精品解析：浙江省义乌市丹溪中学2022--2023学年下学期九年级数学收心作业（2月份）

2023年浙江省义乌市丹溪中学九年级数学学科收心作业（2月份） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 2 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ） A. 线段CD是ABC的AC边上的高线 B. 线段CD是ABC的AB边上的高线 C. 线段AD是ABC的BC边上的高线 D. 线段AD是ABC的AC边上的高线 6. 将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 12. 分解因式：_____． 13. 一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为_____． 14. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m． 15. 如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________． 16. △ABC中，，AC＝6，，折叠△ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则BC＝____________，m＝____________． 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算：|﹣2|+（）0﹣+2sin30°． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，矩形的对角线相交于点O，． （1）求矩形对角线的长． （2）过O作于点E，连结BE．记，求的值． 20. 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）． 某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表 组别（次） 频数 100~130 48 130~160 96 160~190 a 190~220 72 （1）求的值． （2）把频数直方图补充完整． （3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比． 21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点． （1）求证：∠CAD=∠CBA． （2）求OE的长． 22. 2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ （销售额=销售量×销售价格） 23. 如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年浙江省义乌市丹溪中学九年级数学学科收心作业（2月份） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】这四个数在数轴上的位置如图所示： 由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3． 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．熟记法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 3. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值是解题关键． 4. 如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，主要培养学生的观察图象的能力和理解能力．掌握一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 根据图象和交点坐标得出关于x的不等式的解集是，即可得出答案． 【详解】解：与相交于点， 根据图象可知：不等式的解集是， 在数轴上表示为： 故选：D． 5. 如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ） A. 线段CD是ABC的AC边上的高线 B. 线段CD是ABC的AB边上的高线 C. 线段AD是ABC的BC边上的高线 D. 线段AD是ABC的AC边上的高线 【答案】B 【解析】 【分析】根据高线的定义注意判断即可． 【详解】∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴A错误，不符合题意； ∵ 线段CD是ABC的AB边上的高线， ∴B正确，符合题意； ∵ 线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴C错误，不符合题意； ∵线段AD是ACD的CD边上的高线， ∴D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键． 6. 将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意； C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意； D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键． 7. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ） A. AB平分∠CAD B. CD平分∠ACB C. AB⊥CD D. AB=CD 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 8. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 故选：C． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 9. 已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵是的内心， ∴， 设， ∵BD＝10， ∴， ∴,， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得： ， 解得． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 13. 一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键． 14. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m． 【答案】9.88 【解析】 【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt△ABC∽△Rt△DEF，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m． ∴AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC=∠DEF=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴，即， 解得AB=9.88， ∴旗杆的高度为9.88m． 故答案为：9.88． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt△ABC∽△Rt△DEF是解题的关键． 15. 如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H， ∵，， ∴ ∴AG＝AB＝， ∴BG＝， ∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°， ∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°， ∴∠EGD＝∠HDF ∵∠AGB＝∠EGD， ∴∠AGB＝∠HDF， 在△ABG和△HFD中，， ∴△ABG≌△HFD（AAS）， ∴AG＝DH，AB＝HF， ∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°， ∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF， 在△BCM和△FHM中，， ∴△BCM≌△FHM（AAS）， ∴MH＝MC＝CD，BM＝FM， ∴DH＝MH， ∵FH⊥CD， ∴DF＝FM， ∴BG＝DF＝FM＝BM＝， ∴BF＝， ∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形， ∴OM＝，EM＝， ∵BD＝，△BED是直角三角形， ∴EO＝， ∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 16. △ABC中，，AC＝6，，折叠△ABC，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交AC于点E，当点由B向A连续移动过程中，点E经过的路径长记为m，则BC＝____________，m＝____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过B作BM⊥AC，垂足为M，求出BM，CM长度，利用勾股定理即可求出BC长度，分析D点的运动路径，分段计算出长度加在一起即可． 【详解】解：过B作BM⊥AC，垂足为M，如图1， ∵∠A=45°，AB=4， ∴BM=AM=， ∵AC=6， ∴CM=6-4=2， ∴； ①由折叠知，EF垂直平分CD， ∴当D与B重合时，此时AE最小， ∴如图2，作E1G⊥AB，垂足为G，连接E1B， 设AE1=x， ∵∠A=45°， ∴AG=E1G=，E1C=6-x， ∵E1F垂直平分CB， ∴E1B=E1C=6-x， ∴在Rt△E1GB中，E1B2=E1G2+GB2， 即， 解得x=1，（舍去负值） ∴AE1=1， ②∵ED=EC， ∴当AE最大时，EC最短， ∴ED最短， ∴当ED⊥AB时，ED为垂线段，取最小值， ∴如图3，作E2D2⊥AB，垂足为D2， 设AE2=y，则AD2=D2E2=， ∴E2C=6-y， ∵E2F垂直平分CD2， ∴E2D2=E2C， ∴y=6-y， ∴y=12-6， ∴AE2=12-6， ∴E从最近到最远走了12-6-1=11-6； ③当D从D2点继续向A移动，ED增加， ∴AE减小， 当D与A重合时，如图4， 此时E3D3=E3C=AC=×6=3， ∴AE3=3， ∴E从E2到E3运动了12-6-3=9-6， ∴点E从E1，运动到E2，再运动到E3，路径长为11-6+9-6=20-12， 故答案为：2；20-12． 【点睛】本题主要考查图形翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形等知识，熟练掌握图形的翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形等知识，是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算：|﹣2|+（）0﹣+2sin30°． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式=2+1﹣3+2× =2+1﹣3+1 =1． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根，以及实数运算，正确化简各数是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行分式的除法运算，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 已知：如图，矩形的对角线相交于点O，． （1）求矩形对角线的长． （2）过O作于点E，连结BE．记，求的值． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长； （2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=AD，在Rt△ABE中即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ， 是等边三角形， ， 所以． 故答案为：4． （2）在矩形中，． 由（1）得，． 又 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键． 20. 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）． 某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表 组别（次） 频数 100~130 48 130~160 96 160~190 a 190~220 72 （1）求的值． （2）把频数直方图补充完整． （3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比． 【答案】（1）144； （2）补全频数直方图，如图． （3）20% 【解析】 【分析】（1）根据各组频数之和等于总数求出a的值即可得出答案； （2）根据频数分布表中的数据，即可将频数分布直方图补充完整； （3）用总人数乘以样本中第4组频数和占总人数的比例即可． 【详解】解：（1）； 则的值为144； （2） 略 （3）因为， 所以该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的20%． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点． （1）求证：∠CAD=∠CBA． （2）求OE的长． 【答案】 （1）证明：∵AE=DE，OC是半径， ∴， ∴∠CAD=∠CBA； （2）1.4 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可； （2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AE=DE， ∴OC⊥AD， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ACB， ∴△AEC∽△BCA， ∴， ∴， ∴CE=3.6， ∵OC=AB=5， ∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC∽△BCA是解题关键． 22. 2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ （销售额=销售量×销售价格） 【答案】（1）；（2）当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元． 【解析】 【分析】（1）分为和，用待定系数法确定解析式即可； （2）分别计算出和时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可． 【详解】（1）当时，设，由图象得： 解得： ∴ 当时，设，由图象得： 解得： ∴ 综上，． （2）设当月该农产品的销售额为w元，则． 当时， ∵，由二次函数的性质可知： ∴当时， 当时， ∵，由二次函数的性质可知： 当时， ∵ ∴当时，w取得最大值，该最大值为500． 答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确的计算是解题的关键． 23. 如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 （1）如图1，求证：； （2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ，D，E，F分别为的中点， ，， ， ， （2）， 理由如下，连接，如图， ，D，E，F分别为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点D顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ， （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，过点作于， 中，, ， ， ， ， ， ， ， 中， ， 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（2）存在，，4，9，1 【解析】 【分析】（1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明； ②添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则； （2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时． 【详解】解：（1）①证明：如图1， ∵，∴． ∴，∴． 而， ∴． ∵，∴． ∴， ∴． ②如图1，过点A作于点H．由题意可知， 在中，．设，． ∵，∴，解得． ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ： ∴． （2）过点A作于点H，则有． ①如图2，当点C在第二象限内，时，设 ∵，∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴，整理得，解得． ∴． ②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G， 则，∴． 又∵， ∴， 而， ∴， ∴ ③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有． (a)如图4，点B在第三象限内． 在中，，∴ ∴， 又∵， ∴， 而 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ (b)如图5，点B在第一象限内． 在中 ∴，∴． 又∵， ∴ 而，∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述，的长为，4，9，1． 【点睛】本题涉及到等腰三角形、等角的余角相等、利用切割法求四边形的面积和相似三角形等知识，综合性较强．在题中已知两个三角形相似时，要分情况考虑． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $