25.2.2 公式法 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦公式法解一元二次方程，分★☆☆、★★☆、★★★三层设计，题量14:10:4，梯度从概念记忆到综合应用，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|求根公式、判别式计算、基础求解|选择填空为主，直接考查公式应用，如求根公式记忆（题1）、判别式值计算（题3）| |★★☆|含参数方程、公式逆用、规律探究|增加解答题，强化参数分析与规律归纳，如参数k与根的关系（题16）、方程规律总结（题24）| |★★★|公式推导、综合证明、跨学科阅读|含推导证明题，培养数学思维与创新意识，如配方法推导求根公式（题13）、根与系数关系证明（题28）|

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 难度：★☆☆ 1. 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的求根公式是（ ） A. x = B. x = C. x = D. x = 2. 方程 x² - 5x + 6 = 0 的根为（ ） A. x₁ = 1，x₂ = 6 B. x₁ = 2，x₂ = 3 C. x₁ = -2，x₂ = -3 D. x₁ = -1，x₂ = -6 3. 若方程 2x² - 3x + 1 = 0 的判别式为 Δ，则 Δ 的值为（ ） A. 1 B. 17 C. -7 D. 9 4. 方程 x² + 4x + 5 = 0 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 用公式法解方程 x² - 2x - 3 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = 3，x₂ = -1 B. x₁ = -3，x₂ = 1 C. x₁ = 3，x₂ = 1 D. x₁ = -3，x₂ = -1 6. 若关于 x 的方程 x² - 4x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. -4 D. 8 7. 用公式法解方程 3x² + 5x - 2 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = ，x₂ = -2 B. x₁ = - ，x₂ = 2 C. x₁ = ，x₂ = - D. x₁ = - ，x₂ = 8. 若方程 x² + mx + 9 = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. m > 6 或 m < -6 B. -6 < m < 6 C. m > 6 D. m < -6 9. 用公式法解方程 2x² - 4x + 1 = 0，正确的根为（ ） A. x = 1 ± B. x = 1 ± C. x = 1 ± D. x = 2 ± 10. 已知关于 x 的方程 x² - 3x + k = 0 无实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k > B. k < C. k ≥ D. k ≤ 11. 用公式法解方程 x² + 2√2x + 2 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = x₂ = B. x₁ = x₂ = - C. x₁ = 0，x₂ = -2 D. x₁ = - ，x₂ = 0 12. 观察下列方程及其判别式的值： 方程①：x² - 2x + 1 = 0，Δ = 0 方程②：x² - 3x + 2 = 0，Δ = 1 方程③：x² - 4x + 3 = 0，Δ = 4 方程④：x² - 5x + 6 = 0，Δ = 1 根据规律，方程 x² - 6x + k = 0 有两个不相等的实数根时，k 的取值范围为（ ） A.k < 9 B. k > 9 C. k < 9 且 k ≠ 0 D. 0 < k < 9 13. 阅读材料： 一元二次方程的求根公式是数学史上最重要的公式之一。它的推导过程基于配方法，而公式的发现使得任何一元二次方程都能机械地求解。 (1) 用配方法推导一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的求根公式。 (2) 用公式法解方程：x² - 6x + 8 = 0。 (3) 讨论：当 Δ > 0、Δ = 0、Δ < 0 时，方程的根分别有什么特点？ 14. 定义：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），设其判别式为 Δ。 若 Δ 是完全平方数，则称此方程为“整数根方程”。 (1) 判断方程 2x² - 5x + 2 = 0 是否为“整数根方程”。 (2) 若方程 x² - (k+1)x + k = 0 是“整数根方程”，求 k 的取值。 (3) 求证：对于“整数根方程”，其根之和与根之积均为整数。 难度：★★☆ 15. 用公式法解方程 x² + 3x - 4 = 0，得到的根为（ ） A. x₁ = 1，x₂ = -4 B. x₁ = -1，x₂ = 4 C. x₁ = 2，x₂ = -2 D. x₁ = -2，x₂ = 2 16. 若方程 x² + px - 8 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 17. 用公式法解方程 2x² - 7x + 3 = 0，正确的根为（ ） A. x₁ = 3，x₂ = B. x₁ = -3，x₂ = - C. x₁ = 3，x₂ = - D. x₁ = -3，x₂ = 18. 若关于 x 的方程 x² - 2kx + k² - 1 = 0 的判别式为（ ） A. 4k² B. 4k² - 4 C. 4 D. 4k² + 4 19. 用公式法解方程 x² - 3 x + 4 = 0，得到的根为______。 20. 若方程 x² + 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是______。 21. 用公式法解方程 2x² + 4x - 1 = 0，得到的根为 x₁ = ______，x₂ = ______。 22. 已知关于 x 的方程 x² - (2m-1)x + m² = 0 的判别式 Δ = 9，则 m 的值为______。 23. 用公式法证明：无论 k 取何值，方程 x² - 2(k-1)x + k² - 2k + 3 = 0 总有两个不相等的实数根。 24. 观察下列方程的判别式与根的情况： x² - 2x = 0，Δ = 4，根为 0 和 2 x² - 4x + 3 = 0，Δ = 4，根为 1 和 3 x² - 6x + 5 = 0，Δ = 16，根为 1 和 5 x² - 8x + 7 = 0，Δ = 36，根为 1 和 7 ...... 根据规律，第 n 个方程为______，其根为______。 难度：★★★ 25. 用公式法解下列方程： (1) x² - 4x + 1 = 0 (2) 3x² + 6x - 2 = 0 (3) 2x² - 2 x + 1 = 0 26. 已知关于 x 的方程 x² - 2(m+1)x + m² + 2 = 0。 (1) 求该方程的判别式 Δ。 (2) 当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (3) 当 m 为何值时，方程有两个相等的实数根？ 27. 已知关于 x 的方程 x² - 4x + k = 0 有两个实数根 x₁，x₂。 (1) 当 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2) 当 k 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这个根。 (3) 当 k 为何值时，方程没有实数根？ 28. 阅读材料： 古巴比伦人早在公元前2000年就掌握了求解二次方程的方法，他们用文字描述的算法与现代公式法在本质上是一致的。古埃及人则用几何方法（类似配方法）处理二次问题。古希腊数学家丢番图（Diophantus）用符号表示未知数，为公式法的符号化奠定了基础。 (1) 用公式法解方程：x² - 5x + 6 = 0。 (2) 若方程 ax² + bx + c = 0 有两个实数根，求证：这两个根的和与积可以用系数表示。 参考答案 1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. B 7. B 解析：Δ=25+24=49，x= ，x₁= ，x₂=-2 8. A 解析：Δ=m²-36>0，m²>36，m>6或m<-6 9. C 解析：Δ=16-8=8，x= = 10. A 解析：Δ=9-4k<0，k> 11. B 解析：Δ=8-8=0，x= =- 12. C 13. (1) 配方法推导：()²= ，x= (2) Δ=36-32=4，x==，x₁=3，x₂=1 (3) Δ>0：两不等实根；Δ=0：两相等实根；Δ<0：无实根 14. (1) Δ=25-16=9，是完全平方数，是整数根方程 (2) Δ=(k+1)²-4k=k²-2k+1=(k-1)²，k为任意整数时为整数根方程 (3) 根之和=- ，根之积= ，整数系数的方程中a，b，c为整数，故和与积均为整数 15. A 16. A 17. A 18. C 19. 20. k<4 21. 22. 1或-2 23. Δ=4k²-4(k²-2k+3)=-8k+12>0，k<时有两不等实根 24. x²-2nx+n²-1=0，x₁=n-1，x₂=n+1 25. (1) Δ=16-4=12，x==2± (2) Δ=36+24=60，x== (3) Δ=12-8=4，x= = 26. (1) Δ=4(m+1)²-4(m²+2)=8m-4 (2) Δ>0时，8m-4>0，m> (3) Δ=0时，8m-4=0，m= 27. (1) Δ=16-4k>0，k<4 (2) Δ=0时，k=4，x=2 (3) Δ<0时，k>4 28. (1) Δ=25-24=1，x= ，x₁=3，x₂=2 (2) x₁+x₂=- ，x₁x₂= 学科网（北京）股份有限公司 $