精品解析：海南省部分校2025-2026学年高二下学期期末联考数学试卷

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 记等比数列的公比为，已知，前三项之和为3，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. e C. D. 5. 若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知某圆锥的轴截面是底边长为4，高为的等腰三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 8π D. 10π 7. 某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式一共有7项，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式的各项系数之和为64 10. 已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 直线与C的右支有2个交点 C. 当时， D. 当点P在C的右支上时，的最小值为 11. 近年来中国机器人市场规模与自动驾驶市场规模均呈现快速增长趋势，根据某机构的统计数据，中国2021-2025年（年份代码依次为1~5）的机器人市场规模y与自动驾驶市场规模z的数据如下： 年份代码x 1 2 3 4 5 y/千亿元 2.4 m 3.3 3.8 4.5 z/千亿元 3.2 3.6 4.3 4.8 由上表数据求得y关于x的经验回归方程为，z关于x的经验回归方程为，若，则（ ） A. y与z正相关 B. C. D. 从2028年起y与z的预测值之和首次超过12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2026年8月海南省第七届运动会将在琼海市举行.甲、乙、丙三人计划从5个比赛项目中各选1个去现场观看，若三人选择的比赛项目各不相同，则不同的选择方法种数为______． 13. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则______． 14. 已知实数a，b，c满足，记函数的图象在，，处的切线斜率分别为，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前n项和为，已知，． （1）求； （2）若，，，，，…，，…成等比数列，求数列的通项公式及前n项和． 16. 某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． （1）求选出的3件文物都是汉代文物的概率； （2）设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，a，． （1）当时，讨论的单调性． （2）设函数，若在上有极值点， （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． （1）求C的方程． （2）设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则即可求解. 【详解】由得 . 3. 记等比数列的公比为，已知，前三项之和为3，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知等比数列的前三项：， 由前三项和为 3 得=3，整理得 ，解得 或 . 因为，因此 . 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，求导得， 所以.     5. 若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 所以. 6. 已知某圆锥的轴截面是底边长为4，高为的等腰三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 8π D. 10π 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥的轴截面是底边长为4，高为的等腰三角形， 得该圆锥的底面圆半径，母线长， 所以该圆锥的表面积. 7. 某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先划分垃圾邮件、正常邮件两个互斥完备事件组，求出两类邮件各自的发生概率，再结合对应过滤的条件概率，套用全概率公式分别计算两类邮件被过滤的概率并求和，得到邮件整体被过滤的概率． 【详解】设“邮件是垃圾邮件”为事件，“邮件是正常邮件”为事件，“邮件被过滤”为事件， 则，，，， 所以． 8. 已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数单调递减转化为导函数恒小于等于，分离参数构造新函数，利用导数求新函数最大值，再解出参数的取值范围． 【详解】的定义域为， ， 由在定义域上单调递减， 得，恒成立， 由，得， 令，， 由，得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式一共有7项，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式的各项系数之和为64 【答案】AC 【解析】 【分析】先由展开式的项数确定二项式的指数并写出通项公式以求得特定项的系数，再利用赋值法求出各项系数之和. 【详解】由题意得展开式共项，所以，故A正确， ， 令，则常数项的系数为，故B错误， 令，则含的项为， 即的系数为，故C正确， 令，则各项系数之和为，故D错误. 10. 已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. 直线与C的右支有2个交点 C. 当时， D. 当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 11. 近年来中国机器人市场规模与自动驾驶市场规模均呈现快速增长趋势，根据某机构的统计数据，中国2021-2025年（年份代码依次为1~5）的机器人市场规模y与自动驾驶市场规模z的数据如下： 年份代码x 1 2 3 4 5 y/千亿元 2.4 m 3.3 3.8 4.5 z/千亿元 3.2 3.6 4.3 4.8 由上表数据求得y关于x的经验回归方程为，z关于x的经验回归方程为，若，则（ ） A. y与z正相关 B. C. D. 从2028年起y与z的预测值之和首次超过12 【答案】ABD 【解析】 【分析】回归直线过样本均值点，联立方程求出，判断 B 对 C 错；斜率均为正，随同步增大，正相关，A 对；求和得到，解不等式得最小代码对应 2028 年，D 对. 【详解】，， ， 对，样本中心在直线上，所以①， 对，样本中心在直线上，所以②， 已知，联立 ①②：得，B正确； 把代入 ①： ，故 C 错误； ，说明随递增、随递增，因此同步增长，正相关，A 正确； ， 令 ，为整数，最小， 年份代码对应：， 即2028 年起和首次超过 12，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2026年8月海南省第七届运动会将在琼海市举行.甲、乙、丙三人计划从5个比赛项目中各选1个去现场观看，若三人选择的比赛项目各不相同，则不同的选择方法种数为______． 【答案】60 【解析】 【详解】甲先选：5 个项目任选 1 个，有 5 种选法； 乙再选：不能和甲相同，剩 4 个项目，有 4 种选法； 丙最后选：不能和甲、乙相同，剩 3 个项目，有 3 种选法， 则不同的选择方法种数为. 13. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】根据正弦定理，已知，. 设，根据余弦定理，已知， 代入得，，，. 14. 已知实数a，b，c满足，记函数的图象在，，处的切线斜率分别为，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知 ， ，分别代入 ，， ， ， 因为，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前n项和为，已知，． （1）求； （2）若，，，，，…，，…成等比数列，求数列的通项公式及前n项和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先设等差数列基本量，再根据已知条件列方程组，解方程组求基本量,最后代入等差数列通项公式即可求得； （2）先求等比数列前两项，进而得到首项和公比，代入公式即可求得的通项公式和前n项和. 【小问1详解】 设的首项为，公差为d． 由，，得 解得，． 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 根据等比数列的定义可知，， 即是首项为9，公比为3的等比数列， 所以， ． 16. 某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． （1）求选出的3件文物都是汉代文物的概率； （2）设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）由组合知识求出从8件文物中任选3件的方法数，及从8件文物中任选3件的方法数，从而求出概率； （2）得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列，得到数学期望 【小问1详解】 从8件文物中任选3件，有种方法． 选出的3件文物都是汉代文物，有种方法. 故所求的概率； 【小问2详解】 由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，． 所以X的分布列为 0 1 2 3 数学期望， 17. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB， 因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数，a，． （1）当时，讨论的单调性． （2）设函数，若在上有极值点， （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） （ⅰ） （ⅱ）由（ⅰ）知，且， 所以． 要证，即证，移项得． 设，， 则， 当时，，所以在上单调递增， 所以． 故，得证． 【解析】 【分析】(1) 代入，对函数求导，对b作两类讨论导数正负，划分单调区间； (2)(i) 方法一：不分离，利用导函数单调，端点值异号直接列不等式； 方法二：把单独放到等式一侧，转化为求函数值域，通过构造函数单调性求范围；(ii) 利用极值点条件化简，把待证不等式变形；构造函数求导证区间内单调递增，根据单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，，定义域为． 求导得． ①当时，恒成立，此时在上单调递增. ②当时，令，得，即， 当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （ⅰ）方法一：由题意得，，定义域为． 求导得． 当时，在上恒成立，没有极值点； 当时，根据的单调性可知在上单调递减， 要使在区间上有零点，则，即， ，即， 综上，的取值范围是． 方法二：由题意得，，定义域为． 求导得． 因为在上有极值点，所以方程在上有实数根． 由，得，解得． 设，则． 当时，，故在上单调递增， 因此，即， 当，，当，， 此时在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，符合题意． 所以的取值范围是． （ⅱ）略 19. 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． （1）求C的方程． （2）设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）； （ⅱ）当直线AB的斜率为0时，其与x轴重合，直线AQ也与x轴重合，此时直线AQ被圆E截得的弦长即为圆E的直径. 当直线AB与x轴不重合时，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，即证明即可． 设AB的方程为， 由得， 设，，则①，②． 由题意知，所以，． 要证， 即证， 即， 将①②式代入，可得左边＝右边，等式成立． 因此原命题得证． 【解析】 【分析】(1)利用半焦距与离心率得到，再求出； (2)（ⅰ）求出A的横坐标，求解； （ⅱ）分直线AB的斜率为0和直线AB与x轴不重合两种情况，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，证明即可． 【小问1详解】 设C的半焦距为．由题意知，所以， 因为离心率为，所以，， 所以C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，， 当B与C的下顶点重合时，，此时直线AB的方程为， 由得，解得或0， 因为点B的横坐标为0，所以点A的横坐标为， 所以． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $