暑期预习讲义（第10讲）一元一次方程的实际应用（知识梳理+题型精析+同步自测）2026-2027学年七年级数学上册（苏科版 ）

暑期预习讲义（第10讲）——一元一次方程的实际应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课前课本自主预习填空 2 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 2 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 3 【题型 2】 工程问题（高频基础） 4 【题型 3】 行程问题（核心必考） 5 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 5 三.经典题型精析（巩固提升） 6 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 6 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 7 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 8 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 8 四.同步自测 9 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 9 （二）填空题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 10 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 11 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握列方程解应用题的通用步骤：审、设、列、解、验、答 （2）预习五大基础题型：和差倍比、行程问题、利润问题、工程问题、计费问题 （3）学会找题目等量关系，突破应用题难点 （4）重难点：等量关系梳理、未知数合理设定、实际问题检验 2. 课前课本自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心知识点： 1. 列一元一次方程解应用题的六大基本步骤：审、______、列、______、______、答。 2. 审题的核心是找准题目中的________，这是列方程的依据。 3. 设未知数分为直接设元和间接设元，优先选择______设元，复杂题型选择______设元。 4. 行程问题核心公式：路程 =______；顺水速度 = 船速+水速；逆水速度 =______。 5. 工程问题核心公式：工作总量 =_____ × _____，通常将整体工程总量看作_______。 6. 利润问题核心公式：利润=售价 - ________；利润率= ；售价=原价×折扣。 7. 和差倍比问题：大数=小数 ± ________；总量 = 各部分量________。 答案：1. 设；解；验 2. 等量关系 3. 直接；间接 4. 速度×时间；船速-水速 5. 工作效率；工作时间；1 6. 成本；利润 7. 差量；之和 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 1：审（审题）读懂题意，区分已知量、未知量，梳理题目数量关系，找准不变量、等量关系，这是解题关键。 2：设（设未知数）直接设元：求什么设什么，适用于简单题型；间接设元：不直接设所求量，设中间变量，简化方程，适用于复杂倍数、行程题型。 3：列（列方程）根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出一元一次方程。 4：解（解方程）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤规范解方程。 5：验（检验）双重检验：①检验方程解是否正确；②检验结果是否符合实际意义（人数、长度、时间不能为负数、小数不合理值）。 6：答（作答）规范书写答案，对应题目问题，完整作答。 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 （1）和差倍比问题（基础必考） 和=大数+小数；差=大数-小数； 几倍量=倍量×倍数；根据“多、少、倍、共、剩余”找等量。 （2）行程问题 基础公式： 相遇问题：路程和=速度和×相遇时间 追及问题：路程差=速度差×追及时间 （3）工程问题 默认工作总量为1，单人效率=； 合作效率=各单人效率之和；合作总量=合作效率×合作时间。 （4）销售利润问题 利润=售价-进价（成本）；售价=标价×；利润率=；售价=进价×（1+利润率）。 （5）分段计费问题 总费用=基础费用+超出部分费用；分段计算、整体相加，找准分界点是核心。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 【例题1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）随着科技的不断发展，某品牌苹果采摘机器人的一个机械手平均1小时可采摘480个苹果，已知工人平均1小时可以采摘720个苹果，若该机器人与采摘工人同时工作，可比工人多采摘720个苹果，则该机器人搭载机械手的个数为________个． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． （1）甲、乙两车间各有多少人？ （2）若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【题型 2】 工程问题（高频基础） 【例题2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． （1）求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ （2）完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 【变式3】（2025·浙江金华·模拟预测）课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． （1）请你把题目补充完整并作出解答； （2）若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 【题型 3】 行程问题（核心必考） 【例题3】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． （1）若相向而行，出发后多少小时相遇？ （2）若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）小莉和同学假期去森林公园游玩，如果在溪边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，行进速度约4千米/小时，到B地后原路返回，行进速度增加，回到A码头比去时少花20分钟，求A、B两地之间的路程是______千米． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）列方程解应用题：已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米，甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲． （1）求甲的速度； （2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米． 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 【例题4】（25-26六年级下·山东威海·期末）某商家购进一款工艺品，将这款工艺品的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每件工艺品仍获利元，求这款工艺品的成本价． 分析：设这款工艺品每件的成本价为元，依题意可得 （1）请你依据分析，在横线上填写代数式：① ；② ；③ ． （2）请你求出这款工艺品的成本价． 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的一件成本是_____元． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： （1）买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ （2）如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 【例题5】（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 【例题6】（25-26六年级下·山东威海·期末）某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【变式1】（2026·山西吕梁·一模）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期中）学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 （1）参观两个景点的学生各有多少名？ （2）若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 【例题7】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【变式3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． （1）小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ （2）小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 【例题8】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知数轴上的点表示的数是8，点是数轴上在左侧的一点，且两点之间的距离为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负方向运动，设运动时间为秒． （1）点在数轴上表示的数是_________________； （2）请求出当为何值时，？ 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 【变式3】（25-26七年级上·山东·期末）如图，已知线段，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，设运动时间为t秒． （1）当时，求线段的长度； （2）当时，求t的值． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 4．（25-26七年级下·山西临汾·期末）将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 （二）填空题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 7．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））数轴上点M、N对应的数分别为2和5，点P从M出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时点Q从N出发以每秒2个单位的速度向右运动，则经过______秒后，P、Q两点之间的距离为9． 8．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 9．（25-26六年级下·山东烟台·期末）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． （1）求乙队还需要完成任务的天数． （2）若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 11．（25-26六年级下·山东泰安·期末）列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 12．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． （1）如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． （2）甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ （3）因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 13．（25-26七年级上·福建漳州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． （1）若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ （2）若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． （3）若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： （1）某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ （2）某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价． 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题． 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六． 问：人数，鸡价各几何？ 16．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． （1）若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ （2）若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 17．（25-26七年级下·河南南阳·期中）【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． （1）若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ （2）现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． （3）请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——一元一次方程的实际应用（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2. 课前课本自主预习填空 2 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 2 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 3 【题型 2】 工程问题（高频基础） 5 【题型 3】 行程问题（核心必考） 8 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 10 三.经典题型精析（巩固提升） 12 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 13 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 15 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 17 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 19 四.同步自测 22 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 22 （二）填空题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 24 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 27 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）掌握列方程解应用题的通用步骤：审、设、列、解、验、答 （2）预习五大基础题型：和差倍比、行程问题、利润问题、工程问题、计费问题 （3）学会找题目等量关系，突破应用题难点 （4）重难点：等量关系梳理、未知数合理设定、实际问题检验 2. 课前课本自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心知识点： 1. 列一元一次方程解应用题的六大基本步骤：审、______、列、______、______、答。 2. 审题的核心是找准题目中的________，这是列方程的依据。 3. 设未知数分为直接设元和间接设元，优先选择______设元，复杂题型选择______设元。 4. 行程问题核心公式：路程 =______；顺水速度 = 船速+水速；逆水速度 =______。 5. 工程问题核心公式：工作总量 =_____ × _____，通常将整体工程总量看作_______。 6. 利润问题核心公式：利润=售价 - ________；利润率= ；售价=原价×折扣。 7. 和差倍比问题：大数=小数 ± ________；总量 = 各部分量________。 答案：1. 设；解；验 2. 等量关系 3. 直接；间接 4. 速度×时间；船速-水速 5. 工作效率；工作时间；1 6. 成本；利润 7. 差量；之和 【知识点一】应用题标准解题六大步骤（必考规范） 1：审（审题）读懂题意，区分已知量、未知量，梳理题目数量关系，找准不变量、等量关系，这是解题关键。 2：设（设未知数）直接设元：求什么设什么，适用于简单题型；间接设元：不直接设所求量，设中间变量，简化方程，适用于复杂倍数、行程题型。 3：列（列方程）根据等量关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出一元一次方程。 4：解（解方程）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤规范解方程。 5：验（检验）双重检验：①检验方程解是否正确；②检验结果是否符合实际意义（人数、长度、时间不能为负数、小数不合理值）。 6：答（作答）规范书写答案，对应题目问题，完整作答。 【知识点二】五大必考应用题模型公式汇总 （1）和差倍比问题（基础必考） 和=大数+小数；差=大数-小数； 几倍量=倍量×倍数；根据“多、少、倍、共、剩余”找等量。 （2）行程问题 基础公式： 相遇问题：路程和=速度和×相遇时间 追及问题：路程差=速度差×追及时间 （3）工程问题 默认工作总量为1，单人效率=； 合作效率=各单人效率之和；合作总量=合作效率×合作时间。 （4）销售利润问题 利润=售价-进价（成本）；售价=标价×；利润率=；售价=进价×（1+利润率）。 （5）分段计费问题 总费用=基础费用+超出部分费用；分段计算、整体相加，找准分界点是核心。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 和差倍比问题（基础入门） 【例题1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱6组；双人合唱12组 解：本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x组，因为总组数是18组，所以单人独唱的组数就是组，再根据单人独唱每组1人，双人合唱每组2人，以及总共有30名学生参加比赛这一条件，列出方程求解． 【分析】解：设双人合唱有x组，则单人独唱有组，根据人数关系可列方程： ， ， ， 将代入，可得单人独唱的组数为（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）某小区年拥有新能源汽车的家庭有户，_____．该小区年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）． A．比年的多 B．年的比年的少 C．比年的少 D．年的比年的多 【答案】A 【分析】设该小区年拥有新能源汽车的家庭有户，根据方程进行分析即可得到答案． 解：根据方程，可知年拥有新能源汽车的家庭数量比年拥有新能源汽车的家庭数量多． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）随着科技的不断发展，某品牌苹果采摘机器人的一个机械手平均1小时可采摘480个苹果，已知工人平均1小时可以采摘720个苹果，若该机器人与采摘工人同时工作，可比工人多采摘720个苹果，则该机器人搭载机械手的个数为________个． 【答案】 【分析】设该机器人搭载机械手的个数为个，根据该机器人与采摘工人同时工作，可比工人多采摘720个苹果，列一元一次方程求解即可． 解：设该机器人搭载机械手的个数为个， 根据题意列方程得， 解得， 则该机器人搭载机械手的个数为个． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． （1）甲、乙两车间各有多少人？ （2）若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】（1）甲车间有33人，乙车间有17人；（2）应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 解：（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【题型 2】 工程问题（高频基础） 【例题2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． （1）求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ （2）完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 【答案】（1）师徒两人合作检修的时间为3小时；（2）师傅应分得的报酬为元；徒弟应分得报酬为元 【分析】（1）设师徒两人合作检修的时间小时，则徒弟单独检修的时间为小时，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （2）分别求出师傅和徒弟的报酬即可． 解：（1）解：设师徒两人合作检修的时间为小时，则徒弟单独检修的时间为小时， 依题意，得 ， 解这个方程，得， 当时，， 答：师徒两人合作检修的时间为3小时． （2）解：师傅应分得的报酬为：（元） 徒弟应分得报酬为：（元） 【变式1】（2026·河北邯郸·三模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解． 解：将注满水池的总工作量看作单位1， 甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1； 乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为； 甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程： ， 对式子化简求解： ， ． 【变式2】（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 【答案】 【分析】先将李师傅单独完成订单的天数看作单位，根据林师傅的工作时间求出李师傅单独完成需要的天数，再将工作总量看作单位，列出方程，即可求解． 解：李师傅单独完成订单需要：（天） 设两人合作天能完成这个订单，则 ， 解得． 即如果两人合作天能完成这个订单． 【变式3】（2025·浙江金华·模拟预测）课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需要制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天，”就因校长叫他听一个电话而离开了教室． （1）请你把题目补充完整并作出解答； （2）若先由徒弟做天，再两人合作，完成任务后共得到报酬元，如果按各人的工作量计算报酬，那么应如何分配？ 【答案】（1）见分析；（2）师傅徒弟每人均应得元 【分析】（1）补充“两人合作需要几天完成？”，设需要天可以完成，列出一元一次方程，进而求出的值； （2）徒弟先做一天，可求出第一天徒弟做了总工作量的，剩下了由徒弟与师傅共同完成，设徒弟师傅还需天完成剩余的，列出一元一次方程，进而求出的值，然后按工作量比例分配报酬即可． 解：（1）解：补充：问两人合作需要几天完成？ 设两人合作需天完成， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天， ∴， 解得：， 答：两人合作需要天可完成． （2）解：设徒弟先做天后，师傅徒弟一起还要天能完成剩余工作量， ∵师傅单独完成需天，徒弟单独完成需天 ∴， 解得：， ∴徒弟共完成总工作量的，报酬为（元）； 师傅完成总工作量的，报酬为（元）． 答：师傅徒弟每人均应得元． 【题型 3】 行程问题（核心必考） 【例题3】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出． （1）若相向而行，出发后多少小时相遇？ （2）若相背而行，多少小时后，两车相距800千米 【答案】（1）若相向而行，出发后3小时相遇；（2）若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【分析】（1）设出发后x小时相遇，根据题意易得，然后进行求解即可； （2）设y小时后两车相距800千米，根据题意易得，然后进行求解即可． 解：（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得： ． 解得：； 答：若相向而行，出发后3小时相遇． （2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得： ． 解得： 答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 【变式2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）小莉和同学假期去森林公园游玩，如果在溪边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，行进速度约4千米/小时，到B地后原路返回，行进速度增加，回到A码头比去时少花20分钟，求A、B两地之间的路程是______千米． 【答案】4 【分析】设A、B两地之间的路程为千米，根据返回A码头比去时少花20分钟的等量关系，结合时间等于路程除以速度，列出一元一次方程求解即可． 解：设A、B两地之间的路程为千米，统一单位得分钟小时，返回时的速度为 千米/时，依题意列方程，得 去分母，得 ， 解得． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）列方程解应用题：已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米，甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲． （1）求甲的速度； （2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米． 【答案】（1）甲的速度为每小时10千米；（2）乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙两人相距6千米 【分析】（1）设甲速度为x千米/小时，则乙速度为千米/小时，根据题意列方程解决即可； （2）设乙出发后t小时甲乙相距6千米，则甲出发小时，分两种情况：相遇前或相遇后，分别列方程解决即可； 解：（1）解：设甲速度为x千米/小时，则乙速度为千米/小时， 由题意可列方程：， 解得：， 所以，甲速度为10千米/时； （2）解：由（1）可知，甲速度为10千米/小时，则乙速度为千米/小时， 乙到达B地所用时间小时， 设乙出发后t小时甲乙相距6千米，则甲出发小时， 相遇前：甲比乙多行驶6千米，可列方程， 解得：，满足题意， 相遇后：乙比甲多行驶6千米，可列方程， 解得，满足题意， 综上所述，乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙相距6千米． 【题型 4】 销售利润问题（期末重点） 【例题4】（25-26六年级下·山东威海·期末）某商家购进一款工艺品，将这款工艺品的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每件工艺品仍获利元，求这款工艺品的成本价． 分析：设这款工艺品每件的成本价为元，依题意可得 （1）请你依据分析，在横线上填写代数式：① ；② ；③ ． （2）请你求出这款工艺品的成本价． 【答案】（1）①；②；③；（2）这款工艺品的成本价为元 【分析】设这款工艺品每件的成本价为元，先分别表示出标价、售价，从而得到利润为，最后根据每件工艺品仍获利元，列方程求解即可． 解：（1）解：设这款工艺品每件的成本价为元， 将这款工艺品的成本价提价后标价，故标价为， 又以七五折优惠卖出，故售价为， 故利润为； （2）根据题意，得， 解得， 答：这款工艺品的成本价为元． 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）某礼品店以60元/套的价格购进一批吉祥物摆件，为吸引顾客，该礼品店针对这批摆件推出“八八折后再减8元”的促销活动．设这批摆件的标价为元/套，要使每套摆件仍能获利18元，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“获利=实际售价-成本”． 解：设这批摆件的标价为元/套， ∵促销活动为八八折后再减8元， ∴实际售价为元， ∵每套进价为60元，要求获利18元，且获利等于实际售价减去进价， ∴列方程得． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的一件成本是_____元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程解决实际利润问题，先计算出减价的金额和减价后订购的总件数，再根据“降价后获得的总利润比原来多100元”建立等量关系，列方程求解即可得到商品的成本． 解：根据题意，计算得减价金额为：（元） 因为每降价1元多订购4件，所以多订购的件数为：（件） 降价后一共订购的件数为：（件） 设这种商品的一件成本是元， 根据利润关系列方程得： 解得 答：这种商品的一件成本是70元． 【变式3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： （1）买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ （2）如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 【答案】（1）买元的书办卡和不办卡费用相同；（2）她需要付元 【分析】（1）设买元的书办卡和不办卡的费用相同，根据题意列方程求解即可； （2）假设小颖没有办卡，她需要付元，根据题意列方程求解即可． 解：（1）解：设买元的书办卡和不办卡的费用相同， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 答：买元的书办卡和不办卡费用相同； （2）解：假设小颖没有办卡，她需要付元， 根据题意可得：， 解得：， 答：如果小颖没有办卡，她需要付元． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 5】 配套问题（拔高题型） 【例题5】（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】25人生产大齿轮，60人生产小齿轮 【分析】设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“ 2 个大齿轮和 3 个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可． 解：设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮． 根据题意，得， 解得：， ， 答：安排 25 名工人加工大齿轮，则安排 60 名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目已设名工人生产口罩面，剩余工人生产耳绳，根据“一个口罩面配两个耳绳”可知耳绳总数量是口罩面总数量的2倍，据此列方程即可． 解：设安排名工人生产口罩面，则生产耳绳的工人有名，可得每天生产口罩面总数量为个，每天生产耳绳总数量为个， ∵一个口罩面需要配两个耳绳，刚好配套时，耳绳总数量等于2倍口罩面总数量， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） 【答案】 【分析】设安排名工人加工茶壶，根据总工人数量表示出加工茶杯的工人数，根据配套要求得到茶杯总数量与茶壶总数量的等量关系，列一元一次方程求解即可． 解：设该车间应安排名工人加工茶壶，则安排名工人加工茶杯， 根据题意列方程得：， 解得， ∴应安排名工人加工茶壶． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】（1）男生27人，女生23人；（2）2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 解：（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【题型 6】 方案问题（拔高题型） 【例题6】（25-26六年级下·山东威海·期末）某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【答案】王强购买A类票4张，购买C类票6张 【分析】设购买A类票x张，则购买C类票张，根据题意列方程即可解答． 解：设购买A类票x张，则购买C类票张． 根据题意，得． 解得． 则． 答：王强购买A类票4张，购买C类票6张． 【变式1】（2026·山西吕梁·一模）某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【答案】360元或405元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设所购书的原价为x元，由于付款金额为324元超过200元，因此原价一定大于200元，需根据优惠方案②和③两种情况，分别列方程求解并验证是否符合条件即可解答． 解：设所购书的原价为x元． 当时，享受九折优惠，即，解得：； 经检验，360在200和400之间，符合条件． 当时，享受八折优惠，即，解得：， 经检验，405大于400，符合条件． 因此，所购书的原价为360元或405元． 故答案为：360元或405元． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期中）学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 （1）参观两个景点的学生各有多少名？ （2）若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【答案】（1）参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名；（2）能节省票款600元. 【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数； （2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款． 解：（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有名， 根据题意列方程得： 解得：， （名） 答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名； （2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为 （元）， 节省票款为（元）， 答：能节省票款600元． 【题型 7】 分段计费问题（拔高题型） 【例题7】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？ 【答案】度 【分析】先分别求出当用电150度时的费用，从而得出李明家上月用电超过150度，设李明家上月用电x度，根据电费列出方程求解即可． 解：当用电150度时，费用为（元）， 因为， 故李明家上月用电超过150度， 设李明家上月用电x度， 则， 解得， 答：李明家上月用电174度． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． 【变式2】（2026·福建泉州·二模）节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题目条件判断小明家水费符合第一、第二档的分段计价规则，再根据“总水费第一档水费第二档水费”的等量关系列出关于的一元一次方程，最后解方程得到的值． 解：∵小明家上月用水未超过， ∴水费仅涉及第一档和第二档计价： 第一档用水量为， 第二档用水量为， 结合总水费列一元一次方程：， 整理得：， 解得． 【变式3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了倡导节约用水，某市对居民用水实行阶梯水价，具体标准如下： 每户每月用水量不超过20吨的部分，按每吨元收费； 超过20吨但不超过30吨的部分，按每吨元收费； 超过30吨的部分，按每吨元收费． （1）小李家3月份用水28吨，应缴水费多少元？ （2）小李家4月份缴水费87元，求他家4月份用水多少吨？ 【答案】（1）78元；（2）吨 【分析】（1）因为已知用水量为28吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过20吨时的最高水费，每月用水量不超过30吨时的最高水费 ，推出小李家用水量超过30吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 解：（1）解：（元）． 答：小李家3月份用水28吨，应缴水费78元． （2）解：当每月用水量不超过20吨，最高水费为（元）， 当每月用水量不超过30吨，最高水费 为（元）， ∵小李家4月份缴水费87元，， ∴小李家用水量超过30吨， 设小李家用水量为x吨， 则， 解得． 答：4月份用水吨． 【题型 8】 动点问题（拔高题型） 【例题8】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知数轴上的点表示的数是8，点是数轴上在左侧的一点，且两点之间的距离为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负方向运动，设运动时间为秒． （1）点在数轴上表示的数是_________________； （2）请求出当为何值时，？ 【答案】（1）；（2）当时， 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据数轴上两点距离及点表示的数是8进行求解即可； （2）由题意易得点P在数轴上表示的数为，，则有，然后可得，进而求解即可． 解：（1）解：由题意得：， ∵点表示的数是8， ∴点在数轴上表示的数是； 故答案为； （2）解：由题意可得：点P在数轴上表示的数为，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即当时，． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．由题意可知点P在上，根据题意可列出关于t的等式，解出t即可． 解：根据题意可知点P在上，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：． 故当t的值为6时，点P追上点Q． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是数轴上的两点，点表示，点表示10．若动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动，它们的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒．设，的运动时间为，则当它们相遇时，___________秒． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，根据路程、速度和时间的关系，结合所走的路程来建立方程求解． 解：动点，的速度分别为5个单位/秒和3个单位/秒， 当它们相遇时，，运动的路程分别为和， 点表示，点表示10， 之间的距离为， 动点，同时分别从两点出发，沿数轴正方向移动， 比多走的路程就是， ， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东·期末）如图，已知线段，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，设运动时间为t秒． （1）当时，求线段的长度； （2）当时，求t的值． 【答案】（1）；（2）3或5 【分析】本题考查了线段的和差关系，一元一次方程的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合运动速度以及运动时间得出，，再结合进行列式计算，即可作答． （2）先表达，再进行分类讨论，即可作答． 解：（1）解：依题意，当时，， ∵， ∴ （2）解：∵点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，设运动时间为t秒． ∴， 分两种情况： ①相遇前，，解得， ②相遇后，，解得， 综上，t的值为3或5． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 解：∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． 2．（25-26七年级上·河北沧州·期末）某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（    ） A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离 【答案】B 【分析】题目已定义x为时间，解一元一次方程得到x的值，结合变量定义即可判断解的实际意义． 解：原方程为， 解得：． ∵题目中明确x代表时间（单位：分钟）， ∴该方程的解的实际意义是对应匀速慢跑的训练时间． 4．（25-26七年级下·山西临汾·期末）将整数1至2026按一定规律排列如下表所示： 平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（） A．63 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】设连续的三个数为，，，再结合数表限制条件分析和的可能取值． 解：设连续的三个数为，，， 则， A．，，但21右边没有其它的数，故不符合题意； B．，，，674是97行左起第2个数，符合题意； C．，，故不符合题意； D．，，故不符合题意． （二）填空题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分） 5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为，利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出，即可知道第一名的分数. 解：四支球队进行单循环比赛， 总比赛场为（场）． 一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；比分是，则胜队得2分，负队得1分, 每场比赛无论比分如何总得分均为3分， 所有比赛总得分为18分. 比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为，，， ， ， 第一名得分是. 6．（25-26六年级下·山东泰安·期末）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”．中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．小明在探究“幻方”时，提出一个问题：如图是三阶幻方，满足每行，每列，每条对角线上三个数之和都为，则______． 【答案】 【分析】先设九宫格，则根据题意得“幻方”和为，由得到，再根据，求出，最后根据，即可求解． 解：设九宫格如下： “幻方”和为， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 7．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））数轴上点M、N对应的数分别为2和5，点P从M出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时点Q从N出发以每秒2个单位的速度向右运动，则经过______秒后，P、Q两点之间的距离为9． 【答案】2 【分析】设经过秒后，P、Q两点之间的距离为9，列出方程进行求解即可. 解：设经过秒后，P、Q两点之间的距离为9，由题意，得， 解得； 故经过秒后，P、Q两点之间的距离为9. 8．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 9．（25-26六年级下·山东烟台·期末）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． 【答案】 【分析】由于总人数不变，根据题意列方程即可． 解：设有辆车，五人同车三车空，四人同车九步行，总人数是不变的， ． （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． （1）求乙队还需要完成任务的天数． （2）若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 【答案】（1）5天；（2）甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意列方程，再解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 解：（1）解：设乙队还需要完成任务的天数为天， 根据题意得，， 解得． 答：乙队还需要完成任务的天数为5天． （2）解：根据题意得，甲队所得报酬为（万元）， 乙队所得报酬为（万元）． 答：甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元． 11．（25-26六年级下·山东泰安·期末）列方程解决下列问题： 在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共24个，且描金琉璃瓶的数量是内画瓶数量的2倍，该校科技馆准备了900元，请通过计算说明这些钱够吗？ 【答案】（1）描金琉璃瓶40元，内画瓶30元；（2）钱够用 【分析】（1）设内画瓶单价元，琉璃瓶元，根据题意列出一元一次方程并求解，即可解答； （2）设内画瓶个，琉璃瓶个，依题意列出一元一次方程并求解，再求出总费用并比较大小，即可解答． 解：（1）解：设内画瓶单价元，琉璃瓶元， 依题意，得， ， ， ， ∴内画瓶30元，琉璃瓶（元）， 答：描金琉璃瓶每个40元，内画瓶每个30元． （2）解：设购买内画瓶个，购买琉璃瓶个， 依题意，得， 解得， ∴琉璃瓶（个）， 总费用：（元）， ∵， ∴钱够用． 12．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． （1）如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． （2）甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ （3）因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）710；（2）甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演；（3）最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 解：（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 13．（25-26七年级上·福建漳州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． （1）若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ （2）若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． （3）若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 【答案】（1）1月份应缴费用元；（2）2月份应缴费用元；（3）3月份用水量为35吨 【分析】（1）根据，利用前面的两个价目表计算即可； （2）使用三个价目表求解即可． （3）先计算用水为30吨时的费用，比较两个费用的大小，判断用水量，再根据价目表适时计算即可． 解：（1）解：1月份用水22吨，因为， 所以应缴费用：（元）． 答：1月份应缴费用元． （2）解：因为， 所以2月份应缴费用：元． 答：2月份应缴费用元． （3）解：因为当用水为30吨时，应缴费用元． 因为，所以3月份用水量超过30吨． 由（2）得 解得 答：3月份用水量为35吨． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）： （1）某班到离校的国家森林公园春游．先坐车，速度为，下车后以的速度步行到达目的地，共花了．问：他们步行了多少时间？ （2）某车间接到一批小家电组装任务，原计划每天组装36台，预计若干天完成．在组装了任务的三分之一后，调整工序，改进操作技术，工效提高了1倍，结果提前2天完成任务．求这次组装小家电的总台数． 【答案】（1）设步行时间为，所列方程为；（2）设组装小家电的总台数为台，所列方程为 【分析】（1）设步行时间为，根据“坐车路程+步行路程=总路程”列出方程； （2）设组装小家电的总台数为台，根据“原计划完成总任务所需的天数-实际完成总任务所需的天数=提前的天数（2天）”列出方程． 解：（1）略 （2）略 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价． 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题． 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六． 问：人数，鸡价各几何？ 【答案】共有9人，鸡价70钱 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程． 盈不足术：根据题意可知人数=盈余数与不足数的和÷两次每人出的钱数的差，进而计算鸡价即可； 方程的方法：设有x人，根据鸡价不变列方程求解即可． 解：盈不足术：人数=盈余数与不足数的和÷两次每人出的钱数的差， 鸡价； 方程的方法：设有x人，根据题意，得， 解得， ， 答：共有9人，鸡价70钱． 16．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． （1）若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ （2）若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】（1）购进、两种电视机各台；（2）应选择购进种电视机台，种电视机台 【分析】（1）设购进A种电视机台，则B种为台，列方程求解即可； （2）求出两种方案的利润，再比较即可． 解：（1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 17．（25-26七年级下·河南南阳·期中）【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． （1）若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ （2）现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． （3）请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【答案】（1）两人合作需要天完成全部广告牌；（2）师傅和徒弟应分得的报酬金额各为225元；（3）师傅与徒弟合作先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 【分析】（1）设两人合作需要x天完成，由题意得：，进一步求解即可； （2）设两人合作还需y天完成，由题意得：，再进一步求解即可； （3）设置合理问题即可. 解：（1）解：设两人合作需要x天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． （2）解：设两人合作还需y天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． （3）解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $