第6板块 平面向量、复数与解三角形 考前必背知识清单及解题技巧-2027届新高考高三数学第一轮复习

该高中数学高考一轮复习知识清单系统整合平面向量、复数与解三角形板块，涵盖平面向量的概念运算、基本定理及坐标运算、数量积，复数的概念与运算，解三角形的正余弦定理及应用，按讲次分设必背知识与解题技巧模块。 清单通过表格对比（如正余弦定理公式及变形）、解题技巧分级（如向量共线定理的三点应用）呈现知识体系，标注易错点（如向量夹角锐角需排除同向），培养数学思维与表达素养，助力学生自主梳理知识，教师可据此精准指导复习。

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 审核老师，您好，这个资料是按板块划分的，平面向量和解三角形是一个章节的内容，复数内容较少，就一起放这里了，一轮复习也是这一板块一起复习复数，请您审核. 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 考前必背知识及解题技巧 第6板块 平面向量、复数与解三角形 第25讲　平面向量的概念及线性运算 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模),记作||. (2)零向量:长度为0的向量,记作0. (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,记作a∥b. 规定:0与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 3. 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 4. 等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图,由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1,由△OAB与△OA'B'相似,必存在一个常数k,使得=k,则=k=kλ+kμ,又=x+y(x,y∈R),∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立. (2)平面内一组基底,,=λ+μ(λ,μ∈R),若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+). 2. =λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1. 3. 解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更要考虑向量的方向;二是要特别注意零向量的特殊性,考虑零向量是否也满足条件. 4. 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 5. 向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度． (2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等向量：方向相同且长度相等． 6. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：①平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；②三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答． 7. 向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础．对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形，然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握． 8. 利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这两个向量的公共点． 9. 共线向量定理的3个应用 (1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 10. 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量. 11. 平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义. (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值. 12. 利用共线向量定理解题的策略 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线. (3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0. (4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1. 第26讲　平面向量的基本定理及坐标运算 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 平面向量的基本定理 条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 基底 若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 3. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|＝叫做向量a的长度(模)． 4. 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=. 5. 两向量平行和垂直的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－y1x2＝0. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然. 2. 若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0. 3. 向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的. 4. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 5. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． 6. 解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 7. 向量共线充要条件的2种形式： (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)； (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便． 8. 在几何图形中进行向量运算： (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算． 9. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 10. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的. 11. 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,可求对应向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 第27讲　平面向量的数量积 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.  (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则与e,a,θ之间的关系为=|a|cos θe. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2. (2)模:|a|==. (3)夹角:cos θ==. (4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ ·. 3. 平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 4. 平面几何中的向量方法 三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 有关向量夹角的两个结论：已知非零向量a,b. (1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0; 若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0; 若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π. 2. 平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2; (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 3. 向量数量积的3种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定义法 当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐标法 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 转化法 把要求数量积的两个向量转化为其他向量，再求数量积 适用于定义法，坐标法不能解决的问题 4. 求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝，注意θ的取值范围为[0，π]． ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. ③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解． 5. 求解平面向量模的方法 ①写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝即可． ②利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝. 6. 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 7. 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义:a·b=|a||b|cos<a,b>; (2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2; (3)利用基底法求数量积; (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 8. 　求平面向量的模的方法 (1)公式法:利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2; (2)几何法:利用向量的几何意义. 9. 求平面向量的夹角的方法 (1)定义法:cos θ=; (2)坐标法. 10. 两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0). 11. 平面向量背景下的新定义问题,通常基于平面向量的方向性和大小,引入新的运算规则或概念.解题时,首先要准确理解新定义的本质, 明确其涉及的向量运算和性质.接着,将新定义应用到具体的题目情境中,通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算,推导出所需的结论.最终,通过综合应用平面向量的基础知识和新定义,解决这类复杂而有趣的数学问题. 第28讲　复数 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 复数的有关概念 (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类 满足条件(a,b为实数) 复数的 分类 a+bi为实数⇔b=0 a+bi为虚数⇔b≠0 a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0 (3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (5)模:向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R). 2. 复数的几何意义 复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系. 3. 复数的运算 (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R. (2)几何意义: 复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即=+,=-. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. i的乘方具有周期性:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. 2. (1±i)2=±2i,=i,=-i,=. 3. 复数的模与共轭复数的关系z·=|z|2=||2. 4. r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心,以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环; |z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆. 5. 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解． 6. 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． 7. 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 8. 对复数几何意义的理解及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 9. 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. 10. 复数的乘法类似于多项式的乘法运算;复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 11. 复数z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)=(a,b). 12. 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法,把复数、向量与解析几何联系在一起,使问题的解决更加直观. 第29讲　解三角形 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 正、余弦定理 在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C ===2R 常见 变形 cos A=; cos B=; cos C= (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B=bsin A, bsin C=csin B,asin C=csin A 2. 在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A <a<b a≥b a>b a≤b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解 3. 三角形常用面积公式 (1)S=a·ha(ha表示a边上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径). 4. 射影定理： 设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有 a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A. ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C; (2)cos(A+B)=-cos C; (3)sin=cos; (4)cos=sin. 2. 在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 3. 在解三角形中,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 4. 三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不确定性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 5. 判断三角形形状的技巧总结 (1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边或等腰三角形. (2)通过三角恒等变换,得出内角之间的关系,从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形. 求解三角形形状问题时,既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑,以免漏解. 6. 求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或两边之积,代入公式求面积. (2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积. 结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 7. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 8. 利用正弦定理的变形，达到边化角、角化边消元的目的，进一步可解三角形． 9. 由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 10. 利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角． 由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定． 11. 对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 12. 求解高度问题应注意： (1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 13. 求解距离问题应注意： (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 14. 求解角度问题应注意： (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 15. 判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一． ①等腰三角形：a＝b或A＝B. ②直角三角形：__b2＋c2＝a2__或__A＝90°__． ③钝角三角形：__a2＞b2＋c2__或__A＞90°__． ④锐角三角形：若a为最大边，且满足__a2＜b2＋c2__或A为最大角，且__A＜90°__． 16. △ABC中常用的一些基本关系式 ①A＋B＋C＝__π__． ②sin(B＋C)＝__sin__A__，cos(B＋C)＝__－cos__A__， tan(B＋C)＝__－tan__A__． ③sin ＝__cos____，cos ＝__sin____， tan ＝____． 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $