专题10弧长与扇形面积暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题10弧长与扇形面积暑假预习讲义 · 认识扇形，能准确说出扇形构成要素：两条半径、一段弧；区分弧的度数与弧的长度。 · 结合圆周长、圆面积自主推导弧长公式 l=、扇形面积两个公式S=、S=lR · 能单独运用公式完成基础计算：已知圆心角、半径求弧长 / 扇形面积；已知弧长、半径反求圆心角。 · 掌握弓形面积计算方法：弓形面积 = 扇形面积 ± 三角形面积。 · 学会不规则阴影面积解题方法：分割、拼接、大图形减小图形，转化为扇形、三角形组合计算。 · 能解决生活实际题型：车轮滚动路程、扇形展板、弯道弧长、旋转扫过区域面积。 · 规避常见错误：区分半径与直径、角度单位统一、计算时分母 180/360 不要混淆。 · 梳理本节课疑问点，如双公式选择、复杂组合阴影计算，上课重点听讲例题。 预习必备 知识梳理 1.基础概念 2.弧长公式 3.扇形面积两大公式 4.弓形面积计算 5.不规则阴影面积同意解题方法 6.高频易错点汇总 常考精型 精讲精练 1.求弧长 2.求扇形半径 3.求圆心角 4.求某点的弧形运动路径长度 5.求扇形面积 6.求弓形面积 7.求其他不规则图形面积 8.求图形旋转后扫过面积 强化题型 解答题6题 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形面积两大公式 公式 1（已知圆心角、半径） 公式 2（已知弧长、半径，简化公式） 选用技巧 题目给出弧长优先用公式 2，计算步骤更少；仅给圆心角、半径用公式 1。 变形公式 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05：不规则阴影面积通用解题方法 1.和差法 整体图形面积减去空白扇形、三角形面积；多个不重叠扇形直接相加。 2.割补平移法 分散的小扇形通过平移、拼接，合并成一个完整标准扇形简化计算。 3.旋转转化法 图形绕定点旋转后，零散阴影合并为单一扇形，快速求面积。 4.容斥法 多个图形重叠阴影，总面积减去重叠空白部分。 知识点06：高频易错点汇总 1.半径、直径混淆，计算时代入直径导致结果翻倍； 2.两个公式分母记混：弧长分母 180，扇形面积分母 360； 3.分不清弧的度数与弧长，度数不带，弧长计算结果必须保留； 4.弓形面积不分优弧、劣弧，直接用扇形减三角形，优弓形出现符号错误； 5.旋转题型漏看旋转角度，直接用 360° 代入计算； 6.拼接阴影重复减去重叠区域，或遗漏部分扇形； 7.单位不统一，角度只使用度数，不可混用弧度。 知识点07：解题思路总结 1.求曲线长度（跑道、转动轨迹）→ 弧长公式l=； 2.求扇形、扫过区域、扇面大小 → 扇形面积公式； 3.求弦与弧围成图形面积 → 弓形面积（扇形 ± 三角形）； 4.复杂不规则阴影：平移、旋转拼接，转化为标准扇形再计算。 题型1.求弧长 【典例】如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送___________．（结果保留） 【跟踪专练1】制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是的内接四边形，是圆内接十边形的一条边，．若的半径为5，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型2.求扇形半径 【典例】一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱．如图，马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为___________米． 【跟踪专练2】一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 【跟踪专练3】如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型3.求圆心角 【典例】已知扇形的弧长为，半径为，则其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作wèi），汉朝才叫作磨．其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线m上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点A运动了到点处时，点B按逆时针方向旋转到处，则______． 【跟踪专练2】如图所示的扇形中，已知，则________． 【跟踪专练3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 题型4.求某点的弧形运动路径长度 【典例】如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为______． 【跟踪专练1】如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【跟踪专练3】如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 题型5.求扇形面积 【典例】已知扇形的半径为且圆心角所对的弧长为，那么这个扇形的面积是________． 【跟踪专练1】如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作，以中点为圆心，以为半径作弧与半圆交于点，则图中阴影部分的面积为_____. 【跟踪专练3】如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 题型6.求弓形面积 【典例】如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 【跟踪专练1】如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为______． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 题型7.求其他不规则图形面积 【典例】如图，正方形的四个顶点在直径为的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则________ ． 【跟踪专练2】如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 【跟踪专练3】如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 题型8.求图形旋转后扫过面积 【典例】已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 【跟踪专练1】如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【跟踪专练3】如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 2．如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格点上，，，将绕点顺时针旋转得到． (1)画出旋转后的； (2)求旋转过程中点经过的路径长． 3．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 4．如图，四边形内接于，为的直径，平分，． (1)求直径的长； (2)求图中阴影部分的面积． 5．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 6．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10弧长与扇形面积暑假预习讲义 · 认识扇形，能准确说出扇形构成要素：两条半径、一段弧；区分弧的度数与弧的长度。 · 结合圆周长、圆面积自主推导弧长公式 l=、扇形面积两个公式S=、S=lR · 能单独运用公式完成基础计算：已知圆心角、半径求弧长 / 扇形面积；已知弧长、半径反求圆心角。 · 掌握弓形面积计算方法：弓形面积 = 扇形面积 ± 三角形面积。 · 学会不规则阴影面积解题方法：分割、拼接、大图形减小图形，转化为扇形、三角形组合计算。 · 能解决生活实际题型：车轮滚动路程、扇形展板、弯道弧长、旋转扫过区域面积。 · 规避常见错误：区分半径与直径、角度单位统一、计算时分母 180/360 不要混淆。 · 梳理本节课疑问点，如双公式选择、复杂组合阴影计算，上课重点听讲例题。 预习必备 知识梳理 1.基础概念 2.弧长公式 3.扇形面积两大公式 4.弓形面积计算 5.不规则阴影面积同意解题方法 6.高频易错点汇总 常考精型 精讲精练 1.求弧长 2.求扇形半径 3.求圆心角 4.求某点的弧形运动路径长度 5.求扇形面积 6.求弓形面积 7.求其他不规则图形面积 8.求图形旋转后扫过面积 强化题型 解答题6题 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形面积两大公式 公式 1（已知圆心角、半径） 公式 2（已知弧长、半径，简化公式） 选用技巧 题目给出弧长优先用公式 2，计算步骤更少；仅给圆心角、半径用公式 1。 变形公式 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05：不规则阴影面积通用解题方法 1.和差法 整体图形面积减去空白扇形、三角形面积；多个不重叠扇形直接相加。 2.割补平移法 分散的小扇形通过平移、拼接，合并成一个完整标准扇形简化计算。 3.旋转转化法 图形绕定点旋转后，零散阴影合并为单一扇形，快速求面积。 4.容斥法 多个图形重叠阴影，总面积减去重叠空白部分。 知识点06：高频易错点汇总 1.半径、直径混淆，计算时代入直径导致结果翻倍； 2.两个公式分母记混：弧长分母 180，扇形面积分母 360； 3.分不清弧的度数与弧长，度数不带，弧长计算结果必须保留； 4.弓形面积不分优弧、劣弧，直接用扇形减三角形，优弓形出现符号错误； 5.旋转题型漏看旋转角度，直接用 360° 代入计算； 6.拼接阴影重复减去重叠区域，或遗漏部分扇形； 7.单位不统一，角度只使用度数，不可混用弧度。 知识点07：解题思路总结 1.求曲线长度（跑道、转动轨迹）→ 弧长公式l=； 2.求扇形、扫过区域、扇面大小 → 扇形面积公式； 3.求弦与弧围成图形面积 → 弓形面积（扇形 ± 三角形）； 4.复杂不规则阴影：平移、旋转拼接，转化为标准扇形再计算。 题型1.求弧长 【典例】如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送___________．（结果保留） 【答案】 【详解】解：根据题意，得：传送带上的物品A被传送的距离等于圆心角为的扇形的弧长， ∴传送带上的物品A被传送的距离为． 【跟踪专练1】制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 【详解】解：该中心线的展直长度为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，四边形是的内接四边形，是圆内接十边形的一条边，．若的半径为5，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆的关系，弧长公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 连接，得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ， ； 是圆内接十边形的一条边， ， ， 的长为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，垂足为M，求出，再利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为M， 正八边形的每一个内角, 由题意可得四边形是矩形，与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即所求弧的半径为， 的长为． 题型2.求扇形半径 【典例】一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角的度数，即可得到正确答案． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角度数为， ∵扇形弧长，面积， ∵， 解得 ∵， ∴， 即圆心角为． 【跟踪专练1】近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱．如图，马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为___________米． 【答案】1 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键，根据的长度及的度数，可利用弧长公式求出、的长，即可得解． 【详解】解：长度为米，， ，解得：． 长度为米，， ，解得：． （米） 故答案为：1． 【点睛】 【跟踪专练2】一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面直径为6，则此圆锥的母线长为______． 【答案】10 【分析】本题考查了求圆锥的母线长． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用扇形弧长公式与底面周长相等建立方程求解母线长． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 底面直径为6，则底面半径，底面周长， 侧面展开图的圆心角为， 则扇形弧长， 由，得， 解得． 故答案为：10． 【跟踪专练3】如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 题型3.求圆心角 【典例】已知扇形的弧长为，半径为，则其圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算圆心角度数. 【详解】解：弧长公式为：，，， ， 整理得：， 即， 解得：， 故选：C. 【跟踪专练1】石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作wèi），汉朝才叫作磨．其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线m上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点A运动了到点处时，点B按逆时针方向旋转到处，则______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意易得：点A移动的距离点B在圆周上经过的弧长，然后进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示的扇形中，已知，则________． 【答案】100． 【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可． 【详解】解：设扇形圆心角度数为n°， ∵， ∴在扇形中，， 解得：， ∴在扇形中，, 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求解． 【跟踪专练3】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：B． 题型4.求某点的弧形运动路径长度 【典例】如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：为等边三角形， ， 每次旋转的度数为， 点从开始到结束，所经过路径的长度． 故答案为． 【跟踪专练1】如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为转过的弧长，利用弧长公式l=计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 则重物上升了， 故选：B． 【跟踪专练2】摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 【跟踪专练3】如图，是的直径，，是上半圆的中点，是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，求某点的弧形运动路径长度，根据圆周角定理确定出点运动轨迹为一个半圆是解题的关键．由是上半圆的中点可得，利用勾股定理可求得的长，由可得点在以为直径的圆上运动，点的运动轨迹为一个半圆，进而求出半圆的周长即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，， 是上半圆的中点， ，， 是的直径，， ， 在中，， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 点从点运动到点， 点的运动轨迹为一个半圆， 点运动的路径长为． 故选：B． 题型5.求扇形面积 【典例】已知扇形的半径为且圆心角所对的弧长为，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【分析】已知扇形的半径和弧长，可直接利用扇形面积公式为 计算求解. 【详解】解：， 即这个扇形的面积是. 【跟踪专练1】如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 【跟踪专练2】.如图，在正方形中，，以为圆心，长为半径作，以中点为圆心，以为半径作弧与半圆交于点，则图中阴影部分的面积为_____. 【答案】 【分析】先根据正方形和圆的性质，连接、，证明四边形是正方形，得出扇形与扇形的面积相等，再通过割补法，用扇形的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、． ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵是的中点， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵为圆心，为半径作弧， ∴． ∵以为半径作弧与半圆交于点， ∴ ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． ∴ ∴， ∴扇形的面积扇形的面积． 阴影部分面积． 【跟踪专练3】如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积为， 所以阴影部分的面积为 ． 题型6.求弓形面积 【典例】如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【跟踪专练2】．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理以及扇形面积，连接，则，，由知是等腰直角三角形，求出，过点作求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，分别求出扇形的面积和的面积，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，, ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴, ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 题型7.求其他不规则图形面积 【典例】如图，正方形的四个顶点在直径为的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的对称性，圆面积公式求解，熟练掌握公式是本题的解题关键． 由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解． 【详解】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则________ ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，垂径定理，扇形面积的计算，解题的关键在于正确表示阴影部分的面积． 设的半径为r，根据，可求出，然后代入求面积即可． 【详解】解：由题意知，， 设的半径为r，则， ∴， ∵，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 【答案】/ 【分析】用扇形的面积减去的面积即可解答． 【详解】解：∵，点，分别为，的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为． 【跟踪专练3】如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先求得，，根据阴影部分面积等于半径为2的半圆的面积减去弓形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，点是下方的中点，， ∴， 阴影部分面积为 题型8.求图形旋转后扫过面积 【典例】已知台钟的时针长，从上午点到上午点，时针扫过的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积计算及时钟角度问题的综合应用，根据时针转动的时间求出扇形的圆心角是解题的关键． 时针扫过的面积为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为，时针从上午点到上午点移动小时，时针小时转，即时针扫过的圆心角为，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长，即扇形半径为， 从上午点到点，时针共走了小时， 时钟一圈为小时，对应，因此时针转过的圆心角为： ， ∴时针扫过的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算．根据含度角的直角三角形的性质求出，根据计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则边扫过区域的面积为： 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出扫过的区域是扇形，再利用扇形面积公式计算． 【详解】解：扫过的区域是圆心角为、半径为的扇形，扇形面积公式为（其中为圆心角度数，为半径）．代入得：． 故选：C． 解答题 1．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 【答案】（1）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；；； 【分析】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，解题关键是熟练运用扇形面积和弧长的计算公式． （1）这只狗的最大活动区域是半径为的圆的面积，这个区域的边缘的长是半径为的圆的周长； （2）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长； （3）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；小结：根据弧长和扇形的面积公式即可填空． 【详解】解：（1），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； 小结：在半径为R的圆中，圆心角为所对的弧长的计算公式：； 在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式：． 思考：根据以上公式可知， 发现弧长与扇形的面积的关系为． 2．如图，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格点上，，，将绕点顺时针旋转得到． (1)画出旋转后的； (2)求旋转过程中点经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，弧长公式，扇形的半径求解，画出旋转之后的图形是解题的关键． （1）根据题意先分别求出旋转后的各点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理求出半径的长，再利用弧长公式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：，，将绕点顺时针旋转得到， 如图，即为所求作： ，； （2）解：如图所示： ， ， 由图可知：的长为． 3．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 4．如图，四边形内接于，为的直径，平分，． (1)求直径的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等角对等边，扇形面积公式． （1）由是直径得，结合平分得，由圆周角定理得，判定为等腰直角三角形，用长求； （2）连接，可知，根据圆周角定理求出，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 5．如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解； （3）连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵F为中点，O为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴； （2）解：∵弦于点E， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴． 在， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 6．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得：， 由旋转可得，， 线段扫过部分的面积为： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $