精品解析：辽宁鞍山市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025--2026学年度高二下学期期末考试 数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合集合的交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：B 2. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集. 【详解】由题意可知，且，所以， 所以化为， ，解得. 故选：C 3. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，则，解得， 由可得，但是由得不到， 所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件. 4. 已知对一切都成立，那么，的值为（ ） A. ， B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：利用错位相减求和可得答案； 方法二：利用代入求出可得答案. 【详解】方法一： 令， 则， 两式相减得 ， 可得， 对一切都成立，那么，； 方法二：对一切都成立， 当时有， 即，解得. 故选：A. 5. 已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由得， 又，易得， 两边同时取以为底的对数得， 即， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故选：C. 6. 已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用导数的性质判断函数的单调性，根据奇偶函数的定义、基本不等式进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体实数， 因为， 所以该函数是奇函数， ， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以有，当时取等号， 而，当且仅当时取等号， 显然与不能同时成立， 所以， 所以该函数是实数集上的增函数，且又是奇函数， 所以 ， 令， 因为m，n是正实数， 所以， 所以， 即，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，的最小值为， 故选：D 7. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到在为单调递减函数，且，利用对数函数的单调性，求得，结合的单调性，即可求解. 【详解】由题意知，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增， 可得函数在上为单调递减函数，且， 所以，， 因为，所以，，， 可得，所以， 即，所以. 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知， 分子相同为1，正数分母越大，分数越小，，故A错误； ，已知， 则，故，即，故B正确； 指数函数，当时，函数单调递增，由得； 当时，函数单调递减，由得， 故无法确定大小关系，故C错误； ，已知， 由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，故D正确． 10. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【详解】等比数列通项公式，， 选项A：， ，即是首项为1，公比为2的等比数列，故A正确； 选项B：， ，即是首项为0，公差为2的等差数列， 故B正确； 选项C：，， 当时，，故不是等比数列，故C错误； 选项D：， ， 是首项为2，公比为2的等比数列，故D正确． 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，可证明点同时满足即可；对于B项，可利用，且为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点对称，再结合函数关于对称，即可证明；对于D项，应用，可证明，可得，，， ，依次构成等差数列，进而可判断正误. 【详解】对于A项，设点是图象上任意一点， 则，而， 所以点也是图象上的点， 所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为为奇函数， 所以，取，可知，所以； 又因为，所以， 于是，故B项错误； 对于C项，因为为奇函数，所以， 即，令， 则，， 所以， 因为的值域为，所以该结论对任意实数都成立， 即，故C项正确； 对于D项，由以上推理知， 所以， 所以； 又因为，， 所以，，，，，，依次构成等差数列，其首项为，公差为， 所以，故D项正确； 故选：ACD. 【点睛】解题关键点：灵活应用性质“”与“为奇函数”是解题的关键点，在应用性质时，在判断C项正误中灵活使用，； 在应用为奇函数时，我们顺次采用了；两种形式. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，．则________． 【答案】110 【解析】 【分析】利用赋值法，先求得，再求得，最后用累加法求得. 【详解】函数满足，， 令，得. 令，得， 即. 所以， ， ， …… ， 累加得，， 所以. 13. 设为数列的前n项和，当时，，已知，，．则数列的通项公式为________ 【答案】 【解析】 【分析】先对原关于的递推公式移项变形，利用转化为的二阶线性递推关系，再通过求特征根、结合已知初项求出数列通项. 【详解】解法一：因为 ， 移项变形：  ， 利用 ，左边为 ， 右边化简为：  ， 因此得到  的递推：  即  ，令 ， 则  是公比为2的等比数列，首项 ， 因此：  ,即得：  , 两边同除以 ，得：  令 ， 则  是公差为1的等差数列，首项 ， 因此： ,  由 ，得 ，验证初始项均符合条件. 解法二：已知当时，， 移项整理得：  ， 则， 代入已知验证得，与题目给的一致，因此该递推对所有成立. 特征方程为，解得二重根，因此设通项形式为 代入得：  ，解得， 因此，验证满足所有条件，即为数列通项. 14. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则________ 【答案】45 【解析】 【分析】根据每层点的个数规律和每层点的坐标和规律得到周期数列，对周期数列求和讨论周期进行求和． 【详解】观察数列可知： 第0层，中心：1个点，； 第1层，8个点，起点为，这8个点都关于坐标轴对称，可知这一层和为0； 第2层，16个点，起点为，同理关于坐标轴对称，这一层和为0； …… 第k层，8k个点，起点坐标为，和为0； 则前m层（含第0层）总点数： ； 则当时，总点数为； 故 则第23层的起点；则； 故． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算整理得，再根据二次函数性质求最值即可； （2）令，将问题转化为对恒成立，进而分和，结合不等式的性质和基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：因为 所以 因为，， 所以当时，有最小值；当时，有最大值. 所以函数的值域为 【小问2详解】 解：令，由得， 所以对于恒成立等价于对恒成立， 当时，恒成立； 当时，恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 16. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 【答案】（1）采用策略①购买的产品总量为，总金额为；策略②购买的产品总量为，总金额为 （2）采用策略②比采用策略①更经济,理由如下： 采用策略①，两次购买物品的数量均为m，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为n，购买物品的数量为， 则两次平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济． 【解析】 【分析】（1）代入数值计算，直观对比两种策略采购数据； （2）通用推导平均价格，作差比较大小判断经济性，再分情况讨论得出结论． 【小问1详解】 因为，，，， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，，则策略②购买的产品总量为，总金额为． 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程. （2）利用导数求得函数当时，，时，，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以. 又，， 所以在点处的切线方程为：. 【小问2详解】 因为函数定义域为，， 因为时，，所以在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以，当时，有极小值，且. 且当时，， 时，， 所以若关于的方程有两个不相等的实数解，. 18. 已知数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，设为数列的前n项和，求 （3）证明：对，． 【答案】（1） （2） （3）证明：由上分析， 故对，， ， 因为，所以 即 【解析】 【分析】（1）由题设可得，据此可得数列是首项为3，公差为1的等差数列； （2）由（1）结合错位相减法及题设可得答案； （3）由题设结合裂项求和法可完成证明. 【小问1详解】 由可得， ，，依此类推可得 ， 数列是首项为3，公差为1的等差数列， ，即； 【小问2详解】 用错位相减法求和： 两式相减得：． 其中等比数列部分：，代入得： ． ． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，， （1）讨论函数的单调性： （2）若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； （3）当时，定义数列满足：，，，证明：，. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性； （2）根据题意可知，根据端点效应可得，并把代入检验即可； （3）根据的单调性和符合分析可得，设，分析可知原题意等价于，构造，，利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， ①当，，可知在上单调递增； ②当，令，解得， 当，，可知在上单调递增; 当，，可知在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立，且， 则，解得， 若，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意； 综上所述：实数的所有取值构成的集合为. 【小问3详解】 当时，由（1）可知在上单调递增， 且，则等价于；等价于； 因为，且， 则，可得， 且，所以， 以此类推可得：，. 设，则， 要证，即为， 等价于，两边乘以， 整理为， 令，， 则，， 令，， 可知在上单调递增，则，即， 可知在上单调递增，可得， 即，所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年度高二下学期期末考试 数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知对一切都成立，那么，的值为（ ） A. ， B. C. ， D. ， 5. 已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（ ） A. 63 B. 127 C. 255 D. 256 6. 已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，设，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，．则________． 13. 设为数列的前n项和，当时，，已知，，．则数列的通项公式为________ 14. 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，．记，如，即，，即，，即，…，以此类推．设数列的前n项和为，则________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 16. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． （2）请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 18. 已知数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，设为数列的前n项和，求 （3）证明：对，． 19. 已知函数，， （1）讨论函数的单调性： （2）若不等式在上恒成立，求实数的所有取值构成的集合； （3）当时，定义数列满足：，，，证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $