精品解析：河南省项城市第三高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

项城三高2024-2025学年度下期期末考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设复数满足，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是角终边上的一点，则 A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 在中，内角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是 A. B. C. D. 2 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点作（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度； B. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度； C. 横坐标缩短到原来的倍，再向右平行移动个单位长度； D. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平行移动个单位长度 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 10. (多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 13. 已知向量，向量在上的投影向量为，则_____ 14. 在中，，，，若为中点，则长为________. 四、解答题：本题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 16. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对恒成立，求. 17. 如图，在中，，，P为AB边上一点，且． （1）设，求实数x，y的值； （2）若与的夹角为，求的值． 18. 在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. （1）求大小； （2）若，，求，值. （3）若，，求的面积 19. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内一切t，都有恒成立？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 项城三高2024-2025学年度下期期末考试 高一数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数满足，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数及其模长运算公式直接计算即可. 【详解】设，则， 即， 所以， 即，解得， 即， 故选：B. 2. 已知点是角终边上的一点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可． 【详解】∵点是角终边上的一点， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题． 3. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用相等向量的概念，结合充分条件、必要条件的定义得到答案. 【详解】若成立，由向量相等得到两向量的长度方向都相同，即， 反之，若成立，若两向量的方向不同则推不到， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 4. 在中，内角的对边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角公式及正弦定理求解即可. 【详解】在中，由，得，又， 则由正弦定理，得，又，即为锐角， 所以. 故选：A 5. 若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是 A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设圆半径为r则由平面几何知识，内接正三角形的边长为r，所以由弧度制定义知，其圆心角的弧度数是r÷r=,故选C． 考点：本题主要考查角度制与弧度制的概念及其互化． 点评：牢记概念，并注意两种度量制度的转化． 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点作（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度； B. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度； C. 横坐标缩短到原来的倍，再向右平行移动个单位长度； D. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】对四个选项按照三角函数图像变换一一验证即可： 对于A：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向右平行移动个单位长度，得到的图像.即可判断； 对于B：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向右平行移动个单位长度得到的图像；即可判断； 对于C：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，得到，再向右平行移动个单位长度得到；即可判断； 对于D：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，得到，再向左平行移动个单位长度得到，即可判断； 【详解】对于A：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向右平行移动个单位长度，得到的图像.故A正确； 对于B：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向右平行移动个单位长度得到的图像；故B错误； 对于C：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，得到，再向右平行移动个单位长度得到，故C错误； 对于D：将的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，得到，再向左平行移动个单位长度得到，故D错误； 故选：A 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案. 【详解】设，则，所以偶函数，所以A、B项错误. 又当时，为增函数，所以C项错误，故D项正确. 故选：D. 8. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于B，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于C，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底， 故选：ABC 10. (多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ） A. B. C D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先判断函数图象恒过的定点A，再逐一判断选项函数是否过该定点A即可. 【详解】令，得，即函数的图象恒过点． 选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意； 选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意； 选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意； 选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意． 故选:ABC． 11. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的余弦公式可判断B选项；利用两角差的正切公式可判断C选项；利用二倍角的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以可得 ， 所以， 又因为是第二象限角，则，可得 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，向量在上的投影向量为，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量及模长公式计算即可. 【详解】， 向量在上的投影向量为， 所以. 故答案为：. 14. 在中，，，，若为中点，则长为________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． （1）求的值； （2）设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【小问1详解】 对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 16. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式对恒成立，求. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合正弦函数性质分析求解； （2）分析可知分别为的最小值和最大值，可得，代入运算即可. 【小问1详解】 令，即，可得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 因为对恒成立， 可知分别为的最小值和最大值， 则，可得， 所以. 17. 如图，在中，，，P为AB边上一点，且． （1）设，求实数x，y的值； （2）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1），． （2）-8 【解析】 【分析】（1）根据和向量减法法则得到，得到答案； （2）根据（1）和，利用向量数量积乘法法则计算出答案. 小问1详解】 因为，所以， 所以，故，． 【小问2详解】 ， 故 ． 18. 在中，角，，所对的分别为，，.向量，，且. （1）求的大小； （2）若，，求，的值. （3）若，，求的面积 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案； （2）由余弦定理、三角形边角关系，结合已知求得. （3）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 由正弦定理，得， 又， 所以，从而， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 又，即， ,解得. 【小问3详解】 由余弦定理，得， 而,,，得，即， 因为，所以， 故的面积. 19. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）直接代入计算出，由奇函数的定义求出值； （2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解； （3）假定存在实数m，对定义域内一切，都有恒成立，利用奇偶性单调性变形化简不等式转化为二次不等式恒成立（注意定义域），分别求解后求交集得出． 【小问1详解】 依题意，， 又是上的奇函数，则，即， 亦即，整理得，于是，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 显然函数在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 不等式化为，解得， 【小问3详解】 假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立， 即恒成立， 当时，由（2）知函数在上单调递增， 不等式化为，整理得， 于是有对任意恒成立，则， 当时，，因此； 有对任意恒成立，设， ①当时，函数的图象开口向上，对称轴， （i）当，即时，必有，则； （ii）当，即时，在上恒成立，则； （iii）当，即时，在上恒成立，则； ②当时，，不满足在上恒成立， 综上得且， 所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $