第12讲 平面向量的概念及线性运算（讲义）——2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义围绕平面向量的概念、线性运算及共线定理三大核心考点，按“概念-运算-定理”逻辑层次系统梳理知识，通过知识梳理、考点探究、典例精讲等环节，帮助学生构建知识网络，突破线性运算表示、共线参数求解等难点。 讲义采用“情境分析-方法提炼-真题应用”教学策略，如在向量线性运算考法中，结合平行四边形中点分线段问题引导学生分解向量，培养几何直观和数学思维。典例覆盖不同题型，配合解题规律总结，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第12讲 平面向量的概念及线性运算 思维导图 知识梳理 知识点一：向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫作向量，可以用有向线段表示. （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，一般记作. （3）零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作0. 注意：0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且有. （4）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，常记作e. 注意：与a共线的单位向量是. （5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行（共线）向量，且规定0与任意非零向量平行. 注意：向量的平行不具有传递性. （6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，记作. 注意：相等向量具有传递性. （7）相反向量：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，记作. 注意：a的相反向量的相反向量是它本身. 知识点二：向量的线性运算 1.向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算，叫作向量的加法. （2）向量加法的三角形法则 ①前提：已知非零向量，. ②作法：在平面内任取一点，作，，连接. ③结论：向量叫做与的和，记作，即. ④图形： （3）向量加法的平行四边形法则 ①前提：已知两个不共线的向量，. ②作法：在平面内任取一点，作，，以，为邻边作. ③结论：以为起点的向量就是向量与的和，即. ④图形： （4）多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示（对应多个向量相加的图形 ）. 注意：1. 向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”. 2. 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为0. 运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形. （5）运算律 ①交换律：；②结合律： 2.向量的减法 （1）定义：向量加上的相反向量，叫作与的差，即.求两个向量差的运算叫作向量的减法. （2）向量减法的三角形法则 如图，已知向量，，在平面内任取一点，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 3.向量的数乘 （1）定义：我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 注意：当时，；当时，.应该特别注意的是结果是零向量，而非实数0. （2）几何意义 ①当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长到原来的倍； ②当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短到原来的倍. （3）运算律：设为实数，那么 ①；②；③ 特别地，我们有，. 注意：(1)实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，均没有意义. (2)对于非零向量，当时，表示方向上的单位向量. (3)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数. （4）向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量，，以及任意实数，恒有. 知识点三：向量共线定理 （1）定义：如果且，则；反之，如果且，则一定存在唯一一个实数，使. （2）推论：①，，三点共线，，共线. ②向量，，中，三个终点，，共线存在实数，，使得，且. （3）向量的三角不等式：. 考点探究 考法1 平面向量的线性运算 一、简单运算 应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意向量加法的三角形法则要求“首尾相连”，平行四边形法则要求“不共线，共起点”；向量减法的三角形法则要求“起点相同”且“差向量”指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． 二、用已知向量表示位置向量 结合图形中各向量的位置关系，将未知向量表示为两个向量的和或差，再将这两个向量逐步分解为可以用已知向量表示的形式，整理即可． 三、已知运算结果求参数的值 结合图形，利用向量的线性运算将向量表示出来，利用向量相等确定参数的值． 四、向量线性运算的几何性质 ①根据向量的加法法则可知，在中，（为边中点），反之也成立. 在平行四边形中，共起点的两个向量的和与差分别使两条对角线表示的向量，注意向量的方向. ②向量，的平分线所在直线的方向向量. 【典例1】在平行四边形中，点E在线段上，且.若，其中λ，，则( ) A. B. C. D. 【典例2】在平行四边形中，E是的中点，点P在线段上.若，则( ) A. B. C. D. 【典例3】在中，若，则面积的最大值为____. 考法2 共线向量 （1）是判定两个向量是共线向量的主要依据. （2）若与不共线，且，则. （3）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即，，三点共线，共线. （4）向量共线的推论 平面内三点，，共线的充要条件：存在实数，，使得，其中，为不与，共线的平面内任意一点. 若，，三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，，且，使得（不与，共线），特别地，若，则为线段的中点. 【典例4】已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.无法构成四边形 【典例5】中，D为中点，E为边上靠近B的三等分点，交于G，交于F，若，则( ) A. B. C. D. 【典例6】在中，，，，D在边BC上，延长AD到P，使得，若（m为常数），则CD的长度是________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 平面向量的概念及线性运算 思维导图 知识梳理 知识点一：向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫作向量，可以用有向线段表示. （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，一般记作. （3）零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作0. 注意：0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且有. （4）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，常记作e. 注意：与a共线的单位向量是. （5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行（共线）向量，且规定0与任意非零向量平行. 注意：向量的平行不具有传递性. （6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，记作. 注意：相等向量具有传递性. （7）相反向量：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，记作. 注意：a的相反向量的相反向量是它本身. 知识点二：向量的线性运算 1.向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算，叫作向量的加法. （2）向量加法的三角形法则 ①前提：已知非零向量，. ②作法：在平面内任取一点，作，，连接. ③结论：向量叫做与的和，记作，即. ④图形： （3）向量加法的平行四边形法则 ①前提：已知两个不共线的向量，. ②作法：在平面内任取一点，作，，以，为邻边作. ③结论：以为起点的向量就是向量与的和，即. ④图形： （4）多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示（对应多个向量相加的图形 ）. 注意：1. 向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”. 2. 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为0. 运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形. （5）运算律 ①交换律：；②结合律： 2.向量的减法 （1）定义：向量加上的相反向量，叫作与的差，即.求两个向量差的运算叫作向量的减法. （2）向量减法的三角形法则 如图，已知向量，，在平面内任取一点，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 3.向量的数乘 （1）定义：我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 注意：当时，；当时，.应该特别注意的是结果是零向量，而非实数0. （2）几何意义 ①当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长到原来的倍； ②当时，有，这意味着表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短到原来的倍. （3）运算律：设为实数，那么 ①；②；③ 特别地，我们有，. 注意：(1)实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，均没有意义. (2)对于非零向量，当时，表示方向上的单位向量. (3)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数. （4）向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量，，以及任意实数，恒有. 知识点三：向量共线定理 （1）定义：如果且，则；反之，如果且，则一定存在唯一一个实数，使. （2）推论：①，，三点共线，，共线. ②向量，，中，三个终点，，共线存在实数，，使得，且. （3）向量的三角不等式：. 考点探究 考法1 平面向量的线性运算 一、简单运算 应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意向量加法的三角形法则要求“首尾相连”，平行四边形法则要求“不共线，共起点”；向量减法的三角形法则要求“起点相同”且“差向量”指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． 二、用已知向量表示位置向量 结合图形中各向量的位置关系，将未知向量表示为两个向量的和或差，再将这两个向量逐步分解为可以用已知向量表示的形式，整理即可． 三、已知运算结果求参数的值 结合图形，利用向量的线性运算将向量表示出来，利用向量相等确定参数的值． 四、向量线性运算的几何性质 ①根据向量的加法法则可知，在中，（为边中点），反之也成立. 在平行四边形中，共起点的两个向量的和与差分别使两条对角线表示的向量，注意向量的方向. ②向量，的平分线所在直线的方向向量. 【典例1】在平行四边形中，点E在线段上，且.若，其中λ，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由， 又，则，，故. 【典例2】在平行四边形中，E是的中点，点P在线段上.若，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设， 所以， 则，，故， 故选：B. 【典例3】在中，若，则面积的最大值为____. 【答案】 【解析】设点A，B为线段的三等分点， 因为， 又，， 所以，则， 当且仅当时取等号， 由， 当且仅当且时，等号成立， 故面积的最大值为. 考法2 共线向量 （1）是判定两个向量是共线向量的主要依据. （2）若与不共线，且，则. （3）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即，，三点共线，共线. （4）向量共线的推论 平面内三点，，共线的充要条件：存在实数，，使得，其中，为不与，共线的平面内任意一点. 若，，三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，，且，使得（不与，共线），特别地，若，则为线段的中点. 【典例4】已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.无法构成四边形 【答案】A 【解析】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 【典例5】中，D为中点，E为边上靠近B的三等分点，交于G，交于F，若，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由三点共线，设， 由三点共线，设， 则有，解得， 所以， 由三点共线，设， 则有. 故选：B. 【典例6】在中，，，，D在边BC上，延长AD到P，使得，若（m为常数），则CD的长度是________. 【答案】或0 【解析】三点共线， 可设， ， ，即， 若且，则三点共线， ，即， ，∴， ，，， ， 设，，则，. 根据余弦定理可得，， ， ，解得， 的长度为. 当时，，重合，此时的长度为0， 当时，，重合，此时，不合题意，舍去. 故答案为：0或. 学科网（北京）股份有限公司 $