精品解析：辽宁省鞍山市第二十四中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024—2025学年度下学期期末考试高二试题 数学 命题人：鞍山二十四中 东靖翔 审题人：鞍山二十四中 刘曾文 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 6. 已知函数，若且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D. 当时，越小，越大 10. 已知函数和其导函数的定义域均为，若函数是偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. 的一个周期为 C. D. 11. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D 若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数为函数的导函数，且，则_______． 13. 已知正项等比数列，，则_______． 14. 已知函数，若恒成立，则_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，恒成立，求的取值范围. 16. 已知数列首项为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 （1）求关于的回归方程； （2）用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； （3）求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 18 已知函数，． （1）证明：在上存在唯一极值点； （2），恒成立，求实数的取值范围． 19. 为实数，无穷数列为数列时满足：；；． （1）若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； （2）若数列为数列，求的值； （3）数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期期末考试高二试题 数学 命题人：鞍山二十四中 东靖翔 审题人：鞍山二十四中 刘曾文 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，再根据交集的定义求解. 【详解】根据题意，， ， 则. 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由配凑法结合基本不等式求出范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 4. 表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将三个函数在时的图像画在同一个平面直角坐标系中，可得的图像，根据图像即可求得的最大值. 【详解】作出的图像， 由图像可知， ， 由图可知 的最大值为. 故选：D. 5. 若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 6. 已知函数，若且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数性质变形得，然后结合对勾函数性质求得范围. 【详解】，即，又，所以，所以且， ， 由对勾函数性质知函数在时是减函数，所以时，， 故选：B. 7. 已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形为在上只有一解，设，用导数确定函数的性质得参数范围． 【详解】，所以在上只有一解， 设，则，由得， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以上，， 又时，，时，， 所以，的取值范围是， 故选：C． 8. 已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶分类讨论不等式恒成立可得. 【详解】由已知恒成立，即恒成立， 为奇数时，，，的最小值是，所以，， 为偶数时，，，的最小值是，所以，， 所以， 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D. 当时，越小，越大 【答案】AD 【解析】 【分析】结合幂函数的定义和性质，对选项进行逐一分析. 【详解】选项A:对任意，，恒成立，故A对； 选项B:时，无意义，故B错； 选项C：两个幂函数和的交点满足，解得（仅当指数非负时）、、.实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称.故C错. 选项D:当时，值随的减小而增大，如，故D对. 故选:AD. 10. 已知函数和其导函数的定义域均为，若函数是偶函数，是奇函数，则（ ） A. B. 一个周期为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分析函数是偶函数的性质和是奇函数的性质，再依据函数导数与原函数的关联，以及函数的对称性来推导函数的周期性，从而对各个选项进行判断. 【详解】因为函数是偶函数，所以，可得， 当时，，当时，，故无法判断和是否相等，选项A错误； 因为是奇函数，所以，可得， 因为，，所以， 可得，即，，， 因此的周期，是的一个倍数， 故的一个周期为32，选项B正确； 因为，所以是的一个对称中心， ，故，选项C正确； 因为，所以是的一个对称中心， 又因为的周期，所以是的一个对称中心， 综上可知，，，，且，， 因此一个周期内， ，得， 的值不可求，故选项D错误. 故选：BC. 11. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式证明求解判断各选项. 【详解】， 对A，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，A正确； 对B，，当且仅当时取等号，因此最小值是36，B错； 对C，由三元均值不等式知C正确； 对D， ，当且仅当时取等号， 所以，D正确， 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数为函数的导函数，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数运算法则对给定等式两边求导，再赋值得解. 【详解】由，求导得， ，当时，，解得， ，所以. 故答案为： 13. 已知正项等比数列，，则_______． 【答案】58 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解． 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 14. 已知函数，若恒成立，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】求出的定义域，讨论恒成立的条件，联立不等式求解.. 【详解】已知函数，则真分数，即分子分母同号： ①若：真分数为,无定义域，排除. ②若，则，因，时，x与a同号为负值.不等式变形为. 判断符号：时，，，故. 判断符号：真分数在内取值范围为，故. 所以当时，，违反不等式恒成立条件. 因此，时无解. ③若，由可得定义域. 已知，则. 当时，，故，需满足，即，因为，故 当时，，需满足，即，因为，故 当时，，故，需满足，即，因为，故， 联立得，又，解得. 故答案：4. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）令，在上恒成立，利用得，求得的范围，再检验满足题意即得. 【小问1详解】 ，，，， 故切线方程：. 【小问2详解】 恒成立，即恒成立. 令，求导得，因为，故 ，，又，解得. 当时，导函数递增，，，所以必存在唯一使得. 故在上递减，在上递增. 又因为，所以在上恒成立，所以的取值范围为. 16. 已知数列首项为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件推出，结合等差数列性质，推出数列的通项公式； （2）利用前项和公式定义，利用（1）的结论，分和两种情况计算. 【小问1详解】 已知数列首项为，且，，成等差数列，则①② 令，得：.由②减①，得. （i）令，则，，即. （ii）令，则，，即. 综上所述，数列的通项公式为. 【小问2详解】 令，，即， 令，则， 即. 综上所述，数列的前项和. 17. 自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 （1）求关于的回归方程； （2）用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； （3）求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 【答案】（1） （2）5.912 （3）0.85 【解析】 【分析】利用最小二乘法求出回归方程的系数，再代入方程预测未来值，最后通过协方差和标准方差计算相关系数. 【小问1详解】 ，， ，，， ， . 所以. 【小问2详解】 当时，. 【小问3详解】 18. 已知函数，． （1）证明：在上存在唯一极值点； （2），恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数只有唯一变号零点，即可得证； （2）原问题等价于在上恒成立， 故成立，解法一：原问题等价于，其中，解法二：原问题等价于，其中，解法三：原问题等价于，其中，分别利用导数分段证明问题成立, 【小问1详解】 ， 易知且为单调递增函数， 故在上存在唯一极值点. 【小问2详解】 在上恒成立. 原问题等价于在上恒成立，故成立. （解法一）原问题等价于，其中. （i）当时，在上单调递增， 故： 令，则， 对分子化简得： 分子 当时：，则，故在上单调递减，即，故成立. （ii）当时，，显然恒成立. （iii）当时，，令， 在上单调递增，且，；， 故在上存在唯一零点，设该零点为.①若，则， 此时，成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述. ②若，此时， 证明：证明：，变形得：， 令，求导得：成立， 显然，即：. 接下来证明，即证明，即证明， 因为，且. 故成立.综上所述，的取值范围为. （解法二）原问题等价于，其中. （i）当时，此时为开口向上的二次函数，对称轴为，故在上单调递增， 即： 令，求导可得：，对分子化简得： 分子. 当时：，则，故在上单调递减， 即，故成立. （ii）当时，，显然恒成立. （iii）当时，此时开口向下，对称轴为. 令，求导可得， 故在上单调递增，且，， 故在上存在唯一零点， 设该零点为.①若，则, 此时，成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述. 若，此时， 证明证明：，变形得：， 令，求导得：成立， 显然，即：. 接下来证明，即证明，即证明， 因为，且. 故成立.综上所述，的取值范围为. （解法三）原问题等价于，其中， 令，. 需证明在上恒成立. 因为的对称轴为，开口向下且. （i）若，即，此时在处取得最大值， 即， 令， 求导得：，对分子化简得： 分子. 当时：，则，故在上单调递减， 即，故成立. （ii）若，即，此时在在处取得最大值， 即.令， 求导得：，故在上单调递增， 故.因为， 且. 故成立.综上所述，的取值范围为. 19. 为实数，无穷数列为数列时满足：；；． （1）若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； （2）若数列为数列，求的值； （3）数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 【答案】（1）数列不可能为数列，理由见解析 （2）. （3）存在，. 【解析】 【分析】(1)先代入，已知的值，计算等关键值，发现不在数列要求的集合中，从而判定不是数列; (2)依据数列定义(等规则)，结合与的关系，推出，再根据的两种可能形式，依次推导等项的值; (3)假设是数列，利用的递推关系、项的大小限制，、等条件，推导得，构造时的数列通项，从满足的关系、与的大小，以及与的包含关系验证，结合和时与的大小，确认满足恒成立，得出存在这样的,数列且. 【详解】（1）数列不可能为数列，理由如下： 因为，，，所以，. 因为，所以，所以数列不可能为数列. （2）由数列定义，可知满足：，；； 或. 由或以及，可知，所以. 由或，或， 以及，可得，. 由或，以及，可知， 同理，由或，以及，可知. （3）假设数列是满足“恒成立”的数列. 因为或，且，所以， 由，可知， 从而或. 又因为，所以. 因为，且，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以. 因为，所以. 根据假设，由可知，所以， 由及，可知. 由可知，所以. 综上可知，若数列是满足“恒成立”的数列，则. 当时，考虑数列：. 下面验证数列满足数列的要求： 由，可知. 因为，， 所以.，，使得，， 所以，， 所以，， 又， 所以：当时，；当时，. 所以. 由通项公式可知，当时，；当时，， 所以恒成立. 综上所述，存在数列，使得恒成立，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $