专题06字母表示数与代数式暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题06字母表示数与代数式暑假预习讲义 1.理解字母表示数的意义，能用字母表示数量、运算律、公式、实际问题中的等量关系。 2.掌握含字母式子的书写规范，分清数字与字母、字母与字母、带分数、除法形式的标准写法。 3.熟记代数式定义，能准确区分代数式与等式、不等式，判断式子是否为代数式。 4.会识别代数式中的单项式、多项式、整式相关基础元素，能准确读出代数式。 5.能根据文字语言转化写出对应代数式，也能把代数式翻译成文字描述，实现双向互化。 6.能结合行程、价格、图形周长面积等生活情境，列代数式表达数量关系。 7.整理书写格式、概念区分类易错题，标记文字转代数式难点，课堂重点听讲突破。 预习必备 知识点梳理 1.字母表示数的意义与作用 含字母式子标准书写规范 3.代数式的定义 4.代数式判定核心标准 5.文字语言与代数式双向转化 6.代数式实际应用场景 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.用字母表示数 2.列代数式 3.代数式的概念 4.代数式的书写方法 5.代数式表示的实际意义 6.由字母的值求代数式的值 7.由式子的值求代数式的值 8.程序流程图与代数式求值 9.代数式表示数.图形的规律 10.新定义运算 强化题型 解答题6题 知识点01:字母表示数的意义与作用 1.作用：字母可以代表任意有理数，实现从具体数字到抽象符号的转变；能简洁表示运算律、几何公式、实际问题里的未知量、变化量。 2.常见应用举例 (1)运算律：乘法分配律 a(b+c)=ab+ac (2)几何公式：长方形面积 S=ab，路程公式 s=vt (3)实际数量：单价 8 元，买m件，总花费8m 知识点02:含字母式子标准书写规范（扣分重点） 书写场景 错误写法 标准写法 要求说明 数字、字母相乘 a×5、a·5 5a 数字写在字母前，省略乘号 字母之间相乘 x×y xy 字母直接相连，不用乘号 系数为 1、-1 1m、-1n m、-n 数字 1 必须省略 带分数乘字母 2x x 带分数先化成假分数 除法关系表达 x÷4 统一写分数形式，不使用除号 加减式带单位 x+3千克 (x+3)千克 加减代数式整体加括号再 知识点03:代数式的定义 由数字、字母，通过加、减、乘、除、乘方运算符号连接而成的式子；单独一个数字、单独一个字母，也属于代数式。 示例：7、a、4x-1、、y2 均为代数式。 知识点04:代数式判定核心标准 1.式子中不能含有等号 “=”、不等号 “＞、＜、≥、≤、≠”； 2.仅由数字、字母、五种运算符号构成； 3.含等号的等式、含不等号的不等式，都不属于代数式。 4.代数式、等式、不等式区分对比表 类型 关键特征 举例 是否代数式 代数式 无等号、无不等号 3x+2、t、9 是 等式 带有等号\(=\) 2x=10、a+b=b+a 否 不等式 带有大小不等符号 x-1＜6 否 知识点05:文字语言与代数式双向转化（本节重难点） 1. 文字语言翻译成代数式 关键词对应运算：和 / 多→加；差 / 少→减；倍 / 积→乘；商 / 除→除；平方→乘方 解题要点：理清语句运算顺序，需要改变顺序时添加括号。 易混典型例题对比： a、b两数和的平方：(a+b)2（先加，再平方） a、b两数平方的和：a2+b2（先分别平方，再相加） 2. 代数式翻译成文字语言 例：3(x-2) 读作：x与 2 的差的 3 倍； m2-4n 读作：m的平方减去n的 4 倍。 知识点06:代数式实际应用场景 1.几何类：用字母表示图形边长、高，列出周长、面积代数式； 2.生活经济类：根据单价、数量、利润、收支关系列式； 3.行程类：结合速度、时间、路程写出对应代数式。 通用步骤：找准题目数量关系，严格遵循书写规范列式。 知识点07:高频易错点汇总 易错分类 错误实例 正确形式 失分根源 书写格式错误 a3、3x、x÷5 3a、x、 未牢记字母式子书写规范 概念判断混淆 认为2x=6、x＞3是代数式 2x=6、x＞3都不是代数式 分不清代数式、等式、不等式 列式括号遗漏 a+b2表示两数和的平方 (a+b)2才是两数和的平方 未理清运算先后顺序，漏加括号 单位书写疏漏 a-5米 (a-5)米 加减型代数式未整体加括号标注单位 题型1.用字母表示数 【典例】一天早晨的温度是b摄氏度，中午比早晨高6摄氏度，中午的温度是_____摄氏度． 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，明确题目当中“早晨的温度”和“中午的温度”两个量之间的基本关系：中午的温度早晨的温度中午比早晨高的温度，是解答此题的关键． 本题根据：中午的温度早晨的温度中午比早晨高的温度，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵早晨的温度是b摄氏度，中午比早晨高6摄氏度，中午的温度早晨的温度中午比早晨高的温度， ∴中午的温度是摄氏度， 故答案为：； 【跟踪专练1】如果，，，则_______． 【答案】16 【分析】本题考查基本数量关系的应用．用表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：16． 【跟踪专练2】四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列代数式：参加书法人数参加绘画的人数，不要写成了．由题意可知书法小组人数=（参加绘画的人数，依此列出算式即可作出选择． 【详解】解：根据题意，书法小组的人数为， 故选：C． 【跟踪专练3】北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，根据每天造雪量与造雪天数成反比例关系，得出,即可求解． 【详解】解：依题意，, 解得：， 故选：B． 题型2.列代数式 【典例】某文具厂通过线上销售定制学生书包，经过功能改进，利润由原来的每个8元增加到23元．该文具厂通过网上售出个学生书包，则它的利润增加了____元（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先计算单个书包利润增加的量，再乘以售出书包的总数量，即可得到总利润的增加量，得到含的代数式． 【详解】解：首先计算单个书包利润增加量： 售出个书包的总利润增加量为单个增加利润乘以销售量： 【跟踪专练1】如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积，求解即可； 【详解】解：根据题意，得零件的面积等于正方形的面积减去圆的面积， 故面积为； 【跟踪专练2】填空： （1）已知操场环形跑道一圈长，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为，乙的速度为，甲跑步超过乙一圈需_________s； （2）巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将巧克力糖和奶糖混合，这样得到的混合糖的平均单价是每千克_________元． 【答案】 【分析】（1）本题是同向追及行程问题，甲超过乙一圈时，两人的路程差为环形跑道一圈的长度，根据时间等于路程差除以速度差可求解； （2）本题考查混合糖平均单价的计算，先求出混合糖的总价和总质量，再根据平均单价等于总价除以总质量可求解． 【详解】解：（1）设甲跑步超过乙一圈需要，根据题意，得： ， 解得； （2）根据题意，巧克力糖的总价为元，奶糖的总价为元，因此混合糖的总总价为元，混合糖的总质量为， 因此平均单价为元每千克． 【跟踪专练3】现有张大长方形和张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 设小长方形的长和宽分别为，，分别根据两种摆放方式表示出大长方形的长，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【详解】解：设小长方形的长和宽分别为，， 由方式一可知大长方形的高为， 由方式二可知大长方形的高为， 可得， 化简得， 得， 故选A． 题型3.代数式的概念 【典例】在中，______不是代数式． 【答案】 【分析】本题考查代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不含等号或不等号，含有等号，是方程，因此不是代数式． 【详解】代数式是指用运算符号（如加、减、乘、除、乘方）连接数字和字母的表达式，不能包含关系符号（如等号或不等号）， 选项、、均符合代数式定义，而含有等号，表示方程，不是代数式， 故答案为． 【跟踪专练1】下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．根据代数式的定义进行解答即可． 【详解】解：2是代数式；是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是等式，不是代数式； 综上，代数式有4个． 故选：B． 【跟踪专练2】下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了代数式的，用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，据此进行判断即可求解，掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 题型4.代数式的书写方法 【典例】下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了代数式书写方法，解题关键是掌握代数式书写方法． 根据代数式书写方法，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解∶中数字1与字母相乘时，应省略1直接写成y，故①不符合书写要求； 中带分数应化为假分数，故②不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号省略、数字写在字母前面，且无带分数，故③符合书写要求； 中字母与分数相乘时应将数字写在前面，即写成，故④不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号应省略，即写成，故⑤不符合书写要求． 因此，符合书写要求的只有③． 故答案为：③． 【跟踪专练1】下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式书写需遵循以下规则：数字与数字相乘，不能将乘号简写为；带分数与字母相乘，需先化为假分数；数字与字母相乘时，数字写在字母前，字母与字母相乘可省略乘号．掌握代数式的基本书写规则即可判断出正误，得到答案． 【详解】解：A选项是数字与数字相乘，乘号简写错误，不符合书写要求． B选项是字母与字母相乘，省略乘号，书写格式正确，符合要求． C选项带分数未化为假分数，书写错误，不符合要求． D选项数字未写在字母前，书写错误，不符合要求． 【跟踪专练2】下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有__________．（填写序号即可） 【答案】③ 【分析】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案； 【详解】解：应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 书写规范符合题意， 应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 千克应写成千克，不符合题意， 故答案为：③． 【跟踪专练3】下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据代数式书写规则，逐一判断每个式子是否符合规范．本题主要考查了代数式的书写规则，熟练掌握“数字与字母相乘省略乘号、除法写成分数形式、带分数化为假分数”是解题的关键． 【详解】解：：符合（数字在前，乘号省略）； ：不符合（含乘号）； ：符合（乘号省略）； ：符合（单独的数是代数式）； ：不符合（带分数未化为假分数）； ：不符合（含除号）； ：符合（除法写成分数形式）； 米：不符合（含单位）． 故符合规则的有4个． 故选：C． 题型5.代数式表示的实际意义 【典例】已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【答案】3个足球的总价格 【详解】解：已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为3个足球的总价格． 【跟踪专练1】代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 【跟踪专练2】一群人，每3人一组多2人，每5人一组多3人，每7人一组多2人，则这群人至少有多少人？这类问题被称为“孙子问题”，在《孙子算经》中有类似记载，课本曾介绍过“逐步确定”的解决策略，请根据所学求出这群人至少有____________人． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，设总人数为人，则可得每3人一组时，有组，每5人一组时，有组，每7人一组时，有组，根据组数为正整数，即可求得这群人至少的人数． 【详解】解：设总人数为人，则可得每3人一组时，有组，每5人一组时，有组，每7人一组时，有组， 和的分子相同，且和为正整数， 为的倍数， 是正整数， 当时，， 此时组，符合题意， 所以这群人至少有人， 故答案为：． 【跟踪专练3】甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的意义，熟练掌握将文字叙述转化为代数式并进行对比是解题的关键．通过将甲、乙的叙述转化为代数式，与给定代数式 对比判断． 【详解】∵ 甲的叙述“x的2倍与y的和”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，甲错误； ∵ 乙的叙述“苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费”对应代数式为 ， 而给定代数式为 ， ∴ ，乙错误； ∴ 甲、乙都不正确， 故选D． 题型6.由字母的值求代数式的值 【典例】当时，代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：当时，． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】将给定的的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得， 即代数式的值为． 【跟踪专练2】若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 可得：，， 解得：，， 将，代入， 可得： ． 【跟踪专练3】已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】令，代入等式后等式右边恰好等于所求代数式，计算左边即可得到结果． 【详解】解：令，代入等式， ∴左边， 右边， ∴ ， 故选：B． 题型7.由式子的值求代数式的值 【典例】若，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：， ∴， ． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【跟踪专练2】若，则代数式的值为____． 【答案】 【分析】将所求代数式变形，得到含的式子，再利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练3】已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【分析】利用已知条件求出的值，然后代入时的表达式计算． 本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】∵当时，， 即， ∴. 当时，， ∵， ∴原式 故选：A． 题型8.程序流程图与代数式求值 【典例】按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，将代入，根据流程图，进行计算，直至结果为偶数，输出即可． 【详解】解：当时，为奇数，继续输入， 当时，为偶数，输出； 故答案为：8 【跟踪专练1】在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据程序求解即可． 【详解】解：当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求； 当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果相等，可以输出，符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求． 【跟踪专练2】按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【答案】18或 【分析】本题考查了代数式求值与流程图，理解图示，掌握代数式的计算是关键，根据题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：输入x的值是4，则输出y的值为1， ∵， ∴， 解得，， ∴输出y的值为8时， 第一种情况，，则，解得，，符合题意； 第二种情况，，则，解得，，符合题意； 故答案为：或 ． 【跟踪专练3】按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，把的值代入运算程序中进行计算，直到运算结果大于为止． 【详解】解：当时， 可得：, 当时， 可得：, 当时， 可得：, 输出的值为． 故选：C． 题型9.代数式表示数.图形的规律 【典例】观察下列算式：；；；；；若字母表示自然数，请你观察到的规律用含式子表示出来：__． 【答案】 【分析】观察算式可得，等式左边是两个相邻自然数的平方的差，等式右边是这两个相邻自然数的和，据此规律求解即可． 【详解】解：观察算式可得，等式左边是两个相邻自然数的平方的差，等式右边是这两个相邻自然数的和， 若字母表示自然数，则有：． 【跟踪专练1】在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 【答案】D 【详解】解：日历中的数字规律是：同一行中后面的数字比前面大；同一列中下面的数字比上面大． 用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则左上角数字为，故A选项错误； 左下角的数字为，故B选项错误； 右下角的数字为，故C选项错误； 综上所述方框中的四个数字和为，故D选项正确． 【跟踪专练2】将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段．剪4刀，绳子变为_______ 段，剪2026刀，绳子变为_________ 段． 【答案】 13 6079 【分析】本题考查了规律型—图形变化类，根据题意得出剪n刀，绳子变为段，即可求解． 【详解】解：由题意可得： 剪1刀，绳子变为4段， 剪2刀，绳子变为7段， 剪3刀，绳子变为10段， 剪4刀，绳子变为13段， ⋯⋯， 剪n刀，绳子变为段， ∴剪2026刀，则绳子变为段， 【跟踪专练3】观察：，，，，……按照此排列规律，第个式子应该是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从符号、系数、字母部分找规律，合并后即可得到第n个式子． 【详解】解：根据题意可得字母规律：所有项都含因式，，且的次数为1，的次数等于项数，则字母部分为； 符号规律为：为奇数时符号为正，为偶数时符号为负； 系数绝对值规律为：第项系数的绝对值是； ∴系数可整理为； 因此第个式子为． 题型10.新定义运算 【典例】规定符号表示两个数中较小的一个，符号表示两个数中较大的一个．例如，．若，则代数式的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据定义计算，，又因为，代入方程得到关系式，再求代数式的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】对任意两个有理数，定义如下运算：，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】③ 【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值．根据新运算定义，逐项计算并判断结论的正确性． 【详解】解：对于①，，错误； 对于②，，当时，错误； 对于③，，，故，正确； 对于④，，，由得或，即或，故不一定成立，错误． 故答案为：③． 【跟踪专练2】定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为_______． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有_______． 【答案】 5 100，125，200，250，500 【分析】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题． （1）由奇妙数”的定义，分别对3、5、6三个数进行判断即可； （2）由题意，根据“奇妙数”的定义通过分析，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，把3写在1的右边，得13，写在2的右边得23，……由于13、23、33，都不能被3整除，故3不是“奇妙数”；把6写在1的右边，得16，写在2的右边得26，……由于16、26，都不能被6整除，故6不是“奇妙数”；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是“奇妙数”； 故答案为：5； （2）根据题意，这个三位数的“奇妙数”为， 则， ∴为正整数， ∵k为正整数， ∴为正整数， ∴y的可能值为：100，125，200，250，500； 故答案为：100，125，200，250，500． 解答题 1．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减和列代数式． （1）根据有理数的加减求出结果进行判断即可； （2）利用绝对值求出走过的路程，再利用乘以，即可求解． 【详解】（1）解：． 答：出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边； （2）解： (升) 答：这天下午汽车共耗油升． 2．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 4.5元/个 不超过100个时，20元/个；超过100个时，则超出部分打八折 设需要定制x份奖品． (1)如果选择乙供应商，当x不超过100时，应付总费用为多少元？当x超过100时，应付总费用多少元？（用含x的式子表示，结果需化简） (2)如果需要定制50份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？ 【答案】(1)元；元 (2)选择乙供应商比较省钱 【分析】本题考查代数式的实际应用，关键是要读懂题意，弄清其中的数量关系． （1）分别计算纪念徽章制作费和纪念品费用，然后把两者费用相加，对于纪念品费用，按照和两种情况分别计算； （2）根据（1）的结论及题目给出方案，分别计算50份奖品时两家供应商的费用，然后通过比较选择便宜的一家即可． 【详解】（1）解：如果选择乙供应商，当时，应付总费用为：（元）． 当时，应付总费用为：（元）． （2）解：当需要定制50份奖品时， 如果选择甲供应商，应付总费用为（元）， 如果选择乙供应商，应付总费用为（元）， 因为，所以定制50份奖品时，选择乙供应商比较省钱． 3．某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） (3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 【答案】(1) (2)82个 (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）用班级数乘以每个班级分配的数量，再加上10即可得到答案； （2）把代入（1）所求的式子中计算求解即可． （3）数字4表示：每个班级分配到的篮球个数；数字10表示：学校额外留存的篮球个数． 【详解】（1）解：学校需要购置的篮球总数为：个． （2）解：当时， ． 答：需要购置82个篮球． （3）解：数字4表示：每个班级分配到的篮球个数（或每班分配4个篮球）； 数字10表示：学校额外留存的篮球个数（或学校另留10个篮球作为公用）． 4．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 5．下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂流程图是解题关键． （1）根据示意图中的运算关系列出代数式即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：图中输出的式子为． （2）解：当输入，时， 则输出的数是 ． 6．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概括． （1）通过观察前4个等式，找到第个等式分母的两个数为和，代入即可写出第6个等式； （2）根据前几个等式的共性，用含的代数式表示出第个等式的分母及裂项形式； （3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和． 【详解】（1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ； （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06字母表示数与代数式暑假预习讲义 1.理解字母表示数的意义，能用字母表示数量、运算律、公式、实际问题中的等量关系。 2.掌握含字母式子的书写规范，分清数字与字母、字母与字母、带分数、除法形式的标准写法。 3.熟记代数式定义，能准确区分代数式与等式、不等式，判断式子是否为代数式。 4.会识别代数式中的单项式、多项式、整式相关基础元素，能准确读出代数式。 5.能根据文字语言转化写出对应代数式，也能把代数式翻译成文字描述，实现双向互化。 6.能结合行程、价格、图形周长面积等生活情境，列代数式表达数量关系。 7.整理书写格式、概念区分类易错题，标记文字转代数式难点，课堂重点听讲突破。 预习必备 知识点梳理 1.字母表示数的意义与作用 含字母式子标准书写规范 3.代数式的定义 4.代数式判定核心标准 5.文字语言与代数式双向转化 6.代数式实际应用场景 7.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.用字母表示数 2.列代数式 3.代数式的概念 4.代数式的书写方法 5.代数式表示的实际意义 6.由字母的值求代数式的值 7.由式子的值求代数式的值 8.程序流程图与代数式求值 9.代数式表示数.图形的规律 10.新定义运算 强化题型 解答题6题 知识点01:字母表示数的意义与作用 1.作用：字母可以代表任意有理数，实现从具体数字到抽象符号的转变；能简洁表示运算律、几何公式、实际问题里的未知量、变化量。 2.常见应用举例 (1)运算律：乘法分配律 a(b+c)=ab+ac (2)几何公式：长方形面积 S=ab，路程公式 s=vt (3)实际数量：单价 8 元，买m件，总花费8m 知识点02:含字母式子标准书写规范（扣分重点） 书写场景 错误写法 标准写法 要求说明 数字、字母相乘 a×5、a·5 5a 数字写在字母前，省略乘号 字母之间相乘 x×y xy 字母直接相连，不用乘号 系数为 1、-1 1m、-1n m、-n 数字 1 必须省略 带分数乘字母 2x x 带分数先化成假分数 除法关系表达 x÷4 统一写分数形式，不使用除号 加减式带单位 x+3千克 (x+3)千克 加减代数式整体加括号再 知识点03:代数式的定义 由数字、字母，通过加、减、乘、除、乘方运算符号连接而成的式子；单独一个数字、单独一个字母，也属于代数式。 示例：7、a、4x-1、、y2 均为代数式。 知识点04:代数式判定核心标准 1.式子中不能含有等号 “=”、不等号 “＞、＜、≥、≤、≠”； 2.仅由数字、字母、五种运算符号构成； 3.含等号的等式、含不等号的不等式，都不属于代数式。 4.代数式、等式、不等式区分对比表 类型 关键特征 举例 是否代数式 代数式 无等号、无不等号 3x+2、t、9 是 等式 带有等号\(=\) 2x=10、a+b=b+a 否 不等式 带有大小不等符号 x-1＜6 否 知识点05:文字语言与代数式双向转化（本节重难点） 1. 文字语言翻译成代数式 关键词对应运算：和 / 多→加；差 / 少→减；倍 / 积→乘；商 / 除→除；平方→乘方 解题要点：理清语句运算顺序，需要改变顺序时添加括号。 易混典型例题对比： a、b两数和的平方：(a+b)2（先加，再平方） a、b两数平方的和：a2+b2（先分别平方，再相加） 2. 代数式翻译成文字语言 例：3(x-2) 读作：x与 2 的差的 3 倍； m2-4n 读作：m的平方减去n的 4 倍。 知识点06:代数式实际应用场景 1.几何类：用字母表示图形边长、高，列出周长、面积代数式； 2.生活经济类：根据单价、数量、利润、收支关系列式； 3.行程类：结合速度、时间、路程写出对应代数式。 通用步骤：找准题目数量关系，严格遵循书写规范列式。 知识点07:高频易错点汇总 易错分类 错误实例 正确形式 失分根源 书写格式错误 a3、3x、x÷5 3a、x、 未牢记字母式子书写规范 概念判断混淆 认为2x=6、x＞3是代数式 2x=6、x＞3都不是代数式 分不清代数式、等式、不等式 列式括号遗漏 a+b2表示两数和的平方 (a+b)2才是两数和的平方 未理清运算先后顺序，漏加括号 单位书写疏漏 a-5米 (a-5)米 加减型代数式未整体加括号标注单位 题型1.用字母表示数 【典例】一天早晨的温度是b摄氏度，中午比早晨高6摄氏度，中午的温度是_____摄氏度． 【跟踪专练1】如果，，，则_______． 【跟踪专练2】四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 题型2.列代数式 【典例】某文具厂通过线上销售定制学生书包，经过功能改进，利润由原来的每个8元增加到23元．该文具厂通过网上售出个学生书包，则它的利润增加了____元（用含的代数式表示）． 【跟踪专练1】如图是某智能机器人的零件，则该零件的面积可以表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】填空： （1）已知操场环形跑道一圈长，甲、乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为，乙的速度为，甲跑步超过乙一圈需_________s； （2）巧克力糖的单价为每千克a元，奶糖的单价为每千克b元，将巧克力糖和奶糖混合，这样得到的混合糖的平均单价是每千克_________元． 【跟踪专练3】现有张大长方形和张相同的小长方形卡片，按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 题型3.代数式的概念 【典例】在中，______不是代数式． 【跟踪专练1】下列式子中：2，，，，，，代数式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练2】下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 【跟踪专练3】下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 题型4.代数式的书写方法 【典例】下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是________．（填序号） 【跟踪专练1】下列各式中，书写格式正确的是（   ） A． B． C． D．ab×5 【跟踪专练2】下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有__________．（填写序号即可） 【跟踪专练3】下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 题型5.代数式表示的实际意义 【典例】已知一个足球的价格是a元，则代数式“”表示的实际意义为_________． 【跟踪专练1】代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【跟踪专练2】一群人，每3人一组多2人，每5人一组多3人，每7人一组多2人，则这群人至少有多少人？这类问题被称为“孙子问题”，在《孙子算经》中有类似记载，课本曾介绍过“逐步确定”的解决策略，请根据所学求出这群人至少有____________人． 【跟踪专练3】甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 题型6.由字母的值求代数式的值 【典例】当时，代数式的值为__________． 【跟踪专练1】当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【跟踪专练2】若，则的值是________． 【跟踪专练3】已知，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 题型7.由式子的值求代数式的值 【典例】若，则的值为_____． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【跟踪专练2】若，则代数式的值为____． 【跟踪专练3】已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 题型8.程序流程图与代数式求值 【典例】按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【跟踪专练1】在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【跟踪专练3】按如图所示的程序运算，如果输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 题型9.代数式表示数.图形的规律 【典例】观察下列算式：；；；；；若字母表示自然数，请你观察到的规律用含式子表示出来：__． 【跟踪专练1】在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 【跟踪专练2】将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段．剪4刀，绳子变为_______ 段，剪2026刀，绳子变为_________ 段． 【跟踪专练3】观察：，，，，……按照此排列规律，第个式子应该是（） A． B． C． D． 题型10.新定义运算 【典例】规定符号表示两个数中较小的一个，符号表示两个数中较大的一个．例如，．若，则代数式的值是__________． 【跟踪专练1】对任意两个有理数，定义如下运算：，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中所有正确结论的序号是____________． 【跟踪专练2】定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是，需要能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为_______． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为，则所有的三位数中的“奇妙数”有_______． 解答题 1．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 2．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下： 纪念徽章设计费 纪念徽章制作费 纪念品费用 甲供应商 300元 3元/个 18元/个 乙供应商 免设计费 4.5元/个 不超过100个时，20元/个；超过100个时，则超出部分打八折 设需要定制x份奖品． (1)如果选择乙供应商，当x不超过100时，应付总费用为多少元？当x超过100时，应付总费用多少元？（用含x的式子表示，结果需化简） (2)如果需要定制50份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？ 3．某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） (3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 4．规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值； 5．下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 6．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $