内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

巴彦淖尔市2025—2026学年第二学期高一期末考试 数学参考答案 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．B 9．AC 10．ABD 11．ABD 12． 13．； 14． 15．证明：（1）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，　　2分 所以．　　4分 因为平面，平面，所以平面．　　5分 （2）因为是的直径，所以．　　7分 因为平面，平面，所以．　　9分 因为，所以平面．　　11分 由（1）得，所以平面．　　13分 16．解：（1）由表可知，锻炼时长在内的频率为，在内的频率为，　　1分 在内的频率为，在内的频率为，在内的频率为．　　2分 因为，，　　3分 所以分位数位于内．设分位数的估计值为， 则，解得， 即估计该校学生每周锻炼时长的分位数为．　　6分 （2）因为样本中锻炼时长不低于6小时的频率为，　　7分 所以该校2000名学生中符合条件的人数约为．　　8分 （3）根据分层抽样，其中位于内的有5人，记这5人为，，，，， 位于内的有3人，记这3人为，，．　　9分 从这8人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情况．　　12分 这2人不在同一区间内的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，　　14分 所以这2人不在同一锻炼时长区间内的概率为．　　15分 17．解：（1）根据正弦定理可得，　　2分 即．　　4分 因为，，所以，，　　5分 所以，　　6分 得．　　7分 （2）根据正弦定理可得，解得．　　9分 由余弦定理可得，　　11分 所以，即，当且仅当时，等号成立，　　12分 所以的面积，　　14分 即面积的最大值为．　　15分 18．解：（1）甲获得30天会员的概率为．　　2分 （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为；　　3分 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为；　　4分 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为；　　5分 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为；　　6分 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为；　　7分 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为　　8分 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→ 题2的顺序答题．　　9分 （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率；　　11分 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率；　　13分 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率　　15分 因为，所以只需满足即可，即，解得．　　16分 因为，所以的取值范围为．　　17分 19．（1）证明：因为底面是平行四边形，所以．　　1分 因为平面，平面，所以平面．　　2分 因为平面，平面平面，所以．　　4分 （2）解：设平面与交于点，连接，．连接，与交于点，取的中点，连接，，．　　5分 因为为上靠近点的三等分点， 所以为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．　　6分 同理可证平面．　　7分 因为，所以平面平面．　　8分 因为平面平面，平面平面，所以．　　9分 因为为的中点,所以为的中点．　　10分 （3）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，则,, 所以，．　　11分 因为，，，所以平面，所以． 因为，，所以平面，则， 所以为二面角的平面角．　　12分 由题意可得． 由等面积法可得． 在中，，则． 令，． 在中，．　　14分 令，，则在上单调递增，　　15分 所以，，　　16分 所以二面角的正弦值的取值范围为．　　17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市2025—2026学年第二学期高一期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数据3，2，2，4，5，6，8的极差为 A．4 B．5 C．6 D．7 2．将笼中的100只小白鼠按编号，从中任意取1只小白鼠，其编号不大于40的概率为 A． B． C． D． 3．已知向量，，则在上的投影向量的模为 A． B． C． D． 4．如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为 A． B． C． D． 5．设复数满足，则的实部为 A． B． C． D． 6．某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为 A． B． C． D． 7．在正六棱柱中，，，为底面所在平面内的任意一点，则异面直线与所成角的最小值为 A． B． C． D． 8．在中，，均在上，，，，则 A．3 B．6 C．7 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A． B．的虚部为2 C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，每块样地被随机选中的概率均为．调研人员先后两次独立选取样地开展观测（有放回地选取，两次选取互不影响），记录每次选中的样地编号．设事件为“第一次选取选中的菌菇监测样地的编号为8”，事件为“第二次选取选中的菌菇监测样地的编号为偶数”，事件为“两次选取选中的样地编号之和为9”，事件为“两次选取中，恰有一次选中编号不大于4的菌菇监测样地”，则 A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 11．如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，，均在上，．将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则 A．平面平面 B．的最小值为 C．几何体共有8个面 D．几何体外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆台的上、下底面半径分别为1，3，高为2，则该圆台的体积为________． 13．某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 14．长春净月潭国家森林公园是知名研学实践基地，景区标志性建筑碧松净月塔楼矗立在观潭山上，某高中数学研学小组开展实地测量活动，选取与塔楼底部位于同一水平面的地面三点，，，且，，三点在同一直线上，米．若在，，三处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，则碧松净月塔楼的竖直高度________米．（结果保留一位小数，参考数据：取） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 16．（15分） 某高校为调查学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生，统计他们每周的锻炼时长（单位：小时），得到如下频数分布表： 锻炼时长 频数 10 20 30 25 15 （1）估计该校学生每周锻炼时长的分位数； （2）若该校共有2000名学生，估计每周锻炼时长不低于6小时的学生人数； （3）按锻炼时长采用按比例分层随机抽样的方法从锻炼时长在，内的学生中抽取8人，再从这8人中抽取2人，求这2人不在同一锻炼时长区间内的概率． 17．（15分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆的半径为1，求面积的最大值． 18．（17分） 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． （2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，为的中点，为上靠近点的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $