精品解析：2022年四川省内江市隆昌县蓝天育才学校中考数学模拟试卷（四）

2022年四川省内江市隆昌县蓝天育才学校中考数学模拟试卷（四） 一、选择题（本题共12小题，共36分） 1. 在﹣3，2，0，﹣四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. 2 C. 0 D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 在攻击人类的病毒中某类新型冠状病毒体积较大，直径约为米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( ) A. 145° B. 155° C. 165° D. 170° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF，即可求出∠AEF． 【详解】解：∵∠A=60°，∠F=45°， ∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°， ∵ED∥BC， ∴∠2=∠1=30°， ∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°， ∴∠AEF=180°-15°=165°. 故选C. 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键． 4. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误； B项，不是轴对称图形，故本选项错误； C项，是轴对称图形，故本选项正确； D项，不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 5. 下图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图在中的选项是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了画小立方块组成的几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握俯视图是从上面看到的图形，从上面看可得到第二层有3个左右相邻的正方形，第一层右下角有一个正方形，画出图形即可． 【详解】解：从上面看可得到第二层有3个左右相邻的正方形，第一层右下角有一个正方形， 因此它的俯视图为． 故选：C． 6. 下列说法中，错误的是（　　） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 邻边相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A选项中一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是平行四边形非常重要的一个判定定理，故正确，B选项对角线互相平分得到为平行四边形，再加又互相垂直可得为菱形，故正确，C选项是正确，四个角相等，只能都为90度，就变成了矩形，故正确，D选项是错误的，因为菱形本来邻边相等，并不能得出为正方形； 故选D 考点：平行四边形及特殊的平行四边的判定及性质. 7. 如表是某超市上半年的月营业额（单位：万元）： 月份 1 2 3 4 5 6 月营业额 20 40 20 20 40 10 下列结论正确的是（　　） A. 平均数是30 B. 中位数20 C. 众数是40 D. 方差是25 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据计算出平均数，中位数，众数和方差，可以得到答案； 【详解】解：平均数为（20×3+40×2+10×1）÷（3+2+1）=25（万元），故A不正确，不符合题意； 按顺序排列后第3个数是20，第4个数是20，所以中位数是×（20+20）=20（万元），故B正确，符合题意； 出现最多的是20，所以众数是20万元，故C不正确，不符合题意； 方差是[3×（20-25）2+2×（40-25）2+（10-25）2]×=125（万元2）．故D不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查统计的初步知识，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的计算方法是解题关键． 8. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 9. 如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】分析：点P，可以看作是以O为圆心，以为半径的圆上的一点，当AP与这个圆相切时BC取最大值，利用中位线定理得出结论即可. 解析：当OP⊥AB时，BC最长，∴AP=BP,∵AC为直径，所以BC⊥AB，∴OP=BC,∴BC= 2. 故选A. 点睛：本题的关键在于找到最值的接点，利用切线的性质找到点P的位置，从而确定BC的最值，利用中位线定理得出BC的长. 10. 如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由EF∥BC可得：△AEF∽△ABC，由相似三角形的性质易得；由EF∥AD可得△BEG∽△BAD，由相似三角形的性质及已知即可求得AD的长． 【详解】∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∴ ∴ ∵EF∥AD ∴△BEG∽△BAD ∴ ∵点G是EF的中点，EF=6 ∴EG=3 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形的两边分别交于点，（点在点的上方），连接，，若的面积为，直线的运动时间为秒（），则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当直线l从A开始运动，MN逐渐增大，到经过点MN达到最大值，此时AM=2,故运动时间为2，此时; 当直线l从D开始运动，MN保持不变，到经过点B，此时AB=4，故运动时间为2,此时;当直线l从经过B的位置向右开始运动，MN开始减小，到经过点C，MN为0，此时BG=2，故运动时间为2，此时三种情形，确定面积S与t的函数关系式，根据关系式确定图像即可． 【详解】解：由题意知AB=AD=CD=BC=4， ∵∠BAD=60°， ∴当直线l经过点D时，运动时间为2， ∴C的横坐标为6， 如图1，当时， 轴 图像是经过原点，开口向_上的- -段抛物线; 如图2，当时，MN是定长， 图像是经过原点，正比例函数上的一段； 的比例系数2大于， ∴面积线段的倾斜度要比的陡； 如图3，当时， 解得 ∴直线的解析式为 ∴N坐标为 M坐标为 图像是开口向下的一段抛物线; 故选：C． 【点睛】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想． 12. 如图，抛物线与轴交于点A（-1,0），顶点坐标（1，n）与轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 而抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确； ∵2≤c≤3， 而c=-3a， ∴2≤-3a≤3， ∴-1≤a≤-，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x=1时，二次函数值有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 即a+b≥am2+bm，所以③正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 计算：的结果是__． 【答案】## 【解析】 【分析】根据异分母分式减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 14. 已知方程的一根是2，则___________，另一根是___________ 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得出，求出a、k即可． 【详解】解：， 设方程的另一个根为a， 则由根与系数的关系得：， 解得：， 即，方程的另一个根是， 故答案为： 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，一元二次方程（为常数，）的两根为，则 15. 如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是______． 【答案】． 【解析】 【分析】由圆心角为，半径为6的扇形求弧长=，可求圆锥底面圆周长：，解得，如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，由勾股定理即可． 【详解】解：圆心角为，半径为6的扇形弧长=， 圆锥底面圆周长：， 解得， 如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形， 由勾股定理， 这个圆锥的高是． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理，掌握扇形弧长公式，圆的周长，勾股定理是解题关键． 16. 如图所示，个直角边长为的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设的面积为，的面积为，，的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、、点，显然它们共线且平行于，依题意可知是等腰直角三角形，知道与相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出，同理：，所以，所以，同样的道理，即可求出，，得到答案． 【详解】解：个直角边长为的等腰三角形有一条边在同一直线上， ， 连接、、、点，显然它们共线且平行于 ∴， 是等腰直角三角形，且边长， ∽， ， ， 同理：， ， ， ， 则． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则， ∴，且， 解得，且， m取最大整数为0，此时原方程为， 即， ∴代数式． 18. 在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出，再根据锐角三角函数和勾股定理得到，求出的值即可． 【详解】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， ∴DE＝DF，， 又， ∴四边形CEDF为正方形， ，， 在中，， ∵， ， ，，， ， 即， 又， ， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ， ， ， 即（舍负）， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作OC与直线BD相切，点P是圆C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是_______． 【答案】3. 【解析】 【分析】先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论． 【详解】解：如图， 过点P作PE∥BD交AB的延长线于E， ∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB， ∴BE最大时，最大， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， 过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G， ∵BD是⊙C的切线， ∴∠GME＝90°， 在Rt△BCD中，BD＝=5， ∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC， ∴△BHC∽△BCD， ∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA， ∴△BHG∽△BAD， 在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝， 而BE＝GE﹣BG＝GE， ∴GE最大时，BE最大， ∴GM最大时，BE最大， ∵GM＝HG+HM＝+HM， 即：HM最大时，BE最大， 延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝， ∴GP'＝HP'+HG＝， 过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F， ∴BE最大时，点E落在点F处， 即：BE最大＝BF， 在Rt△GP'F中，FG＝， ∴BF＝FG﹣BG＝8， ∴最大值为1+＝3， 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 20. 已知：如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一动点（不与，重合），连接，将沿翻折得，连接，，当线段的长取最大值时，的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由翻折可知：，所以，点E在以N为圆心，NC为半径的圆上，点共线时，此时BE最大，由翻折可知MN是CE的垂直平分线，延长GN交AB于点D，可得DN平分，过点D作，然后证明，可得，根据勾股定理可以解决问题 【详解】解：如图，由翻折可知：， 所以，点E在以N为圆心，NC为半径的圆上，点共线时，此时BE最大， 在中，∠ ∴ ∵点N是边AC的中点 ∴ 由翻折可知MN是CE的垂直平分线， ∴∠ 延长GN交AB于点D ∴∠ ∴DN平分∠ 过点D作， 在和中 在中， 在中， 根据勾股定理得， 解得， 在中，， 由勾股定理得， ∵∠，∠ ∴∠ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，轴对称的性质，点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解答本题的关键是掌握翻折的性质 三、解答题（本题共9小题，共84分） 21. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 22. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，是的中点，连接．过点C作交线段的延长线于点F，连接．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得 ，根据线段中点的定义可得，然后证明和全等； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 在矩形中，， ∴平行四边形是菱形． 23. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率； (2)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率； (3)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）四个数字中正数有一个，求出所求概率即可； （2）表示出已知方程根的判别式，根据方程有实数根求出a的范围，即可求出所求概率； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出点（x，y）落在第二象限内的情况数，即可求出所求的概率． 试题解析：解：（1）根据题意得：抽取的数字为正数的情况有1个，则P=； （2）∵方程ax2﹣2ax+a+3=0有实数根， ∴△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a≥0，且a≠0， 解得：a＜0， 则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3=0有实数根的概率为； （3）列表如下： ﹣3 ﹣1 0 2 ﹣3 ﹣﹣﹣ （﹣1，﹣3） （0，﹣3） （2，﹣3） ﹣1 （﹣3，﹣1） ﹣﹣﹣ （0，﹣1） （2，﹣1） 0 （﹣3，0） （﹣1，0） ﹣﹣﹣ （2，0） 2 （﹣3，2） （﹣1，2） （0，2） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有2种， 则P==． 考点：列表法与树状图法；根的判别式；点的坐标；概率公式． 24. 城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30�°，D、E之间是宽为2m的人行道． 试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，�是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB�长为半径的圆形区域为危险区域．）（≈1.732，≈1.414） 【答案】不必封上人行道 【解析】 【分析】过C点作CG⊥AB交AB于G. 求需不需要将人行道封上实际上就是比较AB与BE的长短，已知BD，DF的长度, 那么AB的长度也就求出来了，现在只需要知道BE的长度即可，有BF的长，ED的长，缺少的是DF的长，根据“背水坡CD的坡度i＝1: 2，坝高CF为2m” DF是很容易求出的，这样有了CG的长，在△ACG中求出AG的长度，这样就求出AB的长度，有了BE的长，就可以判断出是不是需要封上人行道了. 【详解】 过C点作CG⊥AB交AB于G. 在Rt△CDF中，水坡CD的坡度i=2：1，即tan∠CDF=2， ∵CF=2，∴DF=1. ∴BF=BD＋DF=12+1=13. ∴CG=13， 在Rt△ACG中，∵∠ACG=30°， ∴AG=CG·tan30°=13×=7.5 m ∴AB＝AG＋BG=7.5+2=9.5m， BE＝12m， AB＜BE， ∴不必封上人行道. 【点睛】本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形. 25. 随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等 （1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？ （2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金．若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的最大利润不低于20200元但不超过23000元，求a的取值范围． 【答案】（1）每台A型、B型净水器的进价分别是2000元、1800元；（2）a的取值范围是20≤a≤90． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求得x的取值范围和利润与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】（1）设每台A型的进价为m元， ， 解得，m＝2000， 经检验，m＝2000是原分式方程的解， ∴m﹣200＝1800， 答：每台A型、B型净水器的进价分别是2000元、1800元； （2）2000x+1800（50﹣x）≤98000， 解得，x≤40， 设公司售完50台净水器并捐款后获得的利润为w元， w＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax＝（120﹣a）x+19000， 当a≥120时，w≤19000不合题意， 当a＜120时，120﹣a＜0，当x＝40时，w取得最大值， ∴20200≤40（120﹣a）+19000≤23000， 解得，20≤a≤90， 即a的取值范围是20≤a≤90． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答，注意分式方程要检验． 26. 如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题： 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； 已知满足,求的值； 已知满足，求正数的最小值． 【答案】（1） （2）或2 （3）正数的最小值为4． 【解析】 【分析】（1）设方程 的两根为 ，得出，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案． （2）根据 满足 ，得出 是一元二次方程 的两个根，由 ，即可求出 的值． （3）根据 ，得出， 是一元二次方程 的两个根，再根据 ，即可求出c的最小值． 【详解】设关于 x 的方程 的两根为， 则有：，且由已知所求方程的两根为 ∴所求方程为， 即． （2） 满足， 是方程 的两根． 时 ∴ ． ∴ ． 当时 ，原式 （3） ． 是一元二次方程的两个根， 化简，得 ． 又∵此方程必有实数根， ∴此方程的 ， 即． 又． ∴ ．∴正数 c 的最小值为4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 27. 如图，在中，，的角平分线交于点，点是上一点，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：是的切线； （2），求； （3）在（2）问的条件下，点为上一点，过点作的垂线，交延长线于点，交于点，．若的半径为5，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】(1) 连接，是平分线，所以，证明，即可得证； (2) 连接，过点作于点，因为是直径，所以，，，得到为的4等分点，，设半径为，为，进而得出结论； (3) 由（2）得，，，，所以，，由（2）得，所以，进而得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：连接，过点作于点， 如图所示： ∵是直径， ∴，∴， ∵， ∴为的4等分点，， 设半径为，为， 则， ∴， ∵∽， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． （3）解：由（2）得， ∴，∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定及相似三角形的性质，明确圆的切线的证明方法，正确理解题意是解题的关键． 28. 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG. （1）求证：CD⊥CG； （2）若tan∠MEN=，求的值； （3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）EM长不可能为.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，即∠ADE=∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A=∠DCG=90°，即可得出结论； （2）先证明△EDM≌△GDM，得出∠DME=∠NMF，，再证明△DME∽△FMN，得出，，在Rt△EFH中，tan∠HEF=，所以； （3）假设EM= ，先判断出点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM=GM=，得出GM=,再判断出BM＜，得出CM＞，进而得出CM＞GM，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形， ∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG， ∴∠ADE=∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠A=∠DCG=90°， ∴CD⊥CG； （2）解： ∵CD⊥CG，DC⊥BC， ∴G、C、M三点共线 ∵四边形DEFG是正方形， ∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°， 又∵DM=DM ∴△EDM≌△GDM， ∴∠DME=∠DMG 又∠DMG=∠NMF， ∴∠DME=∠NMF， 又∵∠EDM=∠NFM=45° ∴△DME∽△FMN， ∴ 又∵DE∥HF， ∴， 又∵ED=EF， ∴ 在Rt△EFH中，tan∠HEF=， ∴ （3）EM的长不可能为． 理由：假设EM的长为， ∵点E是AB边上一点，且∠EDG=∠ADC=90°， ∴点G在BC的延长线上， 同（2）的方法得，EM=GM=， ∴GM=， 在Rt△BEM中，EM是斜边， ∴BM＜ ∵正方形ABCD的边长为1， ∴BC=1， ∴CM＞ ∴CM＞GM， ∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾， ∴假设错误， 即：EM的长不可能为 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明EM不可能为是解本题的难度． 29. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案； （3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点． 则DG//AK， ∴△AEK∽△DEF， ∴， 设直线BC的解析式为y=kx+n， 将、代入则有：， 解得， ∴直线的表达式为， 当x=-1时，， 即K（-1，）， ∴． ∵． ∴ 设点，则F点坐标为（m，）， ∴． ∴， 当时，有最大值． （3）∵，，． ∴AC=，BC=，AB=5， ∴AC2+BC2=25=52=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵过点作直线，直线的表达式为， ∴直线的表达式为． 设点的坐标为． ①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=t-4，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，t2=0（舍去）， 此时点的坐标为． ②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=4-t，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，<0（舍去）， 此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年四川省内江市隆昌县蓝天育才学校中考数学模拟试卷（四） 一、选择题（本题共12小题，共36分） 1. 在﹣3，2，0，﹣四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. 2 C. 0 D. ﹣ 2. 在攻击人类的病毒中某类新型冠状病毒体积较大，直径约为米，含约3万个碱基，拥有RNA病毒中最大的基因组，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( ) A. 145° B. 155° C. 165° D. 170° 4. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图在中的选项是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法中，错误的是（　　） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 四个角都相等的四边形是矩形 D. 邻边相等的菱形是正方形 7. 如表是某超市上半年的月营业额（单位：万元）： 月份 1 2 3 4 5 6 月营业额 20 40 20 20 40 10 下列结论正确的是（　　） A. 平均数是30 B. 中位数20 C. 众数是40 D. 方差是25 8. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 3 10. 如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴，点的坐标为，，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形的两边分别交于点，（点在点的上方），连接，，若的面积为，直线的运动时间为秒（），则与的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线与轴交于点A（-1,0），顶点坐标（1，n）与轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 计算：的结果是__． 14. 已知方程的一根是2，则___________，另一根是___________ 15. 如图，用圆心角为半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是______． 16. 如图所示，个直角边长为的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设的面积为，的面积为，，的面积为，则______． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______． 18. 在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______． 19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作OC与直线BD相切，点P是圆C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是_______． 20. 已知：如图，在中，，，，点是边的中点，点是射线上的一动点（不与，重合），连接，将沿翻折得，连接，，当线段的长取最大值时，的值为_______________． 三、解答题（本题共9小题，共84分） 21. 计算： 22. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，是的中点，连接．过点C作交线段的延长线于点F，连接．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 23. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率； (2)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率； (3)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x(不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点(x，y)所有可能出现的结果，并求点(x，y)落在第二象限内的概率． 24. 城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2：1，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30�°，D、E之间是宽为2m的人行道． 试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，�是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB�长为半径的圆形区域为危险区域．）（≈1.732，≈1.414） 25. 随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等 （1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？ （2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金．若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的最大利润不低于20200元但不超过23000元，求a的取值范围． 26. 如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题： 已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； 已知满足,求的值； 已知满足，求正数的最小值． 27. 如图，在中，，的角平分线交于点，点是上一点，以为直径的分别交、于点、． （1）求证：是的切线； （2），求； （3）在（2）问的条件下，点为上一点，过点作的垂线，交延长线于点，交于点，．若的半径为5，求的长． 28. 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG. （1）求证：CD⊥CG； （2）若tan∠MEN=，求的值； （3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由. 29. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $