精品解析：重庆市渝北区数据谷中学校2025-2026学年人教版六年级下学期小升初自主招生数学

2026年重庆市渝北区数据谷八中4月5日小升初自主招生数学 （时间：60分钟，满分：100分） 1. 计算题。 51.25×－61.2×＋71 ×…× 二、填选题。（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 2. 如图，一堆积木是由16块棱长为2厘米的小正方体堆成的，它的表面积是（ ）平方厘米。 3. 某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元。现在打八八折促销，结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%。请问 ：打折后每个变形金刚的售价是（ ）元。 4. 水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减小（ ）。（填分数） 5. 甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上乙，那么甲出发后需（ ）分钟才能追上丙。 6. 甲、乙两地相距480千米，一辆货车从甲地开往乙地，当行到全程的时，一辆客车从乙地开往甲地，5小时后两车相遇。已知客车和货车的速度比是7∶9，那么客车的速度是（ ）千米/时。 7. 学校组织若干人参加夏令营，先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。而后乘船，需要定员为70人的船至少3条。到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校参加夏令营的人有（ ）人。 8. 为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种。其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成。这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了（ ）朵。 9. 在5时到6时之间，某人看表时，由于不慎将时针看成分针，造成他看到的时间比正确的时间早了57分钟，试问正确时间是（ ）时（ ）分。 三、解答题。（本大题6个小题，共44分） 10. 黑、白两种棋子共62枚，把它们分成3堆：在第一堆中，黑子数量是白子的2倍；在第二堆中，黑子数量是白子的3倍；在第三堆中，黑子数量是白子的4倍。如果第二堆白子是第一堆白子的2倍，第三堆黑子是第二堆总数的2倍，那么第三堆有几枚白子，几枚黑子？ 11. 某次小学生高年级数学竞赛的满分为100分，小明和小红在竞赛中取得了优异的成绩，当记者采访他们时，小明说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于1067。”小红说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于3135。”请问小明和小红两人的平均分是多少分？ 12. A、B、C、D四个小镇之间的道路分布如图所示，其中A、D两镇相距20千米，B、D两镇相距30千米。某天甲、乙两人同时从B镇出发，甲到达D镇后再向A镇走，到达A镇后又立刻返回，而乙到达D镇后直接向C行进。丙从C镇与甲、乙两人同时出发，在距离D镇15千米处与乙相遇。当丙到达D镇后又向A镇前行，在与D镇相距6千米的地方与甲相遇，已知甲、乙的速度比为，求D、C两镇之间的距离。 13. 骑车人以每分钟300米的速度，从102路电车始发站出发，沿102路电车线前进。骑车人离开出发地2100米时，一辆102路电车开出了始发站。这辆电车每分钟行500米，行5分钟到达一站并停1分钟，那么要多少分钟，电车追上骑车人？ 14. 数据谷中学有甲、乙两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷，学校举行期末考试，数学试卷如果用复印机甲、乙单独复印分别需要1小时和1.5小时，在考试时，为了保密，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前的一个小时才开始复印试卷。 （1）若甲乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？ （2）在印刷半个小时后甲机出了故障，停止复印，此时离发卷还有18分钟。请你算一下，如果乙机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷考试？ 15. 有甲、乙、丙3瓶溶液，它们的质量比是3∶2∶1。如果把两瓶溶液混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中，称为一次操作。现在先对甲、乙两瓶溶液进行一次操作，再对乙、丙两瓶溶液进行一次操作，最后对丙、甲两瓶溶液进行一次操作，三次操作后，甲、乙两瓶溶液的浓度分别是67%和61%，求最初丙溶液的浓度是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆市渝北区数据谷八中4月5日小升初自主招生数学 （时间：60分钟，满分：100分） 1. 计算题。 51.25×－61.2×＋71 ×…× 【答案】 ；； ；； ； 【解析】 【分析】每个分数都可以写成，然后将整数和整数相加，分数和分数相加，再根据公式可以简便计算； 先去小括号，再去中括号，将方程化简后，等式两边同时减2x，再在等式两边同时除以4； 先将小数化成分数，带分数化成假分数；用乘法交换律，凑整计算；再用乘法分配律去括号后约分； 分母每个因数都是分子对应因数的2倍，共7个因数，所以分母可写成：，再约分即可； 先将51.25、61.2、拆解，再利用乘法分配律，约分计算； 将分子分母分别整理计算后整体约分。 【详解】 解： 6x－3＝2x 6x－3－2x＝2x－2x 4x－3＝0 4x＝3 4x÷4＝3÷4 x＝ ＝88－52 ＝36 ＝40＋1－50－1＋60＋1 ＝51 分子＝ ＝ ＝ 分母＝ ＝ ＝ 原式＝ ＝ ＝ 二、填选题。（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 2. 如图，一堆积木是由16块棱长为2厘米的小正方体堆成的，它的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】192 【解析】 【分析】正方体单个面面积公式：＝棱长×棱长 不规则堆积立体图形表面积计算方法：分别数出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量，总和×单个面面积＝立体总表面积 逻辑原理：立体向外露出的每个小正方形面，一定会在某一视图中被看到，遮挡重合的面不计入表面积。 【详解】已知：小正方体棱长＝2厘米，一共16块（块数仅作干扰，计算表面积不需要总数） 1.求1个小正方形面的面积：2×2＝4（平方厘米） 2.三视图数各方向正方形个数 标准计数规则：前＝后，左＝右，上＝下 观察立体图形： 正面：7个小正方形，背面也是7个，前后合计 7×2＝14（面）。 左面：8个小正方形，右面也是8个，左右合计 8×2＝16（面）。 上面：9个小正方形，下面也是9个，上下合计 9×2＝18（面）。 3.计算露出总面数：14＋16＋18＝48（个） 4.计算总表面积：48×4＝192（平方厘米） 所以积木的表面积是192平方厘米。 3. 某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元。现在打八八折促销，结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%。请问 ：打折后每个变形金刚的售价是（ ）元。 【答案】 【解析】 【分析】总利润单件利润销售量，设原来销售量为1，求出原来的总利润。根据总利润增加了25%，求出现在的总利润：原来的总利润×（1＋25%）； 根据销售量增加了一倍（即扩大到原来的2倍），求出现在的销售量：1×2。利用现在的总利润除以现在的销售量，求出现在的单件利润。 因为成本不变，单件利润的减少量等于售价的减少量。根据打折比例求出原定价，再求出打折后的售价。 【详解】设原来的销售量为1。 原来的总利润为：  现在的总利润为： （元）  现在的销售量为：  现在的单件利润为：（元） 单件利润减少量为：（元） 原定价为： （元） 打折后的售价为：（元）  打折后每个变形金刚的售价是132元。 4. 水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减小（ ）。（填分数） 【答案】 【解析】 【分析】水结成冰体积增加，是把水的体积看作单位“1”；冰融化成水体积减小，是把冰的体积看作单位“1”。先求出冰的体积相当于水的几分之几，再求体积差占冰体积的几分之几。 【详解】冰的体积是水的：，体积减少量占冰的体积：。 5. 甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上乙，那么甲出发后需（ ）分钟才能追上丙。 【答案】 60 【解析】 【分析】路程＝速度×时间，即路程相等，速度与时间成反比；分别求出乙与丙、甲与乙的速度关系，进而统一得到甲与丙的速度比。首先，根据乙追上丙的时间差，求出乙、丙的速度比；根据甲追上乙的时间差，求出甲、乙的速度比；最后，结合甲比丙晚出发的时间，利用追及问题公式“追及时间路程差速度差”计算出甲追上丙所需的时间。 【详解】1小时40分钟＝100分钟 乙出发后40分钟追上丙，此时丙行驶的时间为：（分钟），所以： 甲出发后100分钟追上乙，此时乙行驶的时间为：（分钟），所以： ，，所以。 （分钟） （份） （份） （分钟） 甲出发后需60分钟才能追上丙。 6. 甲、乙两地相距480千米，一辆货车从甲地开往乙地，当行到全程的时，一辆客车从乙地开往甲地，5小时后两车相遇。已知客车和货车的速度比是7∶9，那么客车的速度是（ ）千米/时。 【答案】35 【解析】 【分析】因为甲、乙两地相距480千米，先根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，算出货车已经行驶的路程，再用总路程减去已经行驶的路程可求出剩下的路程即相遇时两车行的路程和；因为经过5小时两车相遇，根据两车的速度和＝两车行的路程和÷相遇时间，可求出两车的速度和，因为客车和货车的速度比是，根据按比例分配的方法，即可求出客车每小时行多少千米。 【详解】（千米） （千米） （千米/时） ＝ ＝35（千米/时） 那么客车的速度是35千米/时。 7. 学校组织若干人参加夏令营，先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车至少4辆。而后乘船，需要定员为70人的船至少3条。到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校参加夏令营的人有（ ）人。 【答案】 196 【解析】 【分析】从乘车来看，1≤第四辆车人数≤60，从乘船来看，1≤第三条船人数≤70，由此可以推断出参加夏令营的人数范围，根据分的组数和每组人数恰好相等可知，参加夏令营的人数一定是一个平方数，在参加夏令营的人数范围找出满足条件的数即可。 【详解】由“每辆有60个座位的汽车至少4辆”可知，参加夏令营的人数在（60×3＋1＝）181～（60×4＝） 240人之间； 由“需要定员为70人的船至少3条”可知，参加夏令营人数在（70×2＋1＝）141～（70×3＝）210人之间，这样参加夏令营的人数在181～210人之间； 又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知，参加夏令营的人数一定是一个平方数，而181～210之间只有196是平方数，所以参加夏令营的人数是196。 8. 为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种。其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成。这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了（ ）朵。 【答案】 【解析】 【分析】首先根据粉花的总数及塑料花盆、木制花盆中粉花的数量，求出塑料花盆与木制花盆的数量和；其次利用红花的总数及已求出的数量和，求出塑料花盆与陶瓷花盆数量的关系式；最后将黄花总数的表达式进行拆分变形，代入已知数值进行整体计算。 【详解】设塑料花盆有a个，陶瓷花盆有b个，木制花盆有c个， 塑料花盆和木制花盆的数量和：3750÷25＝150（个），即a＋c＝150； 塑料花盆与陶瓷花盆的数量关系： 15a＋10b＋10c＝2900 5a＋10a＋10b＋10c＝2900 5a＋10a＋10c＋10b＝2900 5a＋10（a＋c）＋10b＝2900 5a＋10×150＋10b＝2900 5a＋1500＋10b＝2900 5a＋1500＋10b－1500＝2900－1500 5a＋10b＝1400 5（a＋2b）＝1400 5（a＋2b）÷5＝1400÷5 a＋2b＝280 黄花的总数： 24a＋12b＋18c ＝18a＋6a＋12b＋18c ＝18a＋18c＋6a＋12b ＝18（a＋c）＋6（a＋2b） ＝18×150＋6×280 ＝2700＋1680 ＝4380（朵） 9. 在5时到6时之间，某人看表时，由于不慎将时针看成分针，造成他看到的时间比正确的时间早了57分钟，试问正确时间是（ ）时（ ）分。 【答案】 ①. 5 ②. 24 【解析】 【分析】假设正确的时间为5时x分因为看到的时间比正确的时间早57分，所以看到的时间为4时（3＋x）分，因为将时针及分针看错，所以5时x分的时针位置会和4时（3＋x）分的分针位置重合，因为钟表一大格30°，时针一分钟走度，分针一分钟走6° 也就是说，原时针到某时刻时的度数和新分针走的一样的度数，由此列出方程解答即可． 【详解】解：设正确的时间是5时x分。 5×30＋x＝6×（3＋x） 150＋x＝18＋6x 150－18＝6x－ x＝24 答：正确时间是5时24分。 三、解答题。（本大题6个小题，共44分） 10. 黑、白两种棋子共62枚，把它们分成3堆：在第一堆中，黑子数量是白子的2倍；在第二堆中，黑子数量是白子的3倍；在第三堆中，黑子数量是白子的4倍。如果第二堆白子是第一堆白子的2倍，第三堆黑子是第二堆总数的2倍，那么第三堆有几枚白子，几枚黑子？ 【答案】 第三堆有8枚白子，32枚黑子 【解析】 【分析】题目中各堆棋子数量之间存在复杂的倍数关系，适合用方程法解答。选择第一堆白子数量作为基准设为未知数，根据倍数关系用含未知数的式子表示出其他所有棋子的数量，最后根据棋子总数列出方程求解。 【详解】解：设第一堆白子有枚。 第一堆黑子数量是白子的2倍，则第一堆黑子有枚。 第二堆白子是第一堆白子的2倍，则第二堆白子有枚。 第二堆黑子数量是白子的3倍，则第二堆黑子有枚。 第二堆棋子总数为枚。 第三堆黑子是第二堆总数的2倍，则第三堆黑子有 枚。 第三堆黑子数量是白子的4倍，则第三堆白子有 枚。 根据黑、白两种棋子共62枚，列方程得： 第三堆白子数量：（枚） 第三堆黑子数量：（枚） 答：第三堆有8枚白子，32枚黑子。 11. 某次小学生高年级数学竞赛的满分为100分，小明和小红在竞赛中取得了优异的成绩，当记者采访他们时，小明说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于1067。”小红说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于3135。”请问小明和小红两人的平均分是多少分？ 【答案】 分 【解析】 【分析】先将名次、年龄和分数的乘积进行分解质因数，再结合“小学生高年级”、“竞赛满分分”以及“成绩优异”等实际情境条件，对因数进行合理组合，确定每个人的具体分数，最后利用平均数公式：平均分＝（小明分数小红分数），计算结果。 【详解】 所以小明的名次、年龄、得分为：、、 所以小红的名次、年龄、得分为：、、 （分） 答：小明和小红两人的平均分是分。 12. A、B、C、D四个小镇之间的道路分布如图所示，其中A、D两镇相距20千米，B、D两镇相距30千米。某天甲、乙两人同时从B镇出发，甲到达D镇后再向A镇走，到达A镇后又立刻返回，而乙到达D镇后直接向C行进。丙从C镇与甲、乙两人同时出发，在距离D镇15千米处与乙相遇。当丙到达D镇后又向A镇前行，在与D镇相距6千米的地方与甲相遇，已知甲、乙的速度比为，求D、C两镇之间的距离。 【答案】50千米 【解析】 【分析】根据路程速度时间，根据题干信息，甲、乙、丙同时出发，因此所用时间相等，所以甲、乙、丙的速度之比等于对应路程之比； 第一阶段：丙与乙相遇时，根据乙走的路程及甲、乙的速度比为，求出甲的路程； 第二阶段：丙与乙相遇后至与甲相遇时，算出这个时间段甲走的路程与丙走的路程之比； 最后根据甲第一阶段走的路程及甲与丙的路程之比算出丙走的距离，用丙走的路程加上15千米，即可求出D、C两镇之间的距离。 【详解】根据分析可知： 第一阶段：丙与乙相遇时，乙走的路程为：（千米）； 因为甲、乙的速度比为，即路程之比也为，根据比的性质：甲的路程； 所以甲第一阶段的路程为： （千米）； 第二阶段：丙与乙相遇后至与甲相遇时，丙的路程为：（千米）； 两个阶段甲共计走的路程为： （千米）； 所以甲第二阶段走的路程为：（千米）； 因此甲与丙路程之比为：； 甲第一阶段路程为40千米，所以丙第一阶段走的路程为： （千米）； 根据题干信息，D、C两镇之间的距离为：（千米） 答：D、C两镇之间的距离是50千米。 13. 骑车人以每分钟300米的速度，从102路电车始发站出发，沿102路电车线前进。骑车人离开出发地2100米时，一辆102路电车开出了始发站。这辆电车每分钟行500米，行5分钟到达一站并停1分钟，那么要多少分钟，电车追上骑车人？ 【答案】分钟 【解析】 【分析】电车追及距离为2100米，先求出电车1分钟能追多少米，然后求追上2100米用的时间是10.5分钟，电车行10.5分钟要停2站，也就是停2分钟，求出骑车人2分钟前行的距离：300×2＝600（米），接着求出电车追上这600米要用的时间，最后把时间相加即可。 【详解】1分钟能追的距离：500－300＝200（米） 追上2100米要用的时间：2100÷200＝10.5（分钟）； 电车行10.5分钟要停的站数：10.5分钟里包含2个5分钟，所以停2站； 电车停2站用的时间：1×2＝2（分钟）； 电车停2分钟骑车人前行的距离：300×2＝600（米）； 电车追上这600米用的时间：600÷200＝3（分钟）。 电车追上骑行人一共用的时间： 10.5＋2＋3 ＝12.5＋3 ＝15.5（分钟） 答：电车追上骑车人一共需要15.5分钟。 14. 数据谷中学有甲、乙两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷，学校举行期末考试，数学试卷如果用复印机甲、乙单独复印分别需要1小时和1.5小时，在考试时，为了保密，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前的一个小时才开始复印试卷。 （1）若甲乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？ （2）在印刷半个小时后甲机出了故障，停止复印，此时离发卷还有18分钟。请你算一下，如果乙机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷考试？ 【答案】（1）0.6小时 （2）不会影响按时发卷考试 【解析】 【分析】（1）把印刷试卷的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两台复印机的工作效率，相加求出工作效率和，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”，求出两台复印机同时印刷所需的时间。 （2）先将18分钟换算成小时，根据“工作总量工作效率和×工作时间”，求出甲、乙两台复印机共同印刷半个小时完成的工作量，加上乙复印机单独印刷18分钟能完成的工作量，将总和与工作总量“1”进行比较。若总和大于或等于“1”，则不会影响按时发卷；反之则会影响。 【小问1详解】 甲复印机的工作效率：1÷1＝1 乙复印机的工作效率：1÷1.5＝ 两台复印机同时印刷所需时间： ＝ ＝ ＝0.6（小时） 答：共需要0.6小时才能印完。 【小问2详解】 18分钟＝＝0.3小时 半个小时＝0.5小时 ＝ ＝ ＝ ＝ ＞1，所以能完成任务。 答：不会影响按时发卷考试。 15. 有甲、乙、丙3瓶溶液，它们的质量比是3∶2∶1。如果把两瓶溶液混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中，称为一次操作。现在先对甲、乙两瓶溶液进行一次操作，再对乙、丙两瓶溶液进行一次操作，最后对丙、甲两瓶溶液进行一次操作，三次操作后，甲、乙两瓶溶液的浓度分别是67%和61%，求最初丙溶液的浓度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查浓度问题与比例的综合应用。两瓶溶液混合后再分配，意味着混合后两瓶溶液的浓度相等。采用逆推法，从最终状态倒推。 第三次操作未涉及乙，故乙在第二次操作后的浓度即为最终浓度；第二次操作混合了乙和丙，故丙在第二次操作后的浓度与乙相同。 利用每次操作前后溶质总质量不变的原则，设未知数列方程求解。 【详解】解：设甲、乙、丙三瓶溶液的质量分别为、、。 因为第三次操作是对丙、甲进行，乙未参与，所以第二次操作后乙溶液的浓度等于最终乙溶液的浓度，即。 因为第二次操作是对乙、丙进行，混合后浓度相等，所以第二次操作后丙溶液的浓度也为，这也是第三次操作前丙溶液的浓度。 设第一次操作后甲、乙两瓶溶液的浓度为。 第三次操作是对丙、甲进行，甲的质量为，丙的质量为，混合后浓度为。 根据混合前后溶质总质量不变，列方程： 即第一次操作后乙溶液的浓度为。 设最初丙溶液的浓度为。 第二次操作是对乙、丙进行，乙的质量为，丙的质量为，混合后浓度为。 根据混合前后溶质总质量不变，列方程： 答：最初丙溶液的浓度是。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $