山东济南市天桥区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025-2026学年第二学期八年级学业质量监测 数学试题 注意事项： 本试题共8页，满分为150分.考试时间为120分钟. 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、 姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上， 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5m黑色签字笔在答题卡上题号所提 示的答题区域作答.答案写在试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 毁 数 第I卷（选择题共40分） 、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)： 布 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明.下列志愿服务标志为中心对称图形的是 童 A B 锕 2.若a<b,则下列式子正确的是 A.a+2>b+2 B.-3a<-3b C.a-1<b-1 D.2a>2b 3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 A.(x+2)(x-2)=x2-4 B.-1=- C.x2+6x+9=(x+3)2 D.x2-5x+4=x(x-5)+4 4.在平面直角坐标系中，将点P(3,6)向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度后， 得到的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 数学试题第1页（共8页） 5.下列分式中，最简分式是 A. B. a2+b2 C. 2-x D.3-x 6x a+b x-2 6.x-2x 6.关于x的一元二次方程x2-6x+=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是 A.8 B.9 C.10 D.11 7.若关于x的方程心+1=4有增根，则m的值是 x-3x-3 A.-4 B.-3 C.3 D.4 8.如图，直线y=+b(k≠0)与直线y=x+(≠0)相交于点(3，-2)，则关于x的不等式 +b>x+n的解集为 A.x>-2 B.x<-2 C.x>3 D.x<3 9.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE,EF⊥AE于点E,交DC于 点F,连接AF,已知BC=4,DE=3V2,则AF的长为 A.3V3 B.2W5 C.5 D.52 A 1B y=kx+b ② 的 R -2 y=mx+n B D C 第8题图 第9题图 第10题图 10.如图，△4BC是等边三角形，AB=6,B在4C上且AB=AC,D是直线BC上一动点， 3 线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF.当点D运动时，则线段AF的最小值是 A.1+2W3 B.2+V3 C.3W3 D.4 数学试题第2页（共8页） 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1.第IⅡ卷必须用0.5黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效， 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11.因式分解：x2-1=一 12.若分式x-1的值为0，则x的值为 x+1 13.随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课.据统计， 受益学生人次逐批增长，第一批受益学生10万人次，第三批受益学生14.4万人次.设 第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为x,则根据题意可列方程为」 D E B D FC 第14题图 第15题图 14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=6,OD=5,点P在CD上， PE⊥OD于点E,PF⊥OC于点F,则PE+PF=」 15.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使得点B恰好落在边AD的中点B处，折痕为EF.若 菱形ABCD的边长为1cm,∠A=120°，则CF= cm. 三、解答题（本大题10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分7分) 3(x+1)≤x+3① 解不等式组： 5-3x<x+10② 并写出所有整数解. 2 数学试题第3页（共8页） 17.(本小题满分7分) 先化简，再求值：1+3 、,2+2x+1,其中x=3 -2x2-1 18.(本小题满分8分) (1)因式分解：32+6a+3. (2)解方程：x2-2x-8=0. 19.(本小题满分7分) 己知：在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF,G,H分 别是边AD,BC上的点，且EG//FH.求证：DG=BH. 郑 B H 痛 : E A G D 第19题图 第20题图 20.(本小题满分8分) 舸 在平面直角坐标系中，己知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,0),B(0,1),C(-2,3). (1)若△ABC经过平移后得到△ABC,己知点A的对应点A的坐标为1，-3)，请画出 △AB,C,，并求出线段AC平移的距离为一： (2)将△ABC绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°得到△A,B,C2,请画出△A,B,C2· (3)若将△A,B,C,绕点P旋转可得到△AB,C1，则点P的坐标为 数学试题第4页（共8页） 21.(本小题满分9分) 在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即 停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P,Q的速度都是1cm/s.连 接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为ts. (1)BO=cm,Co= cm.(分别用含有t的式子表示) (2)当t为何值时，四边形ABQP是矩形. (3)当t为何值时，四边形AOCP是菱形， B Q 第21题图 都 22.(本小题满分10分) 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成题目. 某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000 元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 弼 解法一 设.… 20001200 童 x-20 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设.. 20001200 =20 細 等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20 (1)解法一所列方程中的x表示 ,解法二所列方程中的x表示 (填序号) ①甲种商品每件的进价 ②乙种商品每件的进价 ③购进甲种商品的数量 (2)根据以上解法可求出甲种商品的进价为_元/件，乙种商品的进价为_元/件. (3)若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元.商店计 划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出， 请求出该商店获得最大的利润W,(利润=售价-进价) 数学试题第5页（共8页） 23.(本小题满分10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式 的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能表示成a+b(a,b是 整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由：因为10=32+1， 所以10是“和谐数”. 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数” .(填“是”或“否”) 【探究问题】 (2)若a2-8a+25可配方成(a-m2+n(m,n为常数)，则n的值 (3)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”， 试求出符合条件的一个k值，并说明理由 【拓展应用】 (4)已知实数x,y满足y=x2-5x+10,当x为多少时，y-x能取得最小值，并求出 最小值. 数学试题第6页（共8页） 24.(本小题满分12分) 如图，直线l:y=x+1与x轴交于点D,直线马：y=-x+b经过定点B(-1,5)且与x轴交 于点A.直线，，交于点C(2,m). (1)求直线1的解析式： (2)在直线l,上是否存在一点E,使∠CDE=45°.若存在，请求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由： (3)平面内是否存在点Q,使得以A,B,D,Q为顶点的四边形为平行四边形.若存 在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. B B C D A D 0 -10 备用图 数学试题第7页（共8页） 25.(本小题满分12分) 【知识回顾】 (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质.如图1，△ABC中，EF是△ABC的中 位线，则EF与BC的关系为： （用符号语言表达). 【特例感知】 (2)如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC,∠ACB=90°，点D是线段AB 上一动点，连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE,连接AE.取AE的中点为点 G,连接CG.延长AC至点F,使AC=CF,连接EF.请写出EF与BD的数量关 系 CG与BD的数量关系： ，并证明. 【拓展应用】 数 (3)如图3，己知在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD.将线段CD绕点C 逆时针旋转a至CE,连接AE,取AE的中点为点G,连接CG,已知BC=15,AC=8, ∠ABC=30°，∠ACB=180°-a.在点D运动过程中，求线段CG的最小值. 痢 A O D 。 B E F G 阳 B E 图1 图2 图3 数学试题第8页（共8页）2025-2026学年第二学期八年级学业质量监测数学试题 参考答案及评分标准 一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分.） 1.B2.C3.C4.D5.B6.A7.D8.C9.B10.A 二、填空题：（共5个小题，每小题4分，共20分.) 2414.8 1 11.(x+10(x-1）12.113.10(x+12=14.4 14. 15.8 三、解答题： 16.解不等式①，得： …2分 解不等式②，得： ,…4分 不等式组的解集为 ,…6分 原不等式组的整数解为，，0. …7分 =-2+3.x+10x-) 17.解：原式x-2x-2(x+)2 …2分 =x+1x-1 x-2x+1 4分 当时，原式 …7分 18.)原式-302+2a+) …2分 =3(a+102 …4分 (2)移项，得：x2-2x=8, 配方，得：x2-2x+1=9, 即-y=9 …6分 x-1=3, .x1=4,x2=-2; 8分 (x+2)(x-4)=0 法二： …6分 .x1=4,x2=-2: 8分 19.证明：四边形 是平行四边形， …2分 …3分 .180°-∠GEF=180°-∠HFE, …4分 在△AEG和△CFH中， ∠GAE=∠FCH AE=CF ∠GEA=∠HFC △ △ …5分 …6分 .AD-AG=BC-CH, …7分 20.(1)△ 即为所求， …2分 4分 1A1 -5=4=3=2=PB1 (2)△ 即为所求…6分 (3) …8分 21.(1),(8-) …3分 (2)根据题意可知， 在矩形 中， 当 时，四边形 为矩形，…4分 …5分 2 解得 …6分 (3) ,即 四边形 为平行四边形， 当 时，四边形 为菱形，…7分 根据勾股定理得： 此时 8分 解得 …9分 22.①，③： …2分 (2)50,30: …4分 (3)设甲商品购进件，则乙商品购进 件， 商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品， …6分 根据题意得： ,…8分 随的增大而增大， …9分 》 时， 最大，最大值为 该商店获得最大的利润为765元.…10分 23.(1)是：…2分 (2) …4分 3 (3) ，…5分 理由如下：由题意， 当 时， 则 …7分 (4) …8分 …9分 当 时， 有最小值，最小值为1.…10分 24.(1)将点 代入 解得 …1分 2分 将 代入 …3分 按 代入 ，解得 ;…4分 4 (2)存在点，理由如下： ①点E在点C右侧时， 过C作CF⊥CD.MF⊥CM,CN⊥DN B :∠NDC+∠DCN=90°∠DCN+∠FCM=90 -IM ∠NDC=∠FCM,CD=CF. D A :∠DNM=∠NMF=90° -1O ADNC≥ACMF(AAS).5分 E CN=MF=4,ND=CM=2,F(4,-2) D20,F4-2,DF解折武y-方X-36分 12 y=- 3-3,解得 x=7 y=-x+4 =-3E(7,-3) …7分 DE1⊥DE2 ②点E在点C左侧时， DE解析式：y=3x+6…8分 1 y=3x+6 X=- (19 解得 y=-x+4’ 2,22 9 2 …9分 19 综上所述：E点坐标为(7，-3)或2’2 用12345模型也可 (3)存在点，使得以、、 、 为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设 当 为平行四边形的对角线时， 5 当 为平行四边形的对角线时， 当 为平行四边形的对角线时， 综上所述： 点坐标为 或 或 .…12分 EF∥BC,EF=BC 25.(1) 2 …2分 (2) …4分 ①证明： 将线段 绕点逆时针旋转至， △ △ …6分 ，即 是 的中点， 为△ 的中位线， …7分 …8分 (3)解：如图3，在线段上作 ，连接，延长 至点，使得 ,连接 y…9 分 将线段 绕点逆时针旋转至， D 由旋转得 G B 6 A E F 在△ 和△ 中， D △ △ …10分 B A G F 图4 E 点在线段 上运动， 当 时， 最短，此时 取得最小值， 11分 如图4， 线段 长度的最小值为。… 12分 法二：如图3， 延长至，使 ，连接，取的中点，连接 ,作 于，…9分 AF=AC+CF=23 AH= 23 D 7 G B C----- WH E、 △ △ ,…10分 点在与成 的定直线上运动， 当点在处时， 最小，…11分 cw-CH4h-409-8)= 22 4 的最小值为：4 …12分