26.4 第2课时 商品利润最大问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数的商品利润最大问题，通过复习导入回顾二次函数求几何图形最大面积步骤及销售利润公式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 资料特色在于分涨价、降价两种情况探究，通过表格梳理数量关系培养抽象能力（数学眼光），分步分析函数构建与自变量范围确定发展推理意识（数学思维），知识要点总结步骤结合实际问题强化模型意识（数学语言），习题层次分明含典型易错点，助力学生提升应用能力。

第26章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第 2 课时 商品利润最大问题 【学习目标】 学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 重点：能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 【复习导入】 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 2. 销售问题中有关利润的公式： 【合作探究】 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少? ◆涨价销售 ①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元) 正常销售 涨价销售 ②自变量x的取值范围如何确定？ ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ ◆降价销售 设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元) 正常销售 降价销售 练一练 1. 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. 知识要点：求解最大利润问题的一般步骤. (1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价 x (元/千克)的函数关系如图所示： (1) 求 y 与 x 的函数解析式； (2) 求这一天销售西瓜获得的利润W 的最大值. 当堂反馈 1.某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是(　　) A.1558元 B.1550元 C.1508元 D.20元 2.某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y＝－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w(元)，则w与x之间化简后的函数关系式为　　，w的最大值为　　. 3.[教材变式]某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件.若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？ 书写通关 解：设　 　， 根据题意得　 　， x的取值范围为　 　， ∴当x＝　　 时，利润取得最大值. 答：　 　. 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求能获得的最大利润. 5.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y＝－2x＋160，且规定商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元. (1)销售单价为多少元时每天能获得800元的利润？ (2)[典型易错]要使销售该商品每天获得的利润w(元)最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 　　　 参考答案 探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题 问题 18000 6000 典例精析 例1 ◆涨价销售 ①填表如下： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元) 正常销售 20 300 6000 涨价销售 （20+x） (300-10x) （20+x）(300-10x) 所得利润 y=(20+x)(300-10x)，即 y = -10x2+100x+6000. ②营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30. ③y=-10x2+100x+6000.当x=时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价5元时，最大利润是6250元. ◆降价销售 填表如下： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元) 正常销售 20 300 6000 降价销售 （20-x） (300+20x) (20-x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000. 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③ 即y=-20x2+100x+6000.当x=时， 即降价2.5元时，最大利润是6125元.综上可知，定价 65 元时，最大利润是 6250 元. 练一练： 当堂反馈 1.　A 2.　w＝－5x2＋800x－27500　，　4500　. 3. 解：设　利润为w元　， 根据题意得　w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25　， x的取值范围为　20≤x≤30　， ∴当x＝　25　时，利润取得最大值. 答：　若要使利润最大，则每件的售价应为25元　. 4.解：设总利润为w万元，在甲地销售了a辆， 则乙地销售了(15－a)辆，则y1＝－a2＋10a，y2＝2(15－a). 由题意得w＝－a2＋10a＋2(15－a)＝－(a－4)2＋46， ∴当a＝4时，w最大＝46.∴能获得的最大利润为46万元. 5.解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800， 整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70. ∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元，∴30≤x≤50.∴x＝40. 答：销售单价为40元时每天能获得800元的利润. (2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1250. ∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大. ∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200. 答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，最大利润为1200元. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $