25.2.3因式分解法同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以因式分解法为核心，通过基础巩固、中档应用、综合提升三层设计，实现从单一解方程到实际问题解决的知识进阶，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接因式分解解方程|单选1-3、填空11-12，考查提取公因式法，强化概念理解| |中档|根与系数关系、换元法|单选4-8、填空13-15，结合菱形面积、三角形三边关系，培养推理意识| |提升|综合应用与新定义|单选9-10、解答题22-24，涉及动态几何、“倍根方程”，发展创新与模型意识|

25.2.3因式分解法 同步练习 一、单选题 1．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 3．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 4．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 5．对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 6．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 8．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 9．关于y的方程，下面解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 整理得； ∴，， ∴ ∴ 两边同时除以得 移项得： ∴ ∴或 ∴， 整理得： 配方得： ∴ ∴ ∴， A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 二、填空题 11．一元二次方程的解为_________． 12．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 13．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根比小，比大，则你构造的一元二次方程是____． 14．当______时，分式的值为零． 15．当________时，函数（是常数）是正比例函数． 16．对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为_______； （2）方程的解为_______． 17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若是“倍根方程”，则的值为________． 18．若，其中为实数且，，则____________． 三、解答题 19．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 20．解方程： (1) (2) 21．解方程： (1)； (2)． 22．甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 23． 已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 24．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】先通过因式分解法求出一元二次方程的两个根，再计算两根之和即可得到答案． 【详解】解：， 或， 解得：， ． 2．B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 3．B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 4．C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 5．B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 6．B 【分析】先解一元二次方程，得出，然后根据象限内点的坐标特点进行判断即可． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴， ∴为， ∴在第二象限． 7．A 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. 8．D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 9．D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用一元二次方程的解法进行逐个判断，即可求解． 【详解】解：甲、方程化简得，甲写成，故甲解法错误； 乙、直接两边除以，未考虑的情况，会漏解，故乙解法错误； 丙、移项时符号错误，正确移项应为，丙写成，导致后续结果错误，故丙解法错误； 丁、化简得，配方得，得，即，解得，，解法完全正确； 综上可知丁的解法完全正确，选项D符合题目要求． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 11．， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 12． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程． 根据题意，另一个根需比小且比大，取另一个根为，满足条件，与已知根2共同构造一元二次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根比小，比大，不妨设另一个根为， ∴一元二次方程可写为， 展开得． 故答案为：（答案不唯一）． 14． 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解一元二次方程． 根据分式的值为零的条件得到且，进而求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子且分母． 解方程，得或； 解，得； 即或且， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】根据正比例函数是（k为常数，），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得：． 16． 或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据因式分解法可进行求解方程； （2）由题意可分为当时，当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 解得：； （2）当时，即， ∴， 解得：（均不符合题意，舍去）； 当时，即， 此时可有，方程成立， 所以是方程的解； 当时，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：方程的解为或1． 17． 是 或 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是的2倍，是的2倍，两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ， ，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）， ∴，， 解：，， ∵是“倍根方程”， ∴当是的2倍时，即，则， ∴当是的2倍时，即， 故答案为：或． 18． 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解： 代入求根公式得 ∴， （2）解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 20．(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 21．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，，， ∵ ∴ ， ∴ （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴或， 解得． 22．甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】略 23． ；方程的另一根为 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为0，舍去不符合条件的值，再将符合条件的代入原方程，求解得到方程的另一根． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得， 因式分解得， 解得， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即， ， 将代入原方程得 ， 整理得， 提取公因式得， 解得， 方程的另一根为． 24．(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $