精品解析：重庆市北碚区西南大学附属中学2026年人教版小升初自主招生复试数学卷

小升初自主招生复试数学卷 重庆西附2026.4.19 时间：80分钟 一、计算或解方程。（1－7题每题3分，8－9题每题4分，共29分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 已知“*”表示一种运算符号，它的含义是：，并且2*3＝8。 （1）请问：m等于多少？ （2）计算：（1*2）＋（2*3）＋（3*4）＋…＋（19*20） 9. ×810100 二、填空题。（每题2分，共30分） 10. 3名工人5小时加工零件90件，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人（ ）人。 11. 爱心企业为贫困家庭发放粮油慰问品，原本每户分5份，还多10份；今年贫困家庭数增加到原来的3倍少5户，若按每户分2份发放，还缺8份。这批粮油慰问品共有（ ）份。 12. 绿化队的工人种一批树需要挖坑。如果工人每人挖10个坑则还差19个坑，每人挖15个坑则多出21个坑。种这批树共需要挖（ ）个坑。 13. 上课前，老师给同学们准备了许多梨和苹果，其中梨的数量是苹果的4倍，他给每个同学分了1个苹果和3个梨，最后还剩下2个苹果和36个梨。请问一共有（ ）个同学。 14. 有一袋糖分给小朋友们，每人12粒，正好分完；如果每人分16粒，那么就有2个小朋友分不到糖。这袋糖共有（ ）粒。 15. 如图，连接一个正六边形的各顶点。图中共有（ ）个等腰三角形（包括等边三角形）。 16. 一条圆形跑道，长400米，甲乙在同一地点同时刻反向而行，甲的速度是90米/分钟，乙的速度是60米/分钟，运动20分钟的时候，两人相遇了（ ）次。 17. 甲、乙、丙三人从周长2千米的环形道路的同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑，已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。那么，要使三人和两辆自行车同时到达终点，三人环行两周最少要用（ ）分钟。 18. 如图，在梯形ABCD中，E、F、G分别是线段BC、CD、AF上的三等分点，依次靠近B、C和A。已知AD＝8，BC＝12，三角形ABE的面积为12，则三角形AEG的面积为（ ）。 19. 有黑色、白色、黄色等n种颜色的筷子各10根放在一个筷筒里，从筷筒中至少随机取出21根，就能保证有2双颜色不同的筷子。筷筒中一共有（ ）根筷子。 20. 在100×100的方格棋盘的每个格子中都写上一个整数，使得任意两个相邻（有公共边）的方格中的两数之差（大减小）都不超过20。那么棋盘上至少有（ ）个方格中写有同一个数。 21. 某无人洗车房有“洗车”和“风干”两个步骤，洗车需5分钟，风干需3分钟。只有当一辆车完成洗车后，下一辆车才能进入洗车位；只有当一辆车风干完离开后，后一辆洗完的车才能进入风干位。已知洗车房每工作2小时，设备必须自动停机检查15分钟。如果早上8：00第一辆车开始洗车，中间车辆连续不断。那么在12：00之前（含12：00），最多有（ ）辆车能完成“洗车＋风干”的全过程。 22. 若 所得结果为1000的倍数，则正整数n的最小值为（ ）。 23. 已知P，Q都是质数，并且P×11－Q×93＝2003，则P×Q＝（ ）。 24. N是一个由2026个数字“1”组成的多位数，即，那么N除以13的余数是（ ）。 三、解答题。（25题4分，26－27题各6分，28题8分，29题7分，共31分） 25. 学校统计全校学生的身高，得到如下数据：身高不超过130厘米的有99人，平均身高122厘米；身高不低于160厘米的有72人，平均身高163厘米；身高超过130厘米的学生平均身高155厘米，身高低于160厘米的学生平均身高148厘米。该校共有多少名学生？ 26. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇，如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处，如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此处相遇，那么A，B两地之间相距多少米？ 27. 如图，甲和乙两个圆柱体容器，底面积之比是2∶3。在甲容器中有一个体积是30立方厘米的铁球，此时两容器中水面高度相差1厘米；若把铁球从甲容器移到乙容器中，两容器水面的高度仍然相差1厘米，则甲容器的底面积是多少平方厘米？ 28. 一蓄水池，装有一根进水管和一根放水管，单独开进水管，4小时可以将空水池注满，单独开放水管，5小时可以将满池水放完。现在按进水管、放水管、进水管、放水管、进水管、放水管……的顺序轮流各开1小时，请问多少小时可以注满水池？ 29. 有两包糖，每包糖内都有奶糖、水果糖和巧克力糖。 （1）第一包的粒数是第二包粒数的； （2）第一包糖中奶糖占25%，第二包中水果糖占50%； （3）巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍。 当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖占百分之几？ 30. 综合性问题。（从A、B两题中选择一个作答） A题.已知x、y、z满足，对于数a、[a]表示不大于a的最大整数，{a}＝a－[a]，求10（x＋y）＋z的值。 B题.将如图所示的四角星形的八个交点用1至8配号，使外围每个三角形的三个顶点的号数和均相等，即A＋E＋F＝B＋F＋G＝C＋G＋H＝D＋E＋H，试求所有的配号法。 我选做的题目是（ ）（填A或B）。 详细解答如下： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初自主招生复试数学卷 重庆西附2026.4.19 时间：80分钟 一、计算或解方程。（1－7题每题3分，8－9题每题4分，共29分） 1. 【答案】47 【解析】 【分析】用乘法分配律把36分别乘括号里面的每一个分数，分别计算出结果再从左向右计算求值即可。 【详解】36×（） ＝36×＋36×－36×＋36× ＝3＋30－8＋22 ＝47 2. 【答案】 【解析】 【分析】这道题是分数裂项求和。观察每一项，分子和分母有规律：分母是相邻两个自然数的乘积，分子恰好等于这两个自然数的乘积加1。把每一项拆成1加上一个分数单位，这个分数单位的分母是相邻自然数的乘积，可以用裂项公式求和。整数部分单独加，分数部分裂项抵消，即可求出总和。 第n项为，n从1到99。改写后，原式＝整数部分：共有99个1，和为99，再将分数部分正常裂项相消即可。 【详解】根据分析： 原式＝ 3. 【答案】2005 【解析】 【分析】前后两个括号中的分母相同，把前面括号中的带分数化为假分数，假分数的分子都相同，分子提出来写到前面，剩余相同的分数整体约分即可求出结果。 【详解】 ＝ ＝2005× ＝2005×1 ＝2005 4. 【答案】 【解析】 【分析】先把带分数化为假分数，观察起来更加方便。观察除数中的每个分数，，，，，提取公因数，除数变为，最后被除数和除数中括号内的部分完全相同，相除后抵消即可。 【详解】 5. 【答案】3 【解析】 【分析】这道题是复杂计算，直接硬算几乎不可取。观察数字：2026，1000，1026，注意到2026＝1000＋1026，数字较大、且较为接近或重复多次时，我们采用字母代替，整体换元，或整体相消。 题目中有三次方，想到可以利用立方差公式或代数换元简化。设a＝1026，b＝1000，则a＋b＝2026。分子为（a＋b）3－b3－a3。根据和的立方展开，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，减a3减b3后剩下3a2b＋3ab2＝3ab（a＋b），分母为（a＋b）×b×a。分子分母约分后可得常数。 【详解】设a＝1026，b＝1000。 则2026＝a＋b。 6. 【答案】49.5 【解析】 【分析】先把加号左边的繁分数的分子和分母中的带分数和小数都化为假分数，再根据分数的基本性质进行整体约分化简，把括号中第一个分数的分子和分母都扩大5倍，和后面的分数化为同分母分数进行简算，计算出括号里的结果，和前面化简后的分数相加求出结果。 【详解】＋（） ＝＋（） ＝＋（） ＝＋ ＝ ＝ 7. 【答案】2051325 【解析】 【分析】原式可分组为前2024项两两配对，最后单独加上第 2025项，平方差展开‌：每组 （2k−1）2−（2k）2＝（2k−1−2k）（2k−1＋2k）＝﹣1×（4k−1）＝﹣（4k−1），即每组结果为负的两个连续整数之和，简化求和‌：前 2024 项共 1012 组，总和为：﹣（1＋2＋3＋4＋⋯＋2023＋2024），最后用20252与前面总和相加。 【详解】 8. 已知“*”表示一种运算符号，它的含义是：，并且2*3＝8。 （1）请问：m等于多少？ （2）计算：（1*2）＋（2*3）＋（3*4）＋…＋（19*20） 【答案】（1）12；（2）2671.4 【解析】 【分析】（1）由题意可知，2*3＝＝8，解方程求解m即可； （2）已知 ，则1*2＝＋1×2，2*3＝，3*4＝，19*20＝，根据分数的裂项可得：，，依次把每个分数进行裂项相消；根据整数乘法的裂项n（n＋1）＝可得：1×2＝，2×3＝，依次把每个整数乘法裂项相消，分别计算出抵消后的结果再相加即可。 【详解】（1）2*3＝＝8 ＋6＝8 m＝12 答：m等于12。 （2）（1*2）＋（2*3）＋（3*4）＋…＋（19*20） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2671.4 9. ×810100 【答案】8 【解析】 【分析】算式结构复杂，需要先化简括号内的部分。观察发现有多处重复的大数，数字较大、且较为接近或重复多次时，我们采用字母代替，整体换元，或整体相消。 可以设202526为中间数进行换元简化。令a＝202526，则202525＝a－1，202527＝a＋1。通过换元把整个括号内式子变成代数式，合并化简，再取绝对值和乘后面的数。要注意运算顺序和符号。 【详解】设。 则，，，。 原式 二、填空题。（每题2分，共30分） 10. 3名工人5小时加工零件90件，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人（ ）人。 【答案】9 【解析】 【分析】根据“3名工人5小时加工零件90件”算出1名工人1小时加工零件数量，用1名工人1小时加工零件数量乘10可算得1名工人10小时加工零件数量，再用零件个数540除以1名工人10小时加工零件数量可算得需要几名工人。 【详解】 （个/小时/人） （人） 11. 爱心企业为贫困家庭发放粮油慰问品，原本每户分5份，还多10份；今年贫困家庭数增加到原来的3倍少5户，若按每户分2份发放，还缺8份。这批粮油慰问品共有（ ）份。 【答案】150 【解析】 【分析】设原来贫困家庭户，则慰问品数量为，今年贫困家庭户，则慰问品数量为，利用慰问品数量不变列方程求出贫困家庭户数，进而求出粮油慰问品数量。 【详解】解：设原来贫困家庭户。 （份） 12. 绿化队的工人种一批树需要挖坑。如果工人每人挖10个坑则还差19个坑，每人挖15个坑则多出21个坑。种这批树共需要挖（ ）个坑。 【答案】99 【解析】 【分析】盈亏问题要找总差和组差。两次分配挖坑任务，一次差19个，一次多21个。两次每人挖的坑数差已知，总坑数不变，人数也不变。两次总差＝每人差×人数，可以先求人数，再求总坑数。 【详解】（19＋21）÷（15－10）×10＋19 ＝40÷5×10＋19 ＝8×10＋19 ＝80＋19 ＝99（个） 13. 上课前，老师给同学们准备了许多梨和苹果，其中梨的数量是苹果的4倍，他给每个同学分了1个苹果和3个梨，最后还剩下2个苹果和36个梨。请问一共有（ ）个同学。 【答案】28 【解析】 【分析】设一共有个同学，先根据分苹果的情况得出苹果总数是个，再结合梨是苹果的4倍，得到梨的总数为个。根据分梨的情况，每个同学分了个苹果和个梨，最后还剩下个苹果和个梨。梨的总数也可以表示为个。因为梨的总数固定，让两个表达式相等列方程，求解得到同学的数量。 【详解】解：设一共有个同学。 所以一共有个同学。 14. 有一袋糖分给小朋友们，每人12粒，正好分完；如果每人分16粒，那么就有2个小朋友分不到糖。这袋糖共有（ ）粒。 【答案】96 【解析】 【分析】设一共有名小朋友，每人分12粒糖时，糖总数是粒，每人分16粒糖时，分糖小朋友是名，糖总数是粒，根据糖数量不变列方程先求出小朋友人数，进而求出糖的数量。 【详解】解：设一共有名小朋友。 15. 如图，连接一个正六边形的各顶点。图中共有（ ）个等腰三角形（包括等边三角形）。 【答案】38 【解析】 【分析】正六边形，连接其对角线后，等腰三角形可以按照其大小进行分类，分类枚举，最后相加得到总数。 【详解】 如上图这样的等边三角形有个； 如上图这样的等边三角形有个； 如上图这样的等边三角形有个； 上图中，小号等腰三角形有个； 中号等腰三角形有个； 大号等腰三角形有个； 一共有（个） 所以如图，连接一个正六边形的各顶点。图中共有个等腰三角形（包括等边三角形）。 16. 一条圆形跑道，长400米，甲乙在同一地点同时刻反向而行，甲的速度是90米/分钟，乙的速度是60米/分钟，运动20分钟的时候，两人相遇了（ ）次。 【答案】7 【解析】 【分析】同时同地反向而行的两人，每完成1次相遇，两人的总路程和恰好等于1圈跑道的长度。先计算甲乙的速度和，再计算运动20分钟的总路程和，最后用总路程和除以单圈跑道长度，得到结果的整数部分就是相遇次数（未凑满1圈的路程无法完成下一次相遇）。 【详解】（米） （米） （次） 未凑满1圈的路程无法完成下一次相遇，取整数部分7次。 17. 甲、乙、丙三人从周长2千米的环形道路的同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑，已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。那么，要使三人和两辆自行车同时到达终点，三人环行两周最少要用（ ）分钟。 【答案】19.2 【解析】 【分析】由题意可知，开始时乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，骑车的速度是步行速度的4倍，要使所用时间最短，则骑车路程尽量多，步行路程尽量少，三人一共要走6周，要使三人和两辆自行车同时到达终点，则骑车路程是整数圈，步行路程是整数圈，三人最少步行1周，骑车5周，已知乙、丙的步行速度相同，骑车速度相同，且同时出发同时到达，则乙、丙骑车的路程相等，步行的路程相等，设甲步行的路程为x，则乙、丙步行的路程为（2－x）÷2＝1－0.5x，甲骑行的路程为（4－x），乙、丙骑车的路程为4－（1－0.5x），已知每个人步行的路程和速度及骑车的路程和速度，根据时间相等列方程求解x，将计算出的x代入方程求时间即可。 【详解】要三人同时环行两周用时最少，步行路程尽量少，最少三人合走一周 解：设甲步行的路程为x千米，则乙、丙步行的路程为千米 0.8÷5＋（4－0.8）÷20 ＝0.16＋3.2÷20 ＝0.16＋0.16 ＝0.32（小时） 0.32小时＝19.2分钟 18. 如图，在梯形ABCD中，E、F、G分别是线段BC、CD、AF上的三等分点，依次靠近B、C和A。已知AD＝8，BC＝12，三角形ABE的面积为12，则三角形AEG的面积为（ ）。 【答案】8 【解析】 【分析】本题给了2段实际的长度和三个等分点，其中E、F在边上，也就是告诉了我们BE、CE的具体长度。根据△ABE的面积可以反求梯形的高，这样一来梯形的面积可求，减去△ABE的面积就可以得到四边形ADCE的面积。 四边形ADCE的面积＝△AEF的面积＋△CEF面积＋△ADF面积，这三个三角形的高相等，且CF＋DF＝AE，所以△AEF的面积＝△CEF面积＋△ADF面积，刚好满足一半模型，即面积为四边形ADCE面积的一半。再根据等高模型，等高的三角形的面积的比等于底边的比，根据AG与GF的比例关系，可以将△AEF的面积转化为△AEG的面积。 【详解】由题可知，，BE＝BC＝＝4。 梯形的高h＝12×2÷4＝6 梯形的面积：（8＋12）×6÷2 ＝20×6÷2 ＝60 四边形ADCE的面积：60－12＝48 △AEF的面积：48÷2＝24 △AEG的面积：24×＝8 19. 有黑色、白色、黄色等n种颜色的筷子各10根放在一个筷筒里，从筷筒中至少随机取出21根，就能保证有2双颜色不同的筷子。筷筒中一共有（ ）根筷子。 【答案】110 【解析】 【分析】根据最不利原则，要想取出2双颜色不同的筷子，最倒霉的是每次取出的都是相同颜色的筷子，最多取出10只同色的筷子，从剩下的（n－1）种颜色中再取出一双就能保证有2双颜色不同的筷子，已知至少随机取出21根满足条件，已经取出了10根，剩下的11根中出现了一双第二种颜色的筷子，当取出的筷子个数比剩下的颜色种数多1时，一定会出现2只同色的筷子，则（n－1）为10，n＝11，有11种颜色的筷子各10根放在筷筒里，用乘法可求出一共有多少根筷子。 【详解】21－10＝11（根） （11－1＋1）×10 ＝11×10 ＝110（根） 20. 在100×100的方格棋盘的每个格子中都写上一个整数，使得任意两个相邻（有公共边）的方格中的两数之差（大减小）都不超过20。那么棋盘上至少有（ ）个方格中写有同一个数。 【答案】3 【解析】 【分析】设m是棋盘格子所写的数中最小的一个数。因为相邻两数之差不超过20，所以当从一个方格走到它的一个邻格（即走一步）时，格中数的值的变化不超过±20，从数m所在的方格走到离它最远的方格，至多要走99＋99＝198步，这个方格中的数最大为m＋198×20，因此棋盘上的任一数x都满足关系式：m⩽x⩽m＋198×20＝m＋3960，即棋盘上的10000个数至多有3961个不同的值。由抽屉原理可知，苹果个数÷抽屉个数＝商……余数，棋盘上至少有（商＋1）个方格中写有同一个数。 【详解】假设棋盘格子中最小的数为m，这个数最多横着走99步，竖着走99步，即走99＋99＝198（步）到最远的方格处，已知相邻方格中的数最大相差20，则最远方格中的数最大为m＋198×20＝m＋3960，从m到（m＋3960）有3961个不同的数，棋盘上方格个数：100×100＝10000（个），根据抽屉原理可得：10000÷3961＝2……2078，2＋1＝3，棋盘上至少有3个方格中写有同一个数。 21. 某无人洗车房有“洗车”和“风干”两个步骤，洗车需5分钟，风干需3分钟。只有当一辆车完成洗车后，下一辆车才能进入洗车位；只有当一辆车风干完离开后，后一辆洗完的车才能进入风干位。已知洗车房每工作2小时，设备必须自动停机检查15分钟。如果早上8：00第一辆车开始洗车，中间车辆连续不断。那么在12：00之前（含12：00），最多有（ ）辆车能完成“洗车＋风干”的全过程。 【答案】44 【解析】 【分析】把全过程看成“流水线”，洗车是决定总速度的“瓶颈”。 每辆车从开始洗到开始风干相差一个洗车时间。只要总可用时间足够，洗车总数决定了完成总数，但首尾需稍作调整。总时间去掉停机，得出实际工作时间。第一辆车风干结束时，洗车已工作5分钟，但风干还多要3分钟，因此最后一辆车需在结束前3分钟完成洗车。用总洗车时间减去这多余的3分钟，再除以洗车间隔，即得可完成洗车的车辆数，也就是完成全过程的车辆数。 8：00到12：00共4小时，合240分钟。中间停机一次15分钟，实际工作时间＝240－15＝225（分钟）。但洗车是“瓶颈”，有些时间是硬性的：每5分钟开始洗一辆，第一辆风干完成需8分钟（洗5分＋风3分），最后一辆需在结束前3分钟完成洗车才能赶上风干。故可用洗车时间＝225－3（分钟） 【详解】根据分析，总洗车时间： （12－8）×60－15 ＝4×60－15 ＝240－15 ＝225（分钟） 洗车总数： （225－3）÷5 ＝222÷5 ＝44（辆）……2（分钟） 22. 若 所得结果为1000的倍数，则正整数n的最小值为（ ）。 【答案】997 【解析】 【分析】要求是的倍数，即能被整除。因为与互质，可分别讨论式子被和整除的条件。 被整除：当时，是的倍数，只需是的倍数。利用的幂模的规律，得到需满足且为奇数。 被整除：当时，是的倍数，只需是的倍数。需寻找满足且的最小奇整数。可先找到模下使成立的最小解，再结合模条件调整。 【详解】，且与互质。 需且。 （1）被整除： ：，不整除。 ：，不整除。 时，，只需。 ，，，周期为。 若奇数，，需。 若偶数，，需，但偶数与模矛盾。 故必为奇数，且。 （2）被整除： 时，，只需。 即。 根据欧拉定理，，所以，即模125的周期为100。 将代入可得： 因此，需要满足： 依次验证直到找到满足上式的最小。经计算，当时： 23. 已知P，Q都是质数，并且P×11－Q×93＝2003，则P×Q＝（ ）。 【答案】398 【解析】 【分析】方程P×11－Q×93＝2003，P和Q都是质数。可以先把方程看成关于P或Q的一次方程，用数的奇偶性、末位数字特征来筛减可能性。因为93和11互质，也可用同余法求特解，再结合质数条件确定具体值。注意2003是奇数，11P与93Q的差为奇数，可推断P、Q的奇偶性。 【详解】根据分析，方程11P－93Q＝2003，移项整理得11P＝93Q＋2003。 考虑奇偶性：2003是奇数，93Q奇偶性与Q相同。若Q为奇数，93Q为奇数，奇数＋奇数＝偶数，11P为偶数，P必为偶数，而偶质数只有2。若Q为偶数，Q＝2，则93Q＝186为偶数，偶＋奇＝奇，11P为奇数，P为奇数质数。 情况1：Q＝2 11P＝93×2＋2003＝186＋2003＝2189。 P＝2189÷11＝199。199是质数。故P＝199，Q＝2是一组解。 情况2：P＝2 11×2＝93Q＋2003 22＝93Q＋2003 93Q＝22－2003＝－1981，Q为负，舍去。 所以只有P＝199，Q＝2。 P×Q＝199×2＝398。 24. N是一个由2026个数字“1”组成的多位数，即，那么N除以13的余数是（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】这类题使用找规律：1，11，111，1111……除以13的余数会呈周期变化。我们只需算出每增加一个1，数值变化与余数的关系，找到余数序列的周期，再看2026个1对应周期中的哪个位置，即可知余数。即：前一个数乘10再加1，不断模13求余，观察循环节。 【详解】让表示个1组成的数除以13的余数。 ，余11。 ，，余7。 ，，余6。 ，，余9。 ，，余0。 ，余1。 发现余数序列：1，11，7，6，9，0，1，……的周期为6。 即每6个1，余数循环一次。2026个1：。 余4对应周期中的第4个余数，第4个余数是6。 三、解答题。（25题4分，26－27题各6分，28题8分，29题7分，共31分） 25. 学校统计全校学生的身高，得到如下数据：身高不超过130厘米的有99人，平均身高122厘米；身高不低于160厘米的有72人，平均身高163厘米；身高超过130厘米的学生平均身高155厘米，身高低于160厘米的学生平均身高148厘米。该校共有多少名学生？ 【答案】621名 【解析】 【分析】全校学生总身高固定，设该校共有名学生。分别以130厘米、160厘米为界，用两种分组方式表示总身高，结果相等，据此列方程求解总人数。 【详解】解：设该校共有名学生。 答：该校共有621名学生。 26. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇，如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处，如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此处相遇，那么A，B两地之间相距多少米？ 【答案】5700米 【解析】 【分析】相遇点不变，说明乙行驶的路程与原相遇时相同，乙的速度未发生变化，因此乙行驶的时间仍为20分钟。乙比甲提前2分钟出发，因此甲本次行驶的时间为18分钟。甲每分钟多走15米，18分钟一共多走的路程为15×18＝270（米），这270米对应甲原来走2分钟的路程，从而求出甲原来的速度。 相遇点不变，说明甲行驶的路程与原相遇时相同，甲的速度未发生变化，因此甲行驶的时间仍为20分钟。甲比乙晚4分钟出发，因此乙本次行驶的时间为24分钟，乙每分钟少走25米，24分钟一共少走600米，这600米对应乙原来走4分钟的路程，从而求出乙原来的速度。 根据“路程＝速度×时间”求出两地之间的距离。 【详解】20－2＝18（分钟） 15×18＝270（米） 270÷2＝135（米） 20＋4＝24（分钟） 24×25＝600（米） 600÷4＝150（米） （135＋150）×20 ＝285×20 ＝5700（米） 答：A、B两地之间相距5700米。 27. 如图，甲和乙两个圆柱体容器，底面积之比是2∶3。在甲容器中有一个体积是30立方厘米的铁球，此时两容器中水面高度相差1厘米；若把铁球从甲容器移到乙容器中，两容器水面的高度仍然相差1厘米，则甲容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】25平方厘米 【解析】 【分析】已知甲乙底面积比为2：3，因此设甲容器底面积为平方厘米；乙容器底面积平方厘米，同时设初始状态（铁球在甲中）时，乙容器的水面高度为厘米。此时两容器水面差1厘米，且甲水面更高，因此甲容器的水面高度厘米； 甲容器内：水的体积铁球甲底面积甲水面高度，甲内水的体积为立方厘米；乙容器内：只有水，水的体积乙底面积乙水面高度； 铁球从甲移到乙后：甲容器只剩水，新的水面高度甲内水的体积甲底面积，乙容器内：水的体积铁球体积乙底面积乙新水面高度，可得：乙新水面高度，此时两容器水面仍差1厘米，且变为乙水面更高，因此得到等量关系：乙新水面高度甲新水面高度，可得方程：，求出未知数，表示出甲的底面积。 【详解】解：设甲容器底面积为平方厘米，乙容器底面积为平方厘米； 初始时乙容器水面高度为厘米，铁球在甲中时，甲容器水面高度为厘米； 铁球移到乙中后：甲容器水面高度：； 乙容器水面高度：； 此时乙比甲高1厘米， 甲容器底面积：（平方厘米） 答：甲容器的底面积是平方厘米。 28. 一蓄水池，装有一根进水管和一根放水管，单独开进水管，4小时可以将空水池注满，单独开放水管，5小时可以将满池水放完。现在按进水管、放水管、进水管、放水管、进水管、放水管……的顺序轮流各开1小时，请问多少小时可以注满水池？ 【答案】31小时 【解析】 【分析】把水池总容量看作单位“1”，先计算进水管、放水管每小时的进水量和放水量；按轮流各开1小时的顺序，2小时为一个周期，算出每个周期的净注水量；由于最后一次开进水管时若能直接注满水池则无需开放水管，因此先求出水量达到总容量的（即再开1小时进水管就能注满）所需的周期数，再加上最后1小时的进水时间，得到总时长。 【详解】把水池总容量看作单位“1”。 进水管每小时进水量： 放水管每小时放水量： 一个周期（2小时，进水管开1小时、放水管开1小时）的净注水量： 最后一次开进水管前，水池最多可蓄水量： 蓄水量达到需要的周期数：（个） 15个周期的总时长：（小时） 剩余水量用进水管注满所需时间：（小时） 注满水池的总时长：（小时） 答：31小时可以注满水池。 29. 有两包糖，每包糖内都有奶糖、水果糖和巧克力糖。 （1）第一包的粒数是第二包粒数的； （2）第一包糖中奶糖占25%，第二包中水果糖占50%； （3）巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍。 当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖占百分之几？ 【答案】44% 【解析】 【分析】根据两包糖的数量比设份数简化计算，结合巧克力在两包的占比倍数关系与数量比，求出两包巧克力的量的比；通过混合后巧克力的占比，按比例分配求出第一包巧克力的占比，进而得到第一包水果糖的占比；最后计算两包水果糖总量占总糖量的百分比。 【详解】第一包与第二包糖的数量比为，设第一包糖有2份，第二包糖有3份。 总份数：（份） 两包巧克力的量的比： 总巧克力量：（份） 第一包巧克力量：（份） 第一包巧克力占自身的百分比： 第一包水果糖占自身的百分比： 第一包水果糖的量：（份） 第二包水果糖的量：（份） 水果糖占总糖的百分比： 答：水果糖占44% 30. 综合性问题。（从A、B两题中选择一个作答） A题.已知x、y、z满足，对于数a、[a]表示不大于a的最大整数，{a}＝a－[a]，求10（x＋y）＋z的值。 B题.将如图所示的四角星形的八个交点用1至8配号，使外围每个三角形的三个顶点的号数和均相等，即A＋E＋F＝B＋F＋G＝C＋G＋H＝D＋E＋H，试求所有的配号法。 我选做的题目是（ ）（填A或B）。 详细解答如下： 【答案】A；﹣6； B；48种 【解析】 【分析】A题：已知[a]表示不大于a的最大整数，{a}＝a－[a]，则{a}＋[a]＝a，把题中3个式子相加可得：2x＋2y＋2z＝0.6，即x＋y＋z＝0.3，分别把已知的三个式子两两相加后和计算出的x＋y＋z＝0.3相减，根据相减的结果对应计算出x、y、z的值再代入计算。 B题：已知四角星形的八个交点用1至8配号，使外围每个三角形的三个顶点的号数和均相等，则八个交点的和即为从1加到8的和，假设A＋E＋F＝B＋F＋G＝C＋G＋H＝D＋E＋H＝S，即（A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H）＋（E＋F＋G＋H）＝36＋（E＋F＋G＋H）＝4S，已知36是4的倍数，则E＋F＋G＋H的结果是4的倍数，根据余数定理，则这四个数除以4的余数和是4的倍数，分类讨论这四个数除以4的余数可以是：（0、0、1、3），（0、0、2、2），（0、1、1、2），（0、3、3、2），（1、1、3、3），（1、3、2、2），余数为（0、0、1、3）对应的4个数可能为：（4、8、1、7），（4、8、5、7）、（4、8、1、3），（4、8、5、3）；余数为（0、0、2、2）对应的4个数为：（4、8、2、6）；余数为（0、1、1、2）对应的4个数可能为：（4、1、5、2），（4、1、5、6），（8、1、5、2），（8、1、5、6）；余数为（0、3、3、2）对应的4个数可能为：（4、3、7、2），（4、3、7、6），（8、3、7、2），（8、3、7、6）；余数为（1、1、3、3）对应的4个数为：（1、5、3、7）；余数为（1、3、2、2）对应的4个数可能为：（1、7、2、6），（1、3、2、6），（5、7、2、6），（5、3、2、6）依次计算每种情况对应的三角形三个顶点的数的和，再进行检验排除确定最终可能性。 【详解】选做的题目是A题。 已知x、y、z满足，从上到下三个式子分别用①，②，③来表示， 则①＋②＋③＝ 2x＋2y＋2z＝0.6 x＋y＋z＝0.3 ④ ②＋③－④＝ ①＋②－④＝ ①＋③－④＝ 综上可得：x＝＝﹣0.9，y＝＝0.2，z＝＝1 10（x＋y）＋z ＝10×（﹣0.9＋0.2）＋1 ＝10×（﹣0.7）＋1 ＝﹣7＋1 ＝﹣6 B题：假设A＋E＋F＝B＋F＋G＝C＋G＋H＝D＋E＋H＝S，即（A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H）＋（E＋F＋G＋H）＝36＋（E＋F＋G＋H）＝4S，则E＋F＋G＋H＝4k（k≠0） 当E、F、G、H除以4的余数为（0、0、1、3）时，这四个数可能为（4、8、1、7），（4、8、5、7）、（4、8、1、3），（4、8、5、3）； 若为（4、8、1、7），S＝（36＋4＋8＋1＋7）÷4＝14，计算可知符合条件，共8种，如下图： 若为（4、8、5、7），S＝（36＋4＋8＋5＋7）÷4＝15，15－（4＋7）＝4，出现重复数字，不符合条件； 若为（4、8、1、3），S＝（36＋4＋8＋1＋3）÷4＝13，13－（1＋8）＝4，出现重复数字，不符合条件； 若为（4、8、5、3），S＝（36＋4＋8＋5＋3）÷4＝14，计算可知符合条件，同理共8种，其中一种如下图： 当E、F、G、H除以4的余数为（0、0、2、2）时，对应的4个数为：（4、8、2、6） 若为（4、8、2、6），S＝（36＋4＋8＋2＋6）÷4＝14，14－（8＋2）＝4，出现重复数字，不符合条件； 当E、F、G、H除以4的余数为（0、1、1、2）时，对应的4个数可能为：（4、1、5、2），（4、1、5、6），（8、1、5、2），（8、1、5、6） 若为（4、1、5、2），S＝（36＋4＋1＋5＋2）÷4＝12，12－（4＋2）＝12－（5＋1），出现重复数字，不符合条件； 若为（4、1、5、6），S＝（36＋4＋1＋5＋6）÷4＝13，计算可知符合条件，如下图： 若为（8、1、5、2），S＝（36＋8＋1＋5＋2）÷4＝13，计算可知符合条件，同理共8种，其中一种如下图： 若为（8、1、5、6），S＝（36＋8＋1＋5＋6）÷4＝14，14－（8＋5）＝1，出现重复数字，不符合条件； 当E、F、G、H除以4的余数为（0、3、3、2）时，对应的4个数可能为：（4、3、7、2），（4、3、7、6），（8、3、7、2），（8、3、7、6） 若为（4、3、7、2），S＝（36＋4＋3＋7＋2）÷4＝13，13－（2＋7）＝4，出现重复数字，不符合条件； 若为（4、3、7、6），S＝（36＋4＋3＋7＋6）÷4＝14，14－（4＋7）＝3，出现重复数字，不符合条件； 若为（8、3、7、2），S＝（36＋8＋3＋7＋2）÷4＝13，13－（3＋7）＝3，出现重复数字，不符合条件； 若为（8、3、7、6），S＝（36＋8＋3＋7＋6）÷4＝15，计算可知符合条件，同理共8种，其中一种如下图： 当E、F、G、H除以4的余数为（1、1、3、3）时，对应的4个数为：（1、5、3、7） 若为（1、5、3、7），S＝（36＋1＋5＋3＋7）÷4＝13，13－（3＋7）＝3，出现重复数字，不符合条件； 当E、F、G、H除以4的余数为（1、3、2、2）对应的4个数可能为：（1、7、2、6），（1、3、2、6），（5、7、2、6），（5、3、2、6） 若为（1、7、2、6），S＝（36＋1＋7＋2＋6）÷4＝13，13－（1＋6）＝7，出现重复数字，不符合条件； 若为（1、3、2、6），S＝（36＋1＋3＋2＋6）÷4＝12，计算可知符合条件，同理共8种，其中一种如下图： 若为（5、7、2、6），S＝（36＋5＋7＋2＋6）÷4＝14，14－（2＋7）＝5，出现重复数字，不符合条件； 若为（5、3、2、6），S＝（36＋5＋3＋2＋6）÷4＝13，13－（2＋6）＝5，出现重复数字，不符合条件。 综上所述，一共有48种配号法。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $