专题1.2 二次函数的y=ax2图像 讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学二次函数y=ax²的图像这一核心知识点，系统梳理图像绘制（列表、描点、连线）、特征分析（开口方向、对称轴、顶点坐标）、待定系数法求解析式及数形结合应用的脉络，构建从基础操作到综合应用的递进学习支架。 资料通过题型分层设计（例题与变式练习结合）和数形结合实例（如图像比较函数值、景观抛物线问题），培养学生几何直观与模型意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生通过过关练习巩固知识，查漏补缺。

浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.2 二次函数y=ax2的图像 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 画二次函数y=ax2的图像 题型2 图像的开口方向、对称轴与顶点坐标 题型3 待定系数法求解析式 题型4 数形结合法解决问题 1. 会画二次函数y=a的图像； 2. 理解其图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征； 3. 能用待定系数法求二次函数y=a的解析式，并能用数形结合法解决相关问题。 知识点讲解 1. 二次函数的y=ax2的图像 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上，顶点是最低点; 时，抛物线开口下，顶点是最高点; （4）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大； 2. 画二次函数y=a的图像 ①列表（一定要注意对称取数） ②描点 ③连线（用光滑的曲线从左至右依次连接各点，得到函数的图象．） 3. 待定系数法求二次函数y=a的解析式 ①设（解析式y=ax2）、②列（关于系数a的方程）、③解（方程）、④写（解析式） 题型归纳 题型1 画二次函数的图像 【例1】画出下列函数的图象： (1)； (2) 【例2】在同一平面直角坐标系中， （1）画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． （2）结合图像思考：x取何值时>? 【变式练习】 1．已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 2. 在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 3．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 题型2 抛物线的开口方向与对称轴、顶点坐标 【例1】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【例2】根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【变式练习】 1．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 3．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 4．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 5．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可） 题型3 待定系数法求二次函数解析式 【例1】已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【例2】已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【例3】今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【变式练习】 1．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 2．已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 3．已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 4．某二次函数图象的顶点坐标为，形状与函数的图象相同，且开口方向相反，求该二次函数的解析式． 5．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长．    题型4 数形结合法 【例1】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【例2】如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【变式练习】 1．已知点在抛物线上． (1)的值为______． (2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上． 2．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 3．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 4．如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 一、单选题过关练习 1．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象过点，则a的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 6．已知，，是抛物线上的点，则（  ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（   ） A．直线上 B．抛物线上 C．直线上 D．双曲线上 8．比较二次函数与的图象，则（     ） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 9．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 10．如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线的开口向________．（填“上”或“下”） 12．二次函数的对称轴是______． 13．若二次函数的图象开口向下，则a的取值范围为__________． 14．若点在抛物线上，则_______． 15．如果的图像是抛物线，那么_________． 16．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为__________． 17．若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 18．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是_______． 三、解答题 19．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 20．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 21．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 22．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 23．如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．已知桥洞的拱形是抛物线． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一艘宽为，高出水面的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 25．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.2 二次函数y=ax2的图像 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 画二次函数y=ax2的图像 题型2 图像的开口方向、对称轴与顶点坐标 题型3 待定系数法求解析式 题型4 数形结合法解决问题 1. 会画二次函数y=a的图像； 2. 理解其图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特征； 3. 能用待定系数法求二次函数y=a的解析式，并能用数形结合法解决相关问题。 知识点讲解 1. 二次函数的y=ax2的图像 （1）二次函数的图像是一条抛物线； （2）它的对称轴是y轴，即直线；它的顶点是原点即（0，0）； （3）时，抛物线开口向上，顶点是最低点; 时，抛物线开口下，顶点是最高点; （4）越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大； 2. 画二次函数y=a的图像 ①列表（一定要注意对称取数） ②描点 ③连线（用光滑的曲线从左至右依次连接各点，得到函数的图象．） 3. 待定系数法求二次函数y=a的解析式 ①设（解析式y=ax2）、②列（关于系数a的方程）、③解（方程）、④写（解析式） 题型归纳 题型1 画二次函数的图像 【例1】画出下列函数的图象： (1)； (2) 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 27 12 3 0 3 12 27 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． (1) （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 … (2) 【例2】在同一平面直角坐标系中， （1）画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． （2）结合图像思考：x取何值时>? 【答案】（1）画图见解析， （2）0<x<1 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数图象的画法是解题的关键； (1)利用描点法作出两种函数的图象后直接写出交点坐标即可． (2)一次函数图像高于二次函数图像的区域即是自变量x的取值范围。 【详解】解：（1）列表得： 0 1 2 0 1 2 4 1 0 1 4 函数图象如图所示： 由图象可知：交点坐标为． （2）由图像可知当0<x<1时，一次函数的图像高于二次函数的图像，即当0<x<1时>. 【变式练习】 1．已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)点不在这个函数图像上； (3)和． 【分析】（1）根据对称性可直接画出图象； （2）代入横坐标或纵坐标都可判断； （3）代入即可求出坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）当时， ， ∴点不在这个函数图象上； （3）当时， ， ∴， ∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想． 2. 在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【答案】见解答 【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可． 【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴， 在对称轴两侧分别取点，列表如下： 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 描点、连线可得图象为： 3．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 题型2 抛物线的开口方向与对称轴、顶点坐标 【例1】若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． 【例2】根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【变式练习】 1．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 3．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 4．写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 5．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】1（填小于5的实数均可） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据抛物线开口向下可知，再选择适合的值即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ， 解得 ． ∴ 的值可以是0（答案不唯一）． 题型3 待定系数法求二次函数解析式 【例1】已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1)4 (2)16 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入解析式即可求出的值； （2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为， ∵点在这个图象上， ． 【例2】已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【例3】今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【答案】(1) (2)宽不会超过，理由见解析 【分析】（1）设抛物线（），点在抛物线上，解答即可． （2）设点坐标为（）根据题意得，，解答即可． 本题考查了待定系数法，求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 设抛物线（），点在抛物线上， ， 抛物线的解析式． （2）解：宽不会超过，理由如下： 离水面的高 设点坐标为（） 根据题意得， 解得： 的宽为 ， ， 的宽不超过． 【变式练习】 1．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． （1）把点代入抛物线解析式，借助于方程可以求得a的值； （2）把代入函数解析式即可求得相应的y的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，， 解得； （2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得， 即． 2．已知二次函数的图象经过点，试确定该函数图象的开口方向和的值． 【答案】开口向上． 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象，把点代入二次函数解析式可求出的值，进而可确定该函数图象的开口方向，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数， ∵， ∴该函数图象的开口向上． 3．已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特点，点的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）抛物线上的点坐标满足相应的函数解析式，所以将代入求解即可； （2）将点向右平移2个单位长度得到点，则，将代入求得，即可判断点在该抛物线的图象上． 【详解】（1）解：将代入得， ； （2）解：由（1）得，点， ∵将点向右平移2个单位长度，得到点， 将代入得， ， 点在抛物线上． 4．某二次函数图象的顶点坐标为，形状与函数的图象相同，且开口方向相反，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把二次函数解析式设为顶点式，再由所求抛物线的形状与函数的图象相同，且开口方向相反，得到 ，据此即可求得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为， 设该二次函数图象解析式为， 二次函数图象形状与函数的图象相同，且开口方向相反， ， 该二次函数的解析式为． 5．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长．    【答案】汤面的直径的长为 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 以抛物线顶点为原点，轴为对称轴建立平面直角坐标系，把碗口端点转化为坐标，简化抛物线解析式的求解，再用待定系数法求出抛物线，再代入汤面深度对应的，求出的取值，最后根据的值计算汤面的水平距离，得到直径的长度． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，轴为对称轴建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， 由题意得：抛物线上点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴． 答：汤面的直径的长为．    题型4 数形结合法 【例1】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 【例2】如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 【变式练习】 1．已知点在抛物线上． (1)的值为______． (2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：将点代入得，， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标分别为． 对于抛物线，当时，；当时，， 两点在抛物线上． 2．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 3．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 4．如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．设正方形的边长为，则根据抛物线对称性可得，代入抛物线的解析式即可求得，得到； 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 一、单选题过关练习 1．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 2．若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的横坐标代入函数解析式求解纵坐标． 将点的横坐标代入二次函数，计算对应的函数值即为的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴将代入解析式得，． 故选：C． 3．二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 4．二次函数的图象过点，则a的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，将点代入二次函数解析式，直接求解a的值． 【详解】解：∵ 点在函数上， ∴ ， 即 ， ∴ ． 因此，a的值为1． 故选：D 5．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 6．已知，，是抛物线上的点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分别求出时的值，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，是抛物线上的点， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：D． 7．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（   ） A．直线上 B．抛物线上 C．直线上 D．双曲线上 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，函数图象上点的坐标特征，掌握不同函数的性质是解题关键．找出各选项函数中满足条件的坐标即可得到答案． 【详解】解：A、表示、互为相反数，满足坐标条件，不符合题意，选项错误； B、点在抛物线上，满足坐标条件，不符合题意，选项错误； C、原点在直线上，满足坐标条件，不符合题意，选项错误； D、表示、同号且不为0，无法满足坐标条件，符合题意，选项正确； 故选：D． 8．比较二次函数与的图象，则（     ） A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质逐一分析开口方向、大小、对称轴及顶点坐标即可． 【详解】解：开口大小由决定，越大，开口越小，中，中，不相等，开口大小不同，A错误； 中，开口向下，中，开口向上，方向不同，B错误； 对称轴为直线，对称轴为直线，两函数对称轴均为直线，C正确； 顶点坐标为，顶点坐标为，顶点坐标不同，D错误； 故选：C． 9．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 10．如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 二、填空题 11．抛物线的开口向________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据的正负判断函数的开口朝向，如果，开口向上；如果，开口向下． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 12．二次函数的对称轴是______． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数对称轴的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用对称轴等于，代入数值求解即可． 【详解】解：根据题意得， 即对称轴是直线， 故答案为：直线． 13．若二次函数的图象开口向下，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质， 根据当时，二次函数的图象开口向下可得答案 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 解得 故答案为： 14．若点在抛物线上，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，代入计算即可． 根据点 在抛物线 上，则其坐标满足抛物线方程，代入 即可求出 ． 【详解】解：因为点在抛物线上， 故将 代入抛物线方程 ，得： 故 ． 故答案为：． 15．如果的图像是抛物线，那么_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质与图像，根据二次函数的性质得出，且，再求解即可． 【详解】解：∵的图像是抛物线， ∴且， 解得：； 故答案为： 16．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 17．若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 18．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．分，时，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 【详解】解：当时，抛物线开口向下，此时抛物线与线段没有交点，不合题意； 当时，若抛物线与线段只有一个公共点，如图所示： ∴由图象可知：需满足当时，且当时，， 即， 解得， 故答案为． 三、解答题 19．如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0； (2)小 【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 先列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）列表： x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： 二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0． （2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小． 20．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，对称轴为轴，顶点坐标为 (2) 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． 21．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 【答案】(1)点，点． (2)27 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点的坐标 （2）根据点A、B的坐标直接求出三角形的面积． 【详解】（1） 轴，， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 点、关于轴对称， 点． （2） 点，点． ， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征． 22．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)或x>2 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题： （1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答； （2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， 得 则， 解得，， 所以，； （2）解：由（1）知直线与抛物线交于，， 故结合图象，当时，则或x>2， 所以当时的取值范围为或x>2． 23．如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．已知桥洞的拱形是抛物线． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． (2)一艘宽为，高出水面的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，以拱桥顶部中心为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，由船的宽度为，从而可令，求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，如图，拱桥顶部中心为坐标原点建立坐标系， ，，顶点． 设， 把代入上式， ， ． 该抛物线的函数表达式为； （2）如图所示，由题意，船的宽度为 令，则． ∴P（3，-），H（3，-4） ∴PH=- 这艘船不能从该桥下通过． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 25．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)画函数图象见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或． 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； （2）解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $