精品解析：重庆实验外国语学校(一外)2025-2026学年人教版小升初自主招生数学试题

2026.3.12一外数学测试卷 （总分60分 时间60分钟） 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 按一定规律排列的代数式：﹣4a2、9a4、﹣16a6、25a8、﹣36a10、49a12，……第n个代数式是______。 【答案】（－1）n（n＋1）2a2n 【解析】 【分析】通过观察发现：系数部分奇数位为负数，偶数位为正数，数字4、9、16·····分别是2、3、4······的平方数；字母部分是a，右上角的数依次增加2，即可求解 【详解】﹣4a2＝（－1）1×（1＋1）2×a2×1 9a4＝（－1）2×（2＋1）2×a2×2 ﹣16a6＝（－1）3×（3＋1）2×a2×3 25a8＝（－1）4×（4＋1）2×a2×4 ﹣36a10＝（－1）5×（5＋1）2×a2×5 49a12＝（－1）6×（6＋1）2×a2×6 ······ 以此类推，第n个代数式为（－1）n（n＋1）2a2n 2. 从1到2026的自然数中既不能被3整除、又不能被5整除、还不能被7整除的数共有______个。 【答案】926 【解析】 【分析】先算出1～2026中能被3、5、7整除的数的总数，再用总数2026减去该值，得到既不能被3、5、7整除的数。 规律：从1到N，能被k整除的数字个数＝N÷k的商（不用管余数）。 【详解】被一个数整除： 能被3整除的数：2026÷3＝675……1 商是675，说明1~2026中有675个3的倍数； 能被5整除的数：2026÷5＝405……1 商是405，说明1~2026中有405个5的倍数； 能被7整除的数：2026÷7＝289……3 商是289，说明1~2026 中有289个的倍数。 去掉重复计算的数字（同时被两个数整除）： 同时是3和5的倍数，就是15的倍数：2026÷15＝135……1，共135个； 同时是3和7的倍数，就是21的倍数：2026÷21＝96……10，共96个； 同时是5和7的倍数，就是35的倍数：2026÷35＝57……31，共57个； 这部分数字在第一步时被算了2次，所以要减去1次。 补回多减掉的数字（同时被3、5、7整除） 同时是3、5、7的倍数，就是105的倍数：2026÷105＝19……31，共19个； 这部分数字先加了3次，又减了3次，相当于完全没算，需要再加回来1次。 能被3、5、7任意一个整除的总个数： 675＋405＋289－135－96－57＋19＝1100（个） 既不能被3、5、7整除的数字总数： 1~2026一共有2026个自然数，用全部数字减去上面算出的1100个： 2026－1100＝926（个） 3. 某小学组织六年级学生春游，学校买了182瓶汽水分给每个学生。如果每5个空瓶又可换得1瓶汽水，那么这些汽水瓶最多可换得_____瓶汽水。 【答案】45 【解析】 【分析】根据换汽水的方法一步步计算，直到最后都换成汽水为止。 【详解】第一次：182÷5＝36（瓶）……2（瓶），即可换得36瓶汽水； 第二次：36＋2＝38（瓶），38÷5＝7（瓶）……3（瓶），即可换得7瓶汽水； 第三次：7＋3＝10（瓶），10÷5＝2（瓶），即可换得2瓶汽水； 36＋7＋2＝45（瓶） 所以总共可以换得45瓶汽水。 【点睛】本题是利用题目所给方法一步步计算即可。 4. 某班有59名小学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，那么其中至少有______名学生订的报刊种类完全相同。 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意学生订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，订阅情况分为：只订阅一种，订阅其中两种，三种都订阅，求出一共有多少种订阅方法；将订阅方法看作抽屉，学生人数是要放进抽屉里的物品，用人数除以抽屉数，订阅报刊数完全相同的人数要比商多1。 【详解】只订阅一种有《小朋友》、《儿童时代》和《少年报》三种情况； 订阅其中两种有《小朋友》《儿童时代》、《小朋友》《少年报》和《儿童时代》《少年报》三种情况； 三种都订阅有《小朋友》《儿童时代》《少年报》一种情况。 （种） （名） （名） 5. 甲乙两个运动员进行1200米赛跑两次，第一次甲让乙先跑280米，结果乙比甲早到15秒；第二次甲让乙先跑400米，结果乙到的时候甲离终点还有200米，则乙跑完1200米需______秒。 【答案】450 【解析】 【分析】先从第二次赛跑找速度关系：第二次乙先跑400米后甲出发，从甲出发到乙抵达终点的过程中两人运动时长相等，乙跑到终点时两人用时相同，根据时间相同，速度比＝路程比，就能算出甲乙的速度比为5∶4。再结合第一次赛跑的路程与时间差条件列出计算式，求出乙的跑步速度；最后用全程总长除以乙的速度，算出乙跑完1200米的总用时。 【详解】（米） （米） 解：设甲的速度为5v米/秒，乙的速度为4v米/秒 （秒） 6. 甲船和乙船分别从上游A和下游B码头同时出发相向而行，A、B相距150千米，两船在静水中的速度相同。甲船出发时掉下一个箱子，箱子浮于水面顺水而下，15分钟后与甲船相距7.5千米。乙船与甲船相遇后，再过______小时与箱子相遇。 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据箱子浮于水面顺水而下15分钟后与甲船相距7.5千米，可求出船在静水中的速度，甲船顺水，乙船逆水，所以两船速度和等于船在静水中速度的2倍，再根据总路程可算得相遇时间，进而可算出相遇时箱子与乙船的距离，乙船逆水，箱子顺水，两者速度和等于船在静水中的速度，根据两船相遇时箱子与乙船的距离可算出再过几小时乙船与箱子相遇。 【详解】15分钟＝0.25小时 船在静水中的速度：（千米/小时） 两船相遇时间：（小时） 相遇时箱子与乙船的距离：（千米） 乙船与箱子相遇时间：（小时）。 7. 磊磊买了一本新书，非常喜欢，第一天读了这本书的还多12页，第二天读了剩余的还多15页，第三天读了剩余的还多18页，这时还剩42页未读，那么这本书的页数是（ ）页。 【答案】190 【解析】 【分析】从最后剩下的42页入手，向前推，如果加上18页，正好是第二次看完后剩下的，据此求出第二次看完后剩下的有（页）；再用90页加上15页，正好是第一次看完后剩下的，据此求出第一次看完后剩下的有（页）；接着用140页加上12页正好是全书的，据此求出这本书共有（页）。 【详解】第二天剩余： （页） 第一天剩余： （页） 这本书的页数： （页） 即，这本书的页数是190页。 【点睛】本题考查分数应用题，考查倒推方法的运用，正确倒推是解题关键。 8. 把一个四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，则＝_____。 【答案】2856 【解析】 【分析】根据题意，因为千位上的2表示2个千，可将写成，再将写成；再根据四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，得出等式，把看作未知数，列出方程，根据等式的性质求解。 【详解】解：设为，则有 所以，那么 9. 如图所示，一个长方形被分割成四个互不相同的三角形。绿色三角形的面积占长方形面积的 26%，黄色三角形的面积是12平方厘米，该长方形的面积为_________平方厘米。 【答案】50 【解析】 【分析】观察图可知，黄色三角形面积为底×高黄÷2，绿色三角形面积为底×高绿÷2，三角形的底是长方形的长，高黄＋高绿＝长方形的宽，所以黄色三角形和绿色三角形的面积和＝长×宽÷2，即长方形面积的一半，占长方形面积的50%，再计算出黄色三角形面积占长方形的百分之几，黄色面积是12平方厘米，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】黄色三角形面积＋绿色三角形面积等于底×高黄÷2＋底×高黄÷2，也就是底×（高黄＋高黄）÷2，也就是长方形的长乘宽再除以2，即长方形面积的50%； （平方厘米） 10. 甲乙相距300千米，一辆汽车从甲地到乙地，如果车速提高20%，可提前1小时到达，如果原速行驶a千米后，再将速度提高25%，也可提前1小时到达，a＝_________千米。 【答案】50 【解析】 【分析】这道行程问题给了两种情况，一个一个分析并列式。第一种情况：车速提高20%，提前1小时到达，可以求出原计划时间和原速度。第二种情况：原速行驶a千米后，剩余路程提速25%，也提前1小时到达。两次提前时间相同，利用时间关系列方程求a。原计划时间与速度的关系，用时间＝路程÷速度，原速为未知，设而不求可简化。 【详解】设原速度为v千米/时，原计划时间为t小时。 路程公式：v×t＝300。 情况一：速度提高20%为1.2v，时间变为t－1。 1.2v×（t－1）＝300。 代入v＝： 1.2××（t－1）＝300 1.2×＝1 1.2（t－1）＝t 1.2t－1.2＝t 0.2t＝1.2 t＝6（小时） v＝300÷6＝50（千米/时）。 情况二：前a千米原速，用时小时；剩余300－a千米提速25%，速度为50×1.25＝62.5（千米/时），用时小时。 总时间比原计划提前1小时，即6－1＝5（小时）。 5a＋4（300－a）＝1250 5a＋1200－4a＝1250 a＝50 二、计算题（每题5分，共30分） 11. 计算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）16；（2）59.2 （3） 6；（4）171700 【解析】 【分析】把算式中除法改写成乘法后运用乘法分配律运算，把算式中后半部分小数改写成分数计算， 前面小括号里的除法改成乘法后用乘法分配律运算，算式中带分数化成假分数，后面小括号里通分后计算， 分子的积比分母的积大1，所以每组分数先改写成整数部分是1与分子是1分母不变的带分数，然后整数与整数部分相加，分数与分数部分相加。 每组数都是偶数的平方，提取公因数4后用公式计算。 【详解】 12. 解下列方程。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】两边同时乘以12，去掉分母后解方程。 两边同时乘以1.2，去掉分母后解方程。 【详解】 解： 解： 三、解答题（13、14每题6分，15题8分，16、17题10分）。 13. 蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要5小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要6小时。单开丙出水管，排光一池水要4小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 【答案】10.7小时 【解析】 【分析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。 【详解】设水池总量为60 甲管每小时进水60÷5＝12 乙管每小时进水60÷6＝10 丙管每小时进水60÷4＝15 已经有水60×＝20 甲、乙各开1小时，进水12＋10＝22 甲、乙、丙各开1小时，进水22－15＝7 为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。 （60－20－22）÷7 ＝18÷7 ＝2……4 剩余水量为4，说明是可以注水3个周期的，这时水池还差的水量是 60－20－7×3 ＝60－20－21 ＝19 甲再开1小时后还差19－12＝7 乙还需再开7÷10＝0.7（小时） 一共需要的时间： 3×3＋1＋0.7 ＝9＋1＋0.7 ＝10.7（小时）。 答：10.7小时后，第一次有水溢出水池。 【点睛】本题考查复杂的工程问题，因为甲乙先注入的水量比一个周期内的注水量多很多，所以假设最后一个周期内甲乙先注水后没有溢出，并应用这一条件计算周期数和剩余水量是解题的关键。 14. 幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 【答案】52千克 【解析】 【分析】从最后剩余的6千克水果出发逆向推算，依次求出给小托班、小班、中班前的水果重量，最终算出总重量。 【详解】给小托班前水果重量： （千克） 给小班前水果重量：（千克） 给中班前水果重量： （千克） 水果总重量： （千克） 答：这批水果有52千克。 15. 有一个大瓶子，里面装有浓度为75%的酒精溶液2000克，现倒入50克A种酒精溶液和350克B种酒精溶液，已知两种溶液的浓度比为3∶1，得到的混合溶液的浓度是65%，则A种酒精的浓度是多少？ 【答案】36% 【解析】 【分析】先算出混合后溶液的总酒精质量，减去原有酒精质量，得到加入的A、B溶液的酒精总质量；再根据A、B的浓度比，将A溶液的酒精量折算为等效的B溶液质量，进而求出B溶液的浓度，最终得到A溶液的浓度。 【详解】（克） （克） （克） （克） A、B浓度比为，50克A溶液的酒精量相当于克B溶液的酒精量。 （克） 答：A种酒精的浓度是36%。 16. 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时有多少级？ 【答案】100级 【解析】 【分析】男孩40秒内共走80级，女孩50秒内共走50÷2×3＝75级，男孩和女孩走过的级数差是由于在行走过程中，扶梯因自身速度不断缩短导致的，因为扶梯速度不变，因此缩短的级数差就是因为时间不同所导致的，（80－75）÷（50－40）＝0.5就是扶梯速度，用男孩40秒内走的级数加上缩短的级数即可。 【详解】40×2＝80（级）； 50÷2×3 ＝25×3 ＝75（级）； （80－75）÷（50－40） ＝5÷10 ＝0.5（级/秒）； 80＋0.5×40 ＝80＋20 ＝100（级）； 答：该扶梯静止时有100级。 【点睛】先求出扶梯速度是解答本题的关键，再用男孩或女孩所走的级数加上缩短的级数即可。 17. 某一个算式，如果其计算的结果趋近于一个数，则我们将这个数称为该算式的极限，通常表示为sn（“→∞表示”n越来越大）。 例如艾迪同学探究的算式，我们可以记作： 再比如n＝0；由于是真分数，当n越大时n反而越小，越趋近于0，我们可以记作。利用上面的材料解下列问题： （1）判断对错，正确的请在后面的括号内打√，错误的请在后面的括号内画×。 （ ） （ ） （ ） （＋10）＝10（ ） （2）的结果是_________。 （3）已知等差数列的三项为a，8，3a，前“项的和为”，则_________。 【答案】（1） ①. √ ②. × ③. √ ④. × （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题目给出的极限定义，结合真分数的n次方随n增大趋近于0、分母越大分数值越小的规律判断对错。 （2）先利用等差数列求和公式求出分子的和，再化简分式，根据n无限大时趋近于0的特点计算极限。 （3）先根据等差数列相邻两项差相等的特点求出a的值，再推导前n项和公式，用裂项相消法化简求和式后计算极限。 【小问1详解】 ①是真分数，n越大，越小，趋近于0，故√。 ②n越大，越小并趋近于0，趋近于，不是1，故×。 ③n越大，越小并趋近于0，趋近于5，故√。 ④n越大，越大，会无限增大，不会趋近于10，故×。 【小问2详解】 当n越来越大时，趋近于0，因此。 【小问3详解】 因为a，8，3a是等差数列的三项，所以相邻两项的差相等： 该等差数列首项为4，公差为4，第n项为。 前n项和： 则 当n越来越大时，趋近于0，因此。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.3.12一外数学测试卷 （总分60分 时间60分钟） 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 按一定规律排列的代数式：﹣4a2、9a4、﹣16a6、25a8、﹣36a10、49a12，……第n个代数式是______。 2. 从1到2026的自然数中既不能被3整除、又不能被5整除、还不能被7整除的数共有______个。 3. 某小学组织六年级学生春游，学校买了182瓶汽水分给每个学生。如果每5个空瓶又可换得1瓶汽水，那么这些汽水瓶最多可换得_____瓶汽水。 4. 某班有59名小学生，他们都订阅了《小朋友》《儿童时代》《少年报》中的一种或几种，那么其中至少有______名学生订的报刊种类完全相同。 5. 甲乙两个运动员进行1200米赛跑两次，第一次甲让乙先跑280米，结果乙比甲早到15秒；第二次甲让乙先跑400米，结果乙到的时候甲离终点还有200米，则乙跑完1200米需______秒。 6. 甲船和乙船分别从上游A和下游B码头同时出发相向而行，A、B相距150千米，两船在静水中的速度相同。甲船出发时掉下一个箱子，箱子浮于水面顺水而下，15分钟后与甲船相距7.5千米。乙船与甲船相遇后，再过______小时与箱子相遇。 7. 磊磊买了一本新书，非常喜欢，第一天读了这本书的还多12页，第二天读了剩余的还多15页，第三天读了剩余的还多18页，这时还剩42页未读，那么这本书的页数是（ ）页。 8. 把一个四位数扩大3倍后便成了另一个四位数，则＝_____。 9. 如图所示，一个长方形被分割成四个互不相同的三角形。绿色三角形的面积占长方形面积的 26%，黄色三角形的面积是12平方厘米，该长方形的面积为_________平方厘米。 10. 甲乙相距300千米，一辆汽车从甲地到乙地，如果车速提高20%，可提前1小时到达，如果原速行驶a千米后，再将速度提高25%，也可提前1小时到达，a＝_________千米。 二、计算题（每题5分，共30分） 11. 计算。 （1） （2） （3） （4） 12. 解下列方程。 （1） （2） 三、解答题（13、14每题6分，15题8分，16、17题10分）。 13. 蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要5小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要6小时。单开丙出水管，排光一池水要4小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 14. 幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 15. 有一个大瓶子，里面装有浓度为75%的酒精溶液2000克，现倒入50克A种酒精溶液和350克B种酒精溶液，已知两种溶液的浓度比为3∶1，得到的混合溶液的浓度是65%，则A种酒精的浓度是多少？ 16. 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时有多少级？ 17. 某一个算式，如果其计算的结果趋近于一个数，则我们将这个数称为该算式的极限，通常表示为sn（“→∞表示”n越来越大）。 例如艾迪同学探究的算式，我们可以记作： 再比如n＝0；由于是真分数，当n越大时n反而越小，越趋近于0，我们可以记作。利用上面的材料解下列问题： （1）判断对错，正确的请在后面的括号内打√，错误的请在后面的括号内画×。 （ ） （ ） （ ） （＋10）＝10（ ） （2）的结果是_________。 （3）已知等差数列的三项为a，8，3a，前“项的和为”，则_________。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $