26.4 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹问题，通过生活中的拱桥、喷泉等实例导入，引导学生观察现实中的抛物线，联系二次函数概念，借助引例和问题链搭建从实际到数学模型的学习支架。 资料特色在于情境贴近生活，培养学生用数学眼光观察现实世界，合作探究中的问题设计引导数学思维，通过建模步骤归纳和典例分析培养模型意识，助力学生运用数学语言表达和解决实际问题，习题梯度合理，提升应用能力。

第26章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第 3 课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 【学习目标】 学习目标：1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题． 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 【情境导入】 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等． 生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？ 【合作探究】 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 引例 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m时，水面宽 10 m. 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？ 思考：如何把拱桥的纵截面转化为二次函数图象呢？ 问题1 建立如图直角坐标系， 如何确定 a 的值？ 问题 2 水面上升 1 m，水面宽度增加多少？ 归纳总结 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 练一练 1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式. 典例精析 例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示． （1）请写出该抛物线的函数解析式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮框中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 练一练2. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 0 当堂反馈 1.如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，若以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式为　　. 2.[一材多题]小明在校运动会上掷铅球. (1)第1次掷球时，铅球行进高度h(m)和飞行时间t(s)满足的函数解析式为 h＝－t2＋t＋，则当铅球距离地面的高度最大时，飞行时间为　　s. (2)第2次掷球时，如图，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式为 y＝－(x＋1)(x－7)，铅球落到A点处，则OA＝　　m. [等价设问]小明此次掷球的成绩是　　m. 3.跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，丙、丁两名同学分别站在距甲同学拿绳的手水平距离1m，2.5m处.绳子在甩到最高处时，刚好通过他们的头顶.已知丙同学的身高是1.5m，建立如图所示的直角坐标系，请你算一算丁同学的身高. 4.图①是李村河上一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状.抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m.桥洞与水面的最大距离是5m.桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图②所示. (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离. 参考答案 问题1 已知水面宽10米时，拱顶离水面高4米，因此点A（5，-4）在抛物线上，由此得出-2=a·52，解得a= 因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的 相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 问题2 解：这条抛物线表示的二次函数为y=当水面上升1m时， 水面的纵坐标-3 令解得即，水面上升1m时，水面宽度增加 练一练1. 解：建立如图直角坐标系， 设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2. ∵ 该抛物线过点 (10，−4)， ∴ −4 = 100a，故 a = −0.04. ∴ y = −0.04x2. 典例精析 例1 解：（1）根据题意得C（0，4），把C（0，4），代入y＝x2+2x+c，得c=4.所以抛物线解析式为y＝x2+2x+4. （2）抛物线解析式为y＝x2+2x+4=(x-6)2+10.所以对称轴为x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过. （3）令y＝8，则(x-6)2+10=8,解得x1＝6+2,x2＝6-2,则x1﹣x2＝4.所以两排灯的水平距离最小是4 m. 例2 解：如图②，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的解析式为y=－0.2x2+3.5.当 x=－2.5时，y=2.25 .故该运动员出手时的高度为2.25m. 练一练2. 解：建立如图①所示的坐标系.根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为 (1，2.25).设右边抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛物线解析式为 y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 图① 图② 当堂反馈 1.　y＝－x2　. 2.(1)　2　. (2)　7　. 7　. 3.解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 由图可知抛物线过(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)三点. 代入易求其表达式为y＝－x2＋x＋. ∵丁同学头顶的横坐标为1.5， ∴y＝－×1.52＋×1.5＋＝1.625，即丁同学的身高为1.625m. 4.解：(1)由题意知抛物线的顶点坐标为(5，5)， 与y轴的交点坐标是(0，1). 设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋5，代入点(0，1)， 得a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋5(0≤x≤10). (2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，令y＝4， 即4＝－(x－5)2＋5，解得x1＝，x2＝. ∴两盏景观灯之间的水平距离为－＝5(m). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $