26.4 第2课时 商品利润最大问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第26章   二次函数

26.4  实际问题与二次函数

第 2 课时    商品利润最大问题

【学习目标】

学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.

2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

重点：能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.

难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

【复习导入】

1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：

 

 

2. 销售问题中有关利润的公式：

 

 

                    

【合作探究】

探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题

 

例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少?

◆涨价销售

①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：

 

②自变量x的取值范围如何确定？

 

 

 

③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？

 

 

 

 

 

 

 

◆降价销售

设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：

 

 

 

 

 

 

 

 

练一练

1.  一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克.

(1) 求 y 与 x 的函数关系式.

(2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售   ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识要点：求解最大利润问题的一般步骤.

(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；

(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；

(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.

 

例2  某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价 x (元/千克)的函数关系如图所示：

(1) 求 y 与 x 的函数解析式；

(2) 求这一天销售西瓜获得的利润W 的最大值.