26.4 实物抛物线问题第3课时教学设计2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决实物抛物线问题，通过展示拱桥、喷泉等生活实例导入，衔接前两节课面积和利润最值知识，引导学生建立实物与数学抛物线的联系，搭建从生活到数学的学习支架。 此资料以数学建模为主线，通过三种坐标系对比培养逻辑推理能力，“五步法”归纳建模流程发展建模意识，“固定宽看高/固定高看宽”方法提升直观想象。多实例练习强化应用，助力学生掌握解题关键，为教师提供系统教学方案和丰富素材。

教案：26.4 二次函数的应用——实物抛物线问题（第3课时） 课题 26.4 二次函数的应用——实物抛物线问题（第3课时） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版九年级上册 第二十六章 教学方法 情境教学、探究发现、数形结合、讲练结合 教学用具 多媒体课件、坐标纸、几何画板 一、核心素养目标 1. 数学建模 通过拱桥、隧道、喷泉、运动轨迹等实际问题，经历"实际问题→建立坐标系→写出关键点坐标→求二次函数解析式→解决实际问题"的完整建模过程。理解建立适当的平面直角坐标系是求解实物抛物线问题的关键一步，体会数学建模在解决实际问题中的核心作用。 2. 直观想象 将实物抛物线（拱桥轮廓、喷泉水柱、篮球运动轨迹等）抽象为数学中的抛物线或，从几何直观中提取关键信息（最高点、最低点、与坐标轴的交点等），建立坐标系并标定关键点的坐标，发展几何直观和空间想象能力。 3. 逻辑推理 在对比不同坐标系下解法的过程中，理解"虽然解析式不同，但几何本质相同"的道理。在判断船能否通过桥洞时，通过"固定宽看高"和"固定高看宽"两种方法的对比，体会逻辑推理的严密性，学会从不同角度验证结论。 4. 数学运算 在建立坐标系后，利用待定系数法准确求出二次函数的解析式，并能根据实际问题中的条件（如水面上升高度、船的尺寸等）进行精确的代数运算，求解或比较函数值，得出符合实际意义的结论。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握利用二次函数解决实物抛物线问题的一般步骤：建立适当的平面直角坐标系→写出关键点坐标→运用待定系数法求解析式→利用解析式求解实际问题。 2. 能选择以拱顶（最高点）或最低点为坐标原点的最优坐标系，简化二次函数解析式的形式。 3. 能灵活运用"固定宽看高"和"固定高看宽"两种方法判断物体能否通过抛物线形通道。 教学难点 1. 根据实际问题建立适当的平面直角坐标系，选择最优坐标系以简化计算（以顶点为原点的坐标系通常能使解析式不含一次项）。 2. 理解不同坐标系下解析式不同但结果相同的本质，体会"坐标系是工具，选择是为了方便"的数学思想。 3. 将实际问题中的条件（如水面上升1m、船宽4m、物资顶部距水面2m等）准确地转化为数学语言，正确判断物体能否通过。 三、教学过程 环节一：情境导入（3分钟） 生活中的拱桥 【教师活动】同学们，在日常生活中我们经常能看到各种各样的拱桥。请大家观察屏幕上的图片，这些桥都有什么共同特点？ 【学生活动】这些桥的轮廓都是拱形的，看起来像一条抛物线。 【教师活动】观察得很准确！确实，很多拱桥的轮廓近似于一条抛物线。除了拱桥，生活中还有哪些实物会呈现抛物线的形状？ 【学生活动】喷泉喷出的水柱、篮球投出后的运动轨迹、隧道拱顶的轮廓、还有荡秋千时绳子形成的弧线等，都近似于抛物线。 【教师活动】非常好！同学们列举了很多生活中的抛物线实例。前两节课我们已经学习了利用二次函数解决面积和利润中的最值问题，今天，我们将进一步学习如何利用二次函数解决这些实物抛物线问题。比如，拱桥的拱形有多高？水面宽度变化了多少？一艘船能否安全通过桥洞？这些问题都可以用二次函数的知识来解决。 【过渡语】通过展示生活中的拱桥、喷泉等实物抛物线图片，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活、服务于生活。自然引出本节课的核心问题——如何利用二次函数解决实物抛物线问题。 【设计意图】情境导入环节通过展示实物图片，让学生直观感受抛物线在生活中的广泛应用，建立"实物抛物线"与"数学中的抛物线"的初步联系。通过"这些桥有什么共同特点"的提问，引导学生观察和思考，自然过渡到本节课的学习主题。 环节二：探究新知——拱桥问题（14分钟） 一、问题呈现 【教师活动】请同学们看大屏幕上的问题：一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m。突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少？请同学们先独立思考，这个问题该从何入手？ 【学生活动】我觉得首先需要建立坐标系，把拱桥的抛物线形状用数学表达式表示出来，然后再根据水面上升1m的条件求新的水面宽度。 【教师活动】思路很清晰！解决这类问题的关键步骤是：首先要建立适当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题。那么，我们该如何建立坐标系呢？请大家思考一下，坐标系应该建立在什么位置比较方便？ 二、方法一：以拱顶为原点建立坐标系 【教师活动】我们以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。这样，拱顶的坐标就是(0,0)。请同学们思考，在这个坐标系中，水面两端点的坐标分别是什么？ 【学生活动】水面宽10m，以拱顶为原点，拱顶离水面4m，所以水面在拱顶下方4m处。水面左端点的坐标是(-5, -4)，右端点的坐标是(5, -4)。 【教师活动】完全正确！因为拱桥的抛物线关于y轴对称，且顶点在原点，所以我们可以设抛物线的解析式为最简形式。请同学们写出解析式。 【学生活动】因为抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，所以设抛物线解析式为y=ax2。 【教师活动】很好！现在我们已经有了点(5, -4)在抛物线上，将点代入解析式，能求出a的值吗？ 【学生活动】将点(5, -4)代入y=ax2，得，所以。抛物线解析式为。 【教师活动】非常好！现在水面上升了1m，在坐标系中，水面上升1m意味着什么？ 【学生活动】水面上升1m，即y坐标从-4变为-3。所以把y=-3代入解析式，得，，所以。水面宽度为（m）。 【教师活动】计算完全正确！水面上升1m后，水面宽度约为8.7m。现在，请同学们思考一个问题：如果我们换一种方式建立坐标系，结果会一样吗？ 三、方法二：以水面为x轴建立坐标系 【教师活动】现在我们以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系。在这个坐标系中，拱顶的坐标是什么？水面两端点的坐标又是什么？ 【学生活动】拱顶离水面4m，水面上升1m后，拱顶离新水面3m，所以拱顶坐标为(0, 3)。水面两端点在新x轴上，坐标为(-5, -1)和(5, -1)。因为水面原来宽10m、原来离拱顶4m，上升1m后新水面离拱顶3m，而原来水面在拱顶下方4m处，所以在新坐标系中，水面两端点在新x轴下方1m处。 【教师活动】分析得很仔细！现在设抛物线解析式为y=ax²+3（因为顶点在(0,3)），将点(5,-1)代入，能求出a吗？ 【学生活动】将点(5, -1)代入y=ax2+3，得，所以25a=-4，。解析式为。水面上升1m后，即y=0时的水面宽。令y=0，得，，。水面宽度为（m）。 【教师活动】结果完全相同！ 四、方法三：以原水面为x轴建立坐标系 【教师活动】还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。在这个坐标系中，拱顶离水面4m，所以拱顶坐标为(0, 4)。水面两端点坐标为(-5, 0)和(5, 0)。请同学们自己动手计算一下，看看结果是否与前面一致。 【学生活动】设抛物线解析式为y=ax²+4，将点(5, 0)代入得0=25a+4，a=-。水面上升1m，即y=1时，代入得1=--x²+4，解得x²=-，x约等于±4.33，水面宽度约8.7m。三种方法结果相同！ 【知识点】三种坐标系对比：方法一（以拱顶为原点）：解析式（最简单），顶点(0,0)；方法二（以新水面为x轴）：解析式，顶点(0,3)；方法三（以原水面为x轴）：解析式，顶点(0,4)；虽然三种方法建立的坐标系不同，解析式也不同，但a的值始终是，最终求得的水面宽度都是8.7m。建议优先选择以拱顶（顶点）为原点的坐标系，解析式最简单。 【设计意图】通过三种不同坐标系下求解同一道题，让学生体会"坐标系的选择是多样的，但最优选择能简化计算"。以顶点为原点的坐标系能使解析式不含一次项，是首选方法。同时，三种方法的结果相同，体现了数学的统一性和严谨性。 坐标系选择策略：1. 优先选择以抛物线的顶点为坐标原点——此时解析式为，形式最简单；2. 其次选择以水面（或地面）为x轴——此时解析式为，顶点(0, k)；3. 无论选择哪种坐标系，a的值不变（a由抛物线的形状决定），最终结果相同；4. 选择坐标系后，务必准确标定关键点的坐标，这是正确求解的前提。 【过渡语】通过拱桥问题的探究，我们掌握了利用二次函数解决实物抛物线问题的基本方法。现在，让我们把这个方法归纳总结出来，形成一般的解题步骤。 环节三：方法归纳——建立坐标系（6分钟） 一、利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤 【教师活动】通过刚才的探究，请同学们总结一下，利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤是什么？ 【学生活动】第一步：建立适当的平面直角坐标系。第二步：写出抛物线上的关键点的坐标（如拱顶、水面端点等）。第三步：运用待定系数法求出二次函数解析式。第四步：利用解析式求解数学问题（如求函数值、解方程等）。第五步：将数学结果回归到实际问题中，给出最终答案。 【教师活动】总结得非常到位！这五个步骤就是解决实物抛物线问题的"标准流程"。请同学们牢牢记住，特别是第一步"建立适当的平面直角坐标系"，这是将实际问题转化为数学问题的关键。选择以顶点为原点的坐标系，往往能让解析式最简单。 【知识点】利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：(1) 建立适当的平面直角坐标系（优先以顶点为原点）；(2) 写出抛物线上的关键点的坐标（拱顶、端点、与坐标轴交点等）；(3) 运用待定系数法求出函数解析式；(4) 求解数学问题（代入求值、解方程等）；(5) 回归实际问题，给出最终答案。 方法总结：解决实物抛物线问题的"五步法"：第一步：建系——选择适当的坐标系（优先以顶点为原点）；第二步：标点——准确写出关键点的坐标，注意正负号；第三步：求式——利用待定系数法求解析式，通常设或；第四步：解算——根据条件代入求值或解方程，注意精确度和近似计算；第五步：作答——回归实际问题，给出符合实际意义的答案。 【设计意图】通过归纳总结"五步法"，帮助学生形成解决实物抛物线问题的一般思路和规范流程。学生今后遇到类似问题，只需按照这五个步骤操作即可，降低了思维的难度，提高了解决问题的效率。 【过渡语】刚才我们解决了拱桥中水面宽度的问题。现在，让我们来看一个更有挑战性的问题——在暴雨后有一艘船要通过拱桥，它能安全通过吗？ 环节四：变式拓展——船能否通过桥洞（5分钟） 【教师活动】请同学们看这个变式问题：在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示。这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m。这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【教师活动】这是一个典型的判断物体能否通过抛物线形通道的问题。请同学们思考，我们应该用什么方法来判断？ 【学生活动】可以采用"固定宽看高"的方法。以上升1m后的水面为x轴建立坐标系，之前我们已经求出抛物线解析式为y=-x²+3。船宽4m，左右对称，所以船的两侧在x=2和x=-2处。将x=2代入解析式，求出此时的y值（即拱桥在x=2处的高度），如果y大于等于2m（船的物资顶部高度），船就能通过。 【教师活动】思路非常清晰！请同学们计算一下，当x=2时，y的值是多少？ 【学生活动】将x=2代入，得（m）。因为2.36>2，所以拱桥在船上方的高度（2.36m）大于船的高度（2m），船可以通过。 【教师活动】计算正确！所以这艘船能安全通过拱桥。现在，我们总结一下判断物体能否通过抛物线形通道的两种常用方法。 【知识点】判断船能否安全通过桥洞的两种方法：方法一：固定宽看高——已知船的宽度，将x=半宽代入解析式，求出此时拱桥的高度y，与船的高度比较。若y≥船高，则能通过；方法二：固定高看宽——已知船的高度，将y=船高代入解析式，求出此时拱桥的宽度2|x|，与船的宽度比较。若2|x|≥船宽，则能通过。两种方法等价，根据已知条件选择更方便的一种。 【设计意图】变式拓展将拱桥问题延伸到"船能否通过"的判断问题，增加了实际应用的情境性和趣味性。通过"固定宽看高"和"固定高看宽"两种方法的介绍，培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力。 易错提示：1. 判断船能否通过时，必须在同一个坐标系中计算。注意选择与求解析式时一致的坐标系；2. "固定宽看高"时，代入的是半宽（船宽的一半），因为抛物线关于y轴对称；3. "固定高看宽"时，解出的x值要乘以2得到宽度，再与船宽比较；4. 注意单位统一，计算结果需要与实际数据比较大小。 【过渡语】通过拱桥问题和变式拓展，我们掌握了利用二次函数解决实物抛物线问题的基本方法。现在，让我们通过课堂练习来巩固和运用这些知识。 环节五：课堂练习（12分钟） 一、投篮运动轨迹问题 【教师活动】请同学们看教材P54练习第1题。在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=-0.2x²+3.85的一部分，若篮球投入篮筐（篮筐高度为3.05m），求运动员到篮筐正下方的距离l。 【学生活动】篮球投入篮筐，即篮球到达篮筐时y=3.05。代入解析式：3.05=-0.2x2+3.85，-0.2x2=-0.8，x2=4，。因为篮筐在运动员前方，x取正值2。所以篮筐所在位置为(2, 3.05)，运动员到篮筐正下方的距离l=3.2+2=5.2（m）。 【教师活动】解答正确！注意这里x=2表示篮筐距抛物线对称轴的水平距离为2m，而运动员距对称轴3.2m，所以总距离l=3.2+2=5.2m。这道题的关键是理解"篮球投入篮筐"意味着篮筐坐标满足抛物线解析式。 【设计意图】投篮问题是运动轨迹类实物抛物线问题的典型代表，与拱桥问题的区别在于：运动轨迹的抛物线解析式通常已经给出，不需要再建立坐标系求解析式，直接代入条件求解即可。该题训练了学生利用已知解析式解决实际问题的能力。 二、校门抛物线形建筑问题 1. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米）（ ） A. 9.2 m B. 9.1 m C. 9 m D. 5.1 m 【教师活动】请同学们先建立坐标系，再求解。 【学生活动】以地面为x轴，校门对称轴为y轴，建立直角坐标系。设抛物线解析式为y=ax2+k，顶点为(0, k)，即校门最高点高度为k。地面宽度8m，两端点坐标为(-4, 0)和(4, 0)。铁环距地面4m高，两铁环水平距离6m，则铁环坐标为(-3, 4)和(3, 4)。将点(4, 0)和(3, 4)代入：0=16a+k，4=9a+k。两式相减得-4=7a，。代入得。所以校门高约为9.1m，答案选B。 【设计意图】校门问题训练了学生利用两个已知点坐标列方程组求参数a和k的能力，与拱桥问题中只需求一个参数a不同，本题需要联立方程组，对学生的运算能力提出了更高要求。 三、涵洞问题 2. 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是________。 【学生活动】以顶点O为原点建立坐标系，水面两端点A、B的坐标分别为(-0.8, -2.4)和(0.8, -2.4)。设抛物线解析式为y=ax2，将点(0.8, -2.4)代入：，。所以解析式为y=-3.75x2。 【设计意图】涵洞问题与拱桥问题类似，但已知条件从"拱顶离水面4m，水面宽10m"变为"顶点到水面2.4m，水面宽1.6m"，训练了学生举一反三、灵活运用待定系数法的能力。 四、喷泉问题 3. 某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，若抛物线最高点M离墙1米，离地面40/3米，求水流落地点B离墙的距离。 【教师活动】这道题的关键信息是：窗户A的高度为10米，最高点M离墙1米、离地面40/3米。请同学们建立坐标系求解。 【学生活动】以地面为x轴，墙面为y轴，建立直角坐标系。窗户A坐标为(0, 10)，最高点M坐标为(1, 40/3)。设抛物线解析式为。将A(0, 10)代入：，。所以解析式为。求B点即y=0时的x值：，(x-1)2=4，。B点在墙的右侧，x取正值，x=1+2=3。所以水流落地点B离墙3米。 【设计意图】喷泉问题需要用到顶点式y=a(x-h)²+k，顶点不在y轴上，难度比前几题更高。解题的关键是准确标定窗户A和最高点M的坐标，再利用待定系数法求出a的值。 五、防护栏问题 4. 某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 【教师活动】请同学们注意，防护栏每段宽度为2m（从最高点到底部两端各1m），最高点距底部0.5m。需要在x=0.2和x=0.6处各加一根支柱。 【学生活动】以水平面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系。最高点坐标为(0, 0.5)，设抛物线解析式为y=ax2+0.5。抛物线过点(1, 0)（因为半宽为1m），代入得0=a+0.5，a=-0.5。解析式为y=-0.5x2+0.5（）。令x=0.2，；令x=0.6，。每段需要4根支柱（左右对称各2根），每段支柱总长为（m）。100段总长为（m）。 【设计意图】防护栏问题将二次函数与几何中的对称性、工程实际中的支柱设计相结合，考查了学生利用解析式求特定点函数值的能力。注意题目中"间距0.4m"对应x=0.2和0.6（因为每段宽2m，对称轴为y轴），左右对称的支柱长度需要乘以2。 六、小球运动轨迹问题 5. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）关于飞行时间x（单位：s）的函数解析式为y=-5x²+20x，请根据要求解答下列问题： (1) 在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ (2) 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是多少？ (3) 在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【教师活动】这道题是运动轨迹类问题，解析式已经给出，请同学们逐一解答。 【学生活动】(1) 当y=15时，15=-5x2+20x，化简得x2-4x+3=0，(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。所以飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s（上升和下降过程中各一次）。 【学生活动】(2) 落地时y=0，0=-5x2+20x，-5x(x-4)=0，解得x=0或x=4。x=0表示出发时刻，所以从飞出到落地用时4s。 【学生活动】(3) y=-5x2+20x=-5(x2-4x)=-5(x-2)2+20。因为-5<0，所以当x=2时，y有最大值20。即飞行2s时高度最大，最大高度为20m。 【教师活动】三道小题全部正确！注意第(1)问中飞行高度15m对应两个时间（上升和下降），这体现了抛物线的对称性。第(2)问中x=0和x=4分别对应出发和落地时刻。第(3)问用配方法求最值，顶点坐标为(2, 20)。 【设计意图】小球运动轨迹问题综合考查了利用二次函数解析式求解具体高度、落地时间和最大高度，涵盖了二次函数的零点、最值和对称性三个核心知识点，是一道综合性较强的运动轨迹应用题。 七、隧道问题 6. 如图，一拱形隧道的轮廓是抛物线形，拱高6m，跨度为20m。 (1) 建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的解析式。 (2) 拱形隧道下地平面是双向行车道（正中间是一条宽为2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2m、高3m的汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由。 【教师活动】这是一道隧道通行问题，与拱桥问题类似。请同学们先建立坐标系，再判断汽车能否通过。 【学生活动】(1) 以隧道地平面为x轴，隧道对称轴为y轴，建立直角坐标系。顶点坐标为(0, 6)，跨度20m，两端点坐标为(-10, 0)和(10, 0)。设抛物线解析式为y=ax2+6。将点(10, 0)代入：0=100a+6，。解析式为y=-0.06x2+6。 【学生活动】(2) 中间隔离带宽2m，左右各一条行车道。一条行车道从x=1到x=1+3×2=7（三辆车宽6m，从隔离带边缘开始）。在x=7处，（m）。因为3.06>3，所以隧道在x=7处的高度（3.06m）大于汽车高度（3m），汽车可以通过。 【教师活动】分析得很有条理！注意第(2)问中，中间隔离带宽2m，所以隔离带从x=-1到x=1。一条行车道从x=1开始，三辆车宽6m，所以最远的车在x=7处。如果x=7处的高度大于3m，汽车就能通过。 【设计意图】隧道问题综合考查了建立坐标系求解析式和判断车辆能否通过，是实物抛物线问题的典型综合应用题。解题的关键在于准确理解"隔离带"和"行车道"的几何位置关系，将实际问题转化为坐标系中的坐标计算。 解题策略：实物抛物线问题的解题关键——"坐标系"、"关键点"、"比较法"：1. 坐标系选择：优先以顶点为原点，其次以水面/地面为x轴；2. 关键点标定：拱顶/顶点、水面两端点/地面两端点、铁环/支柱等特征点，注意正负号；3. 解析式形式：顶点在原点用，顶点在(0,k)用，顶点不在y轴用；4. 判断通过：固定宽看高（代入x求y），或固定高看宽（代入y求x）。 环节六：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了利用二次函数解决实物抛物线问题。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？可以从"解题步骤"、"坐标系选择"、"判断物体的方法"三个方面来总结。 【学生活动】我学会了利用二次函数解决实物抛物线问题的五个步骤：建立坐标系→标定关键点→求解析式→解数学问题→回归实际问题。其中，建立适当的坐标系是最关键的一步，优先选择以抛物线的顶点为原点，这样解析式最简。 【学生活动】我知道了同一道题可以有多种建立坐标系的方法，虽然解析式不同，但最终结果相同。选择最优坐标系可以简化计算，体现了数学中"优化"的思想。 【学生活动】我还学会了判断物体能否通过抛物线形通道的两种方法：固定宽看高和固定高看宽。两种方法等价，根据已知条件选择更方便的一种。比如已知船宽就固定宽看高，已知高度要求就固定高看宽。 【学生活动】我还发现实物抛物线问题可以分为两类：一类是拱桥、隧道、涵洞等静态问题，需要自己建立坐标系求解析式；另一类是投篮、小球飞行等运动轨迹问题，通常解析式已经给出，直接代入求解即可。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心知识可以概括为"一个流程、两个方法、三种形式"：一个流程即"建系→标点→求式→解算→作答"的五步法；两个方法即"固定宽看高"和"固定高看宽"；三种形式即解析式的三种形式——y=ax²（顶点在原点）、y=ax²+k（顶点在y轴上）、y=a(x-h)²+k（顶点不在y轴上）。请同学们课后继续巩固练习，熟练掌握这些知识和方法。 【知识点】实物抛物线问题——知识框架总结：【解题流程——五步法】1. 建立适当的平面直角坐标系（优先以顶点为原点）；2. 写出抛物线上的关键点坐标（注意正负号）；3. 运用待定系数法求出函数解析式；4. 利用解析式求解数学问题（代入求值、解方程等）；5. 回归实际问题，给出符合实际意义的答案。【判断方法——两种】6. 固定宽看高：已知物体宽度，代入x=半宽求y，比较高度；7. 固定高看宽：已知物体高度，代入y=高度求x，比较宽度。【解析式形式——三种】8. 顶点在原点：；顶点在y轴上：；顶点不在y轴上：。 【设计意图】通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心知识体系，从"解题流程、判断方法、解析式形式"三个维度形成完整的知识网络。强调"建立坐标系"是解决问题的关键，坐标系的选择决定了后续计算的繁简程度。 学习建议：1. 做题时先画草图，标出已知条件和关键点，再选择坐标系；2. 建立坐标系后，用已知条件验证关键点的坐标是否正确（如水面两端点是否关于y轴对称）；3. 求出的解析式要检验——将已知点坐标代入，看是否满足；4. 最终答案要回归实际问题，检查是否符合实际意义（如宽度不能为负、高度不能超过拱高等）；5. 对于判断能否通过的问题，建议同时用两种方法验证，确保结论正确。 环节七：课后作业（2分钟） 【教师活动】请同学们课后完成以下作业，巩固本节课所学的实物抛物线问题的解决方法。 1. 从课后习题中选取：完成教材P54-55的练习题，重点练习拱桥问题和水面宽度变化的计算。 2. 完成练习册本课时的习题：巩固建立坐标系、求解析式、判断物体能否通过等方法。 3. 思考题：某隧道横截面为抛物线形，跨度为16m，拱高为6m。一辆货车宽3m、高4.5m，能否通过该隧道？请用两种方法验证你的结论。 4. 拓展题：搜索生活中其他的实物抛物线实例（如赵州桥、卢沟桥等），任选一个，建立坐标系，求出其近似解析式，并写一篇简短的研究报告。 【教师活动】下节课我们将进行本章的复习与小结，回顾整个第二十六章"二次函数"的核心知识和方法，请同学们提前梳理本章的知识框架。 【设计意图】课后作业兼顾基础巩固（教材习题、练习册）和拓展探究（思考题、研究报告），既确保学生掌握实物抛物线问题的基本解法，又激发学生将数学知识应用于生活实际的兴趣。思考题要求用两种方法验证，强化了"固定宽看高"和"固定高看宽"两种方法的灵活运用。 四、板书设计 26.4 实物抛物线问题（第3课时） 一、拱桥问题——坐标系选择 1. 方法一：以拱顶为原点 y=ax² → 代入(5,-4) → a=-- 水面上升1m：y=-3 → x≈±4.33 → 宽≈8.7m 2. 方法二：以新水面为x轴 y=ax²+3 → 代入(5,-1) → a=-- y=0 → x≈±4.33 → 宽≈8.7m 3. 方法三：以原水面为x轴 y=ax²+4 → 结果相同 二、解题步骤——五步法 三、判断方法——两种 1. 建立适当的坐标系 2. 标定关键点坐标 3. 待定系数法求解析式 4. 求解数学问题 5. 回归实际问题作答 四、解析式形式——三种 五、课堂练习 1. y=ax²（顶点在原点） 2. y=ax²+k（顶点在y轴上） 3. y=a(x-h)²+k（顶点不在y轴上） 六、课堂小结 1. 投篮问题：代入y=3.05求x 2. 校门问题：联立方程组 3. 涵洞问题：待定系数法 4. 喷泉问题：顶点式 5. 防护栏问题：求支柱总长 6. 小球轨迹：配方法求最值 7. 隧道问题：固定宽看高 五、教学反思 1. 环节一的情境导入是否有效？学生能否从拱桥、喷泉等实物图片中感受到抛物线在生活中的广泛应用？"这些桥有什么共同特点"的提问是否激发了学生的好奇心和探究欲望？从情境导入到探究新知的过渡是否自然？ 2. 环节二中，学生在建立坐标系时是否遇到了困难？以拱顶为原点建立坐标系后，学生能否准确标定水面两端点的坐标（特别是y=-4的负号）？学生在用待定系数法求a时，计算是否准确（-4=25a→a=--）？水面上升1m后，学生能否正确理解"y从-4变为-3"，并代入求解？ 3. 环节二中，三种坐标系的对比是否有效？学生是否理解了"虽然解析式不同，但a的值相同，结果相同"的本质？学生能否体会到"以顶点为原点"是最优选择？有没有学生提出其他建立坐标系的方法？ 4. 环节三的方法归纳是否及时且有效？"五步法"的总结是否帮助学生形成了解决实物抛物线问题的清晰思路？学生是否能用自己的语言复述这五个步骤？ 5. 环节四的变式拓展中，学生对于"固定宽看高"的方法是否理解到位？将x=2代入解析式时，学生是否理解了x=2对应船宽的一半（船宽4m，对称布置）？计算结果2.36>2的判断是否正确？有没有学生尝试用"固定高看宽"的方法来验证？ 6. 课堂练习中，学生最容易出错的地方在哪里？是建立坐标系后标定点坐标的正负号出错，还是待定系数法计算a时出错，或者在判断"固定宽看高"时代入的是全宽而非半宽？针对这些易错点，教师是否给予了及时的纠正和强化？ 7. 喷泉问题（练习4）中需要用到顶点式y=a(x-h)²+k，难度较大。学生能否正确标定窗户A(0,10)和最高点M(1,)的坐标？在代入求解时，学生是否注意到了a的符号和大小？ 8. 隧道问题（练习7）中，学生对"隔离带"的几何位置是否理解正确？隔离带从x=-1到x=1，行车道从x=1开始，三辆车到x=7，这个推理过程是否清晰？ 9. 本节课是否充分体现了"数学建模"的核心素养？学生是否经历了"实际问题→数学问题→求解→回归实际"的完整建模过程？板书设计是否清晰地呈现了本节课的知识框架？ 10. 课后作业的布置是否兼顾了基础巩固和拓展探究？思考题要求用两种方法验证，是否有助于强化"固定宽看高"和"固定高看宽"两种方法的灵活运用？拓展题要求学生搜索生活中的实物抛物线实例，是否有助于培养数学应用意识？ 学科网（北京）股份有限公司 $