情况进行抽检，若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25张，则．这些说法，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，若，，则（ ） A. 2 B. C. 18 D. 7. 某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子5次，记正面朝上的点数为，则的取值一定不会出现6的是下列哪种情况（ ） A. 平均数为3，中位数为3 B. 众数为2，中位数为3 C. 平均数为2，方差为3 D. 中位数为3，方差为3.6 8. 如图， 是由 3 个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若 ，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 二、选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. D. 10. 若复数 ，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 是纯虚数 11. 在棱长为 2 的正方体 中， 分别为棱 的中点，过点作与直线垂直的平面 ，则下列说法正确的是（ ） A. 点 到平面 的距离为 B. 直线 与 所成的角为 C. 三棱锥 的外接球的表面积为 D. 平面 截正方体所得截面多边形的面积为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 如图， 是的直观图 (斜二测画法). 其中在轴上，且轴. . ，则的周长为_____. 13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 ，则该队员每次罚球的命中率为____________. 14. 已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. （1）求圆锥的表面积和体积; （2）过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 16. 在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的 2 个球颜色相同的概率； （3）求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 17. 用分层随机抽样从某地高一年级名学生的体育测试成绩(满分为分)中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个.再将个男生成绩样本数据分为组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数； （2）若成绩不低于分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩“优秀”人数； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和. 求总样本的平均数和方差. 18. 锐角的内角的对边分别为,已知，为边的中点. （1）求； （2）若； （i）求的周长的取值范围； （ii）设点在边上 (含端点)，当的周长最大时，求的最小值. 19. 如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若与所成角的余弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $