26.4 第3课时 实物抛物线问题 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实物抛物线问题，通过“这些桥都有什么特点？”导入，衔接二次函数图象与性质，以拱桥、投篮等生活实例为支架，引导学生建立函数模型解决实际问题。 其亮点在于依托多情境实例，如拱桥水位变化、小球飞行轨迹等，培养数学眼光（抽象现实问题为函数模型）、数学思维（推理坐标系建立与解析式求解）、数学语言（用函数表达实际关系）。采用探究式教学与步骤化小结，助力学生形成结构化解题能力，教师使用可高效落实核心素养。

实物抛物线问题 R·九年级上册 学习目标 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题. 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题. 能运用二次函数的图象与性质进行决策. 2 情境导入 这些桥都有什么特点？ 探究新知 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）? 分析： (1) 建立适当的平面直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解. x y O 解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(5，-4)代入解析式，可得-4=a×52. 水面上升1m，即此时y=-3. x y O 答：此时水面的宽度大约是8.7 m . 如果以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ 解：依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(5，-1)代入解析式，可得-1=a×52+3. x y O 水面上升1m，即此时y=0. 你还有其他的方法吗？ 还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. x y O 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示.这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗? x y O y 3 O 以上升1m后的水面为x轴 3 4m 2m x=2时，y≥2的话船就能通过. 【选自教材P54 练习 第2题】 且抛物线与x轴的交点分别为(－ ,0)、 (,0)， 当x=2时，y= －= ， 又 ， 所以这艘船能从这座拱桥下通过. y 3 O 4m 2m 解：以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图直角坐标系. 前面已求得抛物线的解析式为y=－ 判断船能否安全通过桥洞，汽车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法： ①固定船(汽车)的宽，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小）； ②固定高，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数的解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小）. 练习 【选自教材P54 练习 第1题】 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 y=－0.2x²+3.85的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l. 解：y=3.05时，有－0.2x²+3.85=3.05， 解得x1=2，x2=－2（舍去）. 即篮筐所在位置为(2 , 3.05)， 则l=3.2+2=5.2(m). 答：运动员到篮筐正下方的距离l为5.2m. 随堂演练 1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计) ( ) A. 9.2 m B. 9.1 m C. 9 m D. 5.1 m B 2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 . y=-3.75x2 A B 3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米， 离地面 米，求水流落地点B离墙的距离. 4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 解：以水平面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0)， ∴0=a+0.5，解得a=-0.5. ∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. (−1≤x≤1) 令x=0.2，y=-0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6，y=-0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m). ∴这条防护栏需要不锈钢支柱 的总长度至少为160m. 5.如图，一小球(点A)沿与地面成一定角度的方向飞出，小球 的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)关于飞行时间x(单位：s)的函数解析式为y=-5x2 +20x ，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 解:(1)当y=15时，15=-5x2 + 20x.解得x1=1，x2=3. 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s. (2)当y=0时，0=-5x2+20x.解得x1=0，x2=4.因为4-0=4(s)， 所以在飞行过程中，小球从飞出到落地所用的时间是4s. (3)y=-5x2 +20x=-5(x-2)2+20. 因为-5<0，所以当x=2时，y取得最大值，最大值为20.故在飞行过程中，小球飞行高度在飞行2s时最大，最大高度是20m. 6.如图，一拱形隧道的轮廓是抛物线形，拱高6m，跨度为20m. (1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的解析式. (2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间 是一条宽为2m的隔离带)，其中的一条行 车道能否并排行驶三辆宽2m，高3m的汽 车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由. 解法1: (1)如图，建立平面直角坐标系. 根据题意知点B，C的坐标分别是( 10,0)，(0,6). 设抛物线的解析式为y=ax2+6. 将点B的坐标代入y=ax2+6，得100a+6=0. 解得a= . 所以抛物线的解析式为 . (2)能.理由如下：根据题意，三辆汽车并排时最外侧到原点的距离为 . 当x=7时，y= . 故可以并排行驶三辆宽2m，高3m的汽车. y/m x/m 解法2: (1)如图，建立平面直角坐标系. 根据题意知点A，B，C的坐标分别是(0,0)， (20,0)，(10,6).设抛物线的解析式为y=a(x-10)2+6. 将点B的坐标代入，得0=a·(20-10)2+6. 解得a= . 所以抛物线的解析式为 (2)能，理由如下:令y=3，得 .即x2-20x+50=0. 解得 所以 . 因为 ,所以可以并排行驶三辆宽2m，高3m的汽车. y/m x/m 课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 $