26.4 第2课时 最大利润问题 教学课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决最大利润问题，通过复习二次函数求最大面积步骤及利润公式导入，以“商家如何定价获利最大”为问题驱动，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以探究案例为核心，用表格梳理售价、数量、利润关系培养模型意识，分涨价降价情况抽象函数表达式发展抽象能力，强调自变量取值范围和配方推理提升推理能力。练习设计层次分明，助力学生掌握建模方法，教师可直接用于教学提升效率。

最大利润问题 R·九年级上册 学习目标 掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题； 经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型. 2 复习旧知 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 审→设→列→解→答 公式法：顶点坐标 配方法：y=a（x-h）2+k 复习旧知 2.销售问题中有关利润的公式： （1）利润=售价－进价 （2）总利润=单件利润×销售量 情境导入 在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获利最大呢？ 探究新知 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 先确定n的取值范围 解：设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n-40)(300-10n) 即y1=-10n2+100n+6000 利润=（售价－进价）×销量 可得：0≤n≤30. (0≤n≤30,n为整数) y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30, n为整数） 根据上面的函数，填空： 当n=_______时，y1最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元. =-10(n2-10n)+6000 =-10(n-5)2+6250 5 5 65 6250 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 先确定m的取值范围 解：设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m–40)(300+20m) 即y2=-20m2+100m+6000 利润=（售价－进价）×销量 可得：0≤m≤20. (0≤m≤20,m为整数) y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20, m为整数) 根据上面的函数，填空： 当m=_______时，y1最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元. 2或3 2或3 58或57 6120 =-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 （2）降价情况下，定价57或58元时，有最大利润6120元. （1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 6000 涨价 40 65 250 6250 降价 40 57/58 360/340 6120 在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： (1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用顶点公式或 配方法求出二次函数的最大值. 需要注意的是：当二次函数图象的顶点的横坐标 不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的 增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元. (1)求每天的销售利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间的函数关系式. (2)销售单价为多少元时,每天的销 售利润最大?最大利润是多少? 练一练 成本 (元/件) 销售单价 (元) 销售量 (件) 降价前 50 100 50 降价后 解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)] =- 5x2 + 800x-27500， 即y=-5x2 +800x-27500( 50≤x≤100). 成本 (元/件) 销售单价 (元) 销售量 (件) 降价前 50 100 50 降价后 50 x 50+5(100-x) (2)y=-5x2+800x-27500 =-5(x-80)2+4500. 因为-5<0，50≤x≤100， 所以当x=80时，y有最大值4500， 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元. 练习 1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 【选自教材P53 练习 第1题】 解：设旅行团的人数为x人，营业额为y元. 则每人缴费2100－30(x－20)元， y=[2100－30(x－20)]x= －30x2+2700x= －30(x-45)2+60750. 所以当x=45时，y最大值=60750. 答:旅行团的人数为45人时,旅行社可获得最大营业额60750元. 练习 2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少? 【选自教材P53 练习 第2题】 解：设产量为x件，生产这种商品的利润为y元. 则y=(50－)x－(500+10x) = －2+40x－500 = －+2700. 所以当x=160时，y最大=2700. 答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2700元. 随堂演练 1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标(用公式)： (1)y=-4x2+3x; (2)y=3x2+x+6. 2.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值. (1)0≤x≤6； (2) -2≤x≤2. 解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14 (1)当0≤x≤6时， 当x=3时， y有最大值14, 当x=0或6时，y有最小值5. (2)当-2≤x≤2时， 当x=2时，y有最大值13, 当x=-2时，y有最小值-11. 3.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？ 解：设所得利润为y元. 由题意得y=x(200-x)-30(200-x) =-x2+230x-6000 =-(x-115)2+7225 (0<x<200) 当x=115时，y有最大值. 即当这件商品定价为115元时，利润最大. 4.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？ 解：设每件应降价x元，每天的利润为y元. 由题意得：y=(20-x)(40+10x) =-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天盈利最多. 课堂小结 1.利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)根据数量之间的关系设未知数； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)回答实际问题. 2.常见数量关系：利润=售价-成本，总利润=每件商品的利润×销售量，利润率= ×100% 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 $