精品解析：内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

呼铁一中2025-2026学年第二学期期末考试 高一数学试卷 考试范围：必修四；考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】， 的虚部为，故A错误； 的共轭复数为，故B错误； ，故C错误； 在复平面内对应的点在第四象限，故D正确． 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 3. 在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角形的面积公式可求出AC的长，再由余弦定理求出BC的长，然后利用正弦定理可求出的外接圆半径. 【详解】由题意，，解得， 由余弦定理得：，故， 设外接圆的半径为R， 由正弦定理得：，故R=2. 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题. 4. 下列命题，正确的是（ ） A. 复数的模总是正实数 B. 虚轴上的点与纯虚数一一对应 C. 相等的向量对应着相等的复数 D. 实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数 【答案】C 【解析】 【详解】A.当时，，A错误； B.虚轴上的点对应的复数为，B错误； C.相等的向量对应着相同的点，则相等的向量对应相等的复数，C正确； D.实部相同，虚部互为相反数的两个复数是共轭复数，D错误. 5. 在中，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理结合已知条件可得，从而可得，又由可知为等边三角形，从而可求出的值 【详解】由余弦定理得：， 又，， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题 6. 将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球及圆柱的体积公式求解即可. 【详解】设底面半径为，由题意挖去球的半径最大为， 所以，. 故选：B 7. 已知在中,内角所对的边分别为,,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出,然后数形结合可得a的范围． 【详解】由,正弦定理可得； ∵这样的三角形有且只有一个,∴或； 故选C． 【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形解的情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题． 8. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中不一定正确的是（ ）． A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定及性质定理，可判断A的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误；根据等体积法，可判断C的正误；根据线面垂直的判定、性质定理，结合反证法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：连接，因为正方体， 所以，，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面，故A正确； 对于B：连接AC，则， 又平面ABCD， 所以， 所以平面， 所以， 同理可得， 又，则， 所以平面BDP， 因为平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C：因为，平面，平面， 所以平面， 所以P到平面的距离不变， 所以三棱锥体积不变，即三棱锥的体积不变，故C正确； 对于D：连接，因为正方体， 所以，平面， 所以， 所以平面，则， 假设，则平面， 所以，这显然不成立，假设错误，故D错误， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得，，再结合正弦定理逐项判断即可. 【详解】由三角形面积公式：， 代入得： ，解得， 由余弦定理，代入得： ， 结合得， 因此，得， 选项A： 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得： ，得，外接圆面积，A正确， 选项B： 由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， 选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， 选项D： 周长为，D正确. 10. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据线面间平行与垂直的关系判断各选项同． 【详解】，则，A正确； ，，则或，又，则，B正确； ，，则或，C错误； ，则内存在直线，且，又，则，由此得，D正确． 故答案为：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面平行与垂直的判断，考查空间想象能力．解题关键是熟练掌握线面间的位置关系． 11. 在中，角，，的对边分别为，，，以下命题中正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的三角形有两个 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若，则的最小值为 D. 若，，边上的高为，则符合条件的三角形有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合正弦定理，余弦定理对选项逐个判断即可． 【详解】对于由于，，， 则利用正弦定理：，解得， 又，所以，符合条件的三角形有两个，故A正确； 对于B，因为， 由正弦定理得， 即，， 所以，或，即或， 则为等腰三角形或直角三角形，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故C不正确； 对于D，，边上的高为， 所以, 即，解得， 由余弦定理得，，即， 解得，所以，或，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为__________ 【答案】 【解析】 【详解】，得： ， 故其虚部为． 13. 在中，角，，的对边分别为，，，若， 的平分线交于点，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再由余弦定理解得，最后根据可得. 【详解】由，可得， 由余弦定理可得， 即，解得， 则，且为角的角平分线， 又， 即， 化简可得 ，解得． 14. 已知三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球半径等于______． 【答案】 【解析】 【分析】做辅助线，根据题意结合垂直关系可证，同理可得，可知点为的垂心，即可知点为的中心，根据体积可得，结合外接球的性质列式求解即可. 【详解】延长交于点，连接， 因为点H是的垂心，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得，， 且底面ABC是边长为2的正三角形，则点为的中点， 过点作平面，垂足为点， 且平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 同理可得，可知点为的垂心， 因为为等边三角形，可知点为的中心， 则，且， 因为三棱锥的体积为，可得， 可知三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为， 则，解得， 所以外接球的半径为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.正方体的内切球的直径为正方体的棱长； 3.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； 4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解，设，由题意得到关于的方程组求解即可．（2）根据纯虚数的定义求解． 【详解】(1)设， 由 ，得 又复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上， 则，即． 由，解得或（舍去）， ∴． （2）由题意得， ∵复数为纯虚数， ∴解得 ∴实数的值为． 【点睛】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用． 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角的值； （2）若，，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将角化边，再用余弦定理即可求得结果； （2）由正弦定理结合已知求得，利用面积公式即可求得结果. 【详解】（1）因为 故，故可得， 即可得，又， 故可得. （2）由（1）中所求，故可得， 则由，可得. 故可得三角形面积. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题. 17. 如左图所示，在中，，，. （1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； （2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可； （2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积． 【小问1详解】 由题知：在中，，，. 可得：，. 该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体, 是一个以为底面半径，为高的圆锥， 设圆锥的侧面积为：，底面积为：. 旋转体的表面积为+ 【小问2详解】 该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 由图知，则， 所以圆锥的底面半径，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：. 18. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角； （2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得； （3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围 【小问1详解】 即 因 ，则，故，解得 . 【小问2详解】 由（1）已得 由为的平分线，可得 设，由可得 ， 即 解得 ，即. 【小问3详解】 方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点， 当点在之间时， 为锐角三角形 ∴，即，因，则得， 的面积的取值范围为. 方法二：由正弦定理，可得 ∵均为锐角 解得 故 可得 故 又 ，的面积的取值范围为 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． （1）设平面平面，证明： ； （2）证明：平面； （3）线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为四边形为矩形， 所以， 由平面，平面， 得平面． 又平面，平面平面， 所以 （2）证明：因为平面， 又平面，所以． 又底面为矩形，所以． 平面，， 所以平面． 又平面，所以． 在中，，， 所以, , 在中，由余弦定理可得 , 所以, 因为，所以． 因为，，平面，， 所以平面． （3）存在，证明如下： 如图：过作交于点， 过作交于点． 因为，平面，平面， 所以平面． 同理平面． 又平面，， 所以平面平面． 因为平面，所以平面, 由（2）知，， 又，则， 则, 因为， 所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由性质定理即可得证； （2）由线面垂直的性质定理可得，由勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的判定定理即可得证； （3）过作交于点，过作交于点,由面面平行的判定定理可得平面平面，由性质定理可得平面,再由平行线分线段成比例求解的值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼铁一中2025-2026学年第二学期期末考试 高一数学试卷 考试范围：必修四；考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（　　） A. B. C. 2 D. 4 4. 下列命题，正确的是（ ） A. 复数的模总是正实数 B. 虚轴上的点与纯虚数一一对应 C. 相等的向量对应着相等的复数 D. 实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数 5. 在中，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中,内角所对的边分别为,,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中不一定正确的是（ ）． A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 10. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，角，，的对边分别为，，，以下命题中正确的是（ ） A. 若，，，则符合条件的三角形有两个 B. 若，则为等腰或直角三角形 C. 若，则的最小值为 D. 若，，边上的高为，则符合条件的三角形有两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为__________ 13. 在中，角，，的对边分别为，，，若， 的平分线交于点，则线段的长度为__________． 14. 已知三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球半径等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设实部为正数的复数，满足,且复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若复数为纯虚数，求实数的值. 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足. （1）求角的值； （2）若，，求的面积. 17. 如左图所示，在中，，，. （1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； （2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 18. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． （1）设平面平面，证明： ； （2）证明：平面； （3）线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $