精品解析：2022年四川省攀枝花十九中小学校 中考数学三模试卷

四川省攀枝花十九中小学校2022年中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. －5 B. －1 C. －6 D. 6 2. 下面运算中正确的是（ ） A. m2•m3＝m6 B. m2+m2＝2m4 C. （﹣3a2b）2＝6a4b2 D. （﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6 3. 已知某种新型感冒病毒的直径为0.000 000 785米，将0.000 000 785用科学记数法表示为（ ） A. 0.78510-6 B. 0.785 10-7 C. 7.8510-6 D. 7.8510-7 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是一个完全平方式，则m的值为( ) A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 6. 如图所示，直线，，，则的大小是（ ） A. 73° B. 83° C. 77° D. 87° 7. 八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟个，方差分别是，你认为派哪一个同学去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 正五边形的内角和为 B. 矩形的对角线相等 C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D. 圆内接四边形的对角互补 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（　　） A. B. 9 C. D. 10. 如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A. 25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B. 线段CD的函数解析式为 C. 5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D. 曲线段AB的函数解析式为 12. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 计算：__． 14. 已知一组数据1，4，a，3，5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是________． 15. 若关于x的方程 +＝3的解为正数，则m的取值范围是_____． 16. 如图，在中，，，，把沿翻折得到，过点B作，交于点E，点F是线段上一点，且．则下列结论中：①；②；③；④．正确的有______（把所有正确答案的序号都填上） 三.解答题（本大题共8小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步䠈） 17. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 18. 已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°． （1）作图：作△ABC的高AD交BC于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：BD＝3CD． 19. 为响应“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题： （1）获得一等奖的学生人数为 ； （2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率． 20. 如图，点和点D是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作轴，垂足为E，连接．已知与的面积满足． （1） ， ； （2）已知点在线段上，当时，求点D的坐标． 21. 如图，⊙O的直径AB＝2，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，E两点． （1）求证：ED＝EC； （2）若∠A＝30°，求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和． 22. 某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B型手机50台． （1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？ （2）设购进B型手机n部，销售手机的总利润为y元，怎么进货才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案． 23. 如图，四边形、都是正方形． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，正方形绕点逆时针旋转，使点正好落在上，猜想、、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）条件下，，，点为直线上一动点，连接，过点作，垂足为点，直接写出的最小值． 24. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）直接写出点A和点B的坐标 （2）求抛物线的解析式 （3）D为直线AB上方抛物线上一动点 ①连接DO交AB于点E，若DE∶OE＝3∶4，求点D的坐标 ②是否存在点D，使得DBA的度数恰好是BAC的2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省攀枝花十九中小学校2022年中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. －5 B. －1 C. －6 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的乘法运算法则计算求值即可； 【详解】解：=-6， 故选： C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；掌握运算法则是解题关键． 2. 下面运算中正确的是（ ） A. m2•m3＝m6 B. m2+m2＝2m4 C. （﹣3a2b）2＝6a4b2 D. （﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方以及单项式乘以单项式原则一一进行判断即可． 【详解】A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.，故此选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查整式的乘法运算以及合并同类项，掌握整式相关的法则是解题的关键． 3. 已知某种新型感冒病毒的直径为0.000 000 785米，将0.000 000 785用科学记数法表示为（ ） A. 0.78510-6 B. 0.785 10-7 C. 7.8510-6 D. 7.8510-7 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000 000 785=7.8510-7． 故选：D． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数的定义，解题的关键是熟知科学记数法，会清楚表示a与n． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键． 5. 已知是一个完全平方式，则m的值为( ) A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵x2-4x+m是一个完全平方式， ∴m=， 解得m=4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 6. 如图所示，直线，，，则的大小是（ ） A. 73° B. 83° C. 77° D. 87° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线性质，证得∠2=∠3，根据∠1+∠3+∠BAC=180°，求解即可 【详解】解：如图，∵直线， ∴∠2=∠3， ∵，，∠1+∠3+∠BAC=180°， ∴∠BAC=83°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的基本性质，平角的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 7. 八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟个，方差分别是，你认为派哪一个同学去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差越小，成绩越稳定，进行判断即可． 【详解】∵甲、乙、丙、丁四位同学的平均成绩相同，方差分别是， ∴方差最小的为丁， ∴派丁同学去参赛更合适． 故选：D． 【点睛】本题考查利用方差作决策．熟练掌握方差越小，成绩越稳定是解题的关键． 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 正五边形的内角和为 B. 矩形的对角线相等 C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D. 圆内接四边形的对角互补 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用垂径定理的推论以及五边形的内角和定理、矩形的性质、圆内接四边形的性质分别判断得出答案． 【详解】解：A、正五边形的内角和为，是真命题，故此选项不合题意； B、矩形的对角线相等，是真命题，故此选项不合题意； C、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，是假命题，故此选项符合题意； D、圆内接四边形的对角互补，是真命题，故此选项不合题意． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（　　） A. B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据、的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值． 【详解】 解：过点作轴，垂足为， ∵的坐标分别是， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴代入得：， 故选D． 【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键. 10. 如图，将矩形纸片放入直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上点处，若，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依据折叠的性质以及勾股定理，即可得出的长，进而得到，再根据勾股定理可得，中，，列方程求解即可得到，进而得出点的坐标． 【解答】解：∵矩形纸片中，， ， 中，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ∴， ∵点在第二象限， 的坐标为． 11. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A. 25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B. 线段CD的函数解析式为 C. 5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D. 曲线段AB的函数解析式为 【答案】C 【解析】 【分析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案. 【详解】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误； 设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 ，解得：， 所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确； 由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确， 故选C. 本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的． 【点睛】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键. 12. 如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 计算：__． 【答案】 【解析】 【分析】根据零次幂与负整数指数幂进行计算求解即可 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】本题考查了零次幂与负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 14. 已知一组数据1，4，a，3，5，若它的平均数是3，则这组数据的中位数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据求平均数的方法先求出a, 再把这组数从小到大排列，3处于中间位置，则中位数为3. 【详解】a=3×5-(1+4+3+5)=2, 把这组数从小到大排列：1,2,3,4,5,  3处于中间位置，则中位数为3. 故答案为3. 【点睛】本题考查中位数与平均数，解题关键在于求出a. 15. 若关于x的方程 +＝3的解为正数，则m的取值范围是_____． 【答案】m＜且m 【解析】 【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程的解为正数和x﹣3≠0可以求得m的取值范围． 【详解】解： ， 方程两边同乘以x﹣3，得 x+m﹣3m＝3（x﹣3） 去括号，得 x+m﹣3m＝3x﹣9 移项及合并同类项，得 2x＝﹣2m+9 系数化为1，得 x＝， ∵关于x的方程的解为正数且x﹣3≠0， ∴， 解得，m＜且m． 【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 16. 如图，在中，，，，把沿翻折得到，过点B作，交于点E，点F是线段上一点，且．则下列结论中：①；②；③；④．正确的有______（把所有正确答案的序号都填上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①利用折叠和平行线的性质可知，从而利用等角对等边即可证明；②利用相似三角形的判定判断即可；③首先证明，然后利用相似三角形的性质即可证明；④利用折叠的性质及勾股定理即可证明． 【详解】①由折叠可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ②∵，，， ∴ ∴，， ∵， 由折叠性质可知，， 即：， 则，由，， 可得，②正确； ③在②中有，再根据折叠可知：， 即有：，即有：， 即有：，③正确； ④由及，作于点G， 由题易得：，，，， 由，设，， 由得， 由可得， 则，， 在中由勾股定理可得，④正确； 故答案为：①②③④，． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质，三角函数，掌握这些性质是关键． 三.解答题（本大题共8小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步䠈） 17. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】先对分式化简，然后把解不等式组得到的x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 解可得， 则整数x可以为， 根据题意可得， 即且， ， 当时，原式． 18. 已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°． （1）作图：作△ABC的高AD交BC于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：BD＝3CD． 【答案】 （1）如图所示，AD即为所求； （2）证明： ∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD， ∴BC＝4CD， ∴BD＝3CD． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图的方法及相关性质作△ABC的高AD交BC于点D即可； （2）根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明BD＝3CD． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了尺规作图及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关方法及性质是解题关键． 19. 为响应“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题： （1）获得一等奖的学生人数为 ； （2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率． 【答案】（1）30人 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数； （2）画树状图列举出所有可能的情况和恰好选到A，B两所学校的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵三等奖所在扇形的圆心角为， ∴三等奖所占的百分比为， ∵三等奖为50人， ∴总人数为人， ∴一等奖的学生人数为人； 【小问2详解】 解：画树状图如下： ∴共有12种情况，恰好选到A，B两所学校的情况有2种， ∴恰好选到A、B两所学校的概率为． 20. 如图，点和点D是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作轴，垂足为E，连接．已知与的面积满足． （1） ， ； （2）已知点在线段上，当时，求点D的坐标． 【答案】（1）3；8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式求得点的坐标，结合点的坐标和三角形面积求出的面积，进而求出的面积，由反比例函数系数的几何意义求得的值； （2）利用待定系数法确定直线的解析式，求出点的坐标，根据正切的定义列出比例式求出的关系，解方程组得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点是反比例函数图象上的点，且轴 ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示， 由（1）知，反比例函数的解析式为， 把点的坐标代入得，，解得， ∴点的坐标为， 把点的坐标代入，得到，解得， ∴直线的解析式是， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， 由（1）知，， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 整理得， ∴， 解得或， ∵点在第一象限， ∴． 21. 如图，⊙O的直径AB＝2，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，E两点． （1）求证：ED＝EC； （2）若∠A＝30°，求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质定理确定∠OCA+ACF=90°，根据等边对等角确定∠OAC=∠OCA，根据OE⊥AB确定∠OAC+∠ODA=90°，根据对顶角的性质确定∠ODA=∠EDC，结合等价代换思想可以确定∠ACF=∠EDC，再根据等角对等边可证ED=EC． （2）根据的直径求出OC和OB的长度，根据∠A的度数求出BOC的度数，根据锐角三角函数和扇形面积公式分别求出CG的长度和扇形OBC的面积，根据三角形面积公式求出△OBC的面积，进而求出点C右侧阴影部分的面积．根据OE⊥AB可以求出∠COE的度数，根据锐角三角函数和扇形面积公式分别求出CE的长度和扇形OCH的面积，根据三角形面积公式求出△OCE的面积，进而求出点C左侧阴影部分的面积，最后两部分阴影面积相加即可． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接OC． ∵CF是的切线， ∴OC⊥CF． ∴∠OCF=90°． ∴∠OCA+ACF=90°． ∵OA和OC是的半径， ∴OA=OC． ∴∠OAC=∠OCA． ∴∠OAC+∠ACF=90°． ∵OE⊥AB， ∴∠EOA=90°． ∴∠OAC+∠ODA=90°． ∴∠ODA=∠ACF． ∵∠ODA=∠EDC， ∴∠ACF=∠EDC． ∴ED=EC． 【小问2详解】 解：如下图所示，过点C作CG⊥OB于点G，设线段OE与交于点H．∵的直径，OC，OB是的半径， ∴． ∵∠A和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，∠A=30°， ∴∠BOC=2∠A=60°． ∴，S扇OBC． ∴． ∴点C右侧的阴影面积S右=S扇OBC-． ∵OE⊥AB， ∴∠EOB=90°． ∴∠COE=∠EOB-∠BOC=30°． ∴，S扇OCH． ∴． ∴点C左侧的阴影面积S左=-S扇OCH． ∴图中两处阴影部分的面积之和S阴． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，圆周角定理，扇形面积公式，解直角三角形，综合应用这些知识点是解题关键． 22. 某商店计划一次购进两种型号的手机共110部，销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍，且商店最多购进B型手机50台． （1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？ （2）设购进B型手机n部，销售手机的总利润为y元，怎么进货才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜70）元．若商店保持两种手机的售价不变，请设计出手机销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元； （2）购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大； （3）购进A型手机60部、B型手机50部时销售总利润最大． 【解析】 【分析】（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，根据题意列出方程组求解； （2）据题意得，y=A型手机的利润+B型手机的利润=-50n+16500，利用不等式求出n的范围，又因为y=-50x+16500是单调递减函数，所以n取37，y取最大值； （3）据题意得，y=150（110-n）+（100+m）n，即y=（m-50）n+16500，分三种情况讨论，①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=16500，③当50＜m＜70时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【详解】解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元； （2）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部， 则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500， 其中，，即， ∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500 （）； ∵， ∴一次函数y随n的增大而减小， ∵，且n为整数， ∴当n＝37时，y取得最大值，最大值为（元）， ∴（台） 答：购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大； （3）设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部， 根据题意，得：， 其中，（n为整数）， ①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小， ∴当n＝37时，y取得最大值， 即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大； ②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500， 即商店购进B型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜70时，y随n的增大而增大， ∴当n＝50时，y取得最大值， 即购进A型手机60部、B型手机50部时销售总利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数增减性解决问题． 23. 如图，四边形、都是正方形． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，正方形绕点逆时针旋转，使点正好落在上，猜想、、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）条件下，，，点为直线上一动点，连接，过点作，垂足为点，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）， 证明：∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）在中和在中利用勾股定理解题； （2）利用和全等，实现线段与的转化，结合等腰直角三角形的边长关系求解； （3）作直线关于对称的直线，利用角平分线的对称性将转化为点到对称直线的距离，的最小值等于点到该对称直线的垂线段长度． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 在中，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最小值， 如图，作直线关于直线对称的直线，过点作于点， ∵四边形为正方形，是对角线， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵直线和关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点、点、点共线， 此时点到直线的最短距离为，即的最短距离为， 在中，，， ∴，， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理和图形的旋转，在求线段长度时，勾股定理是常用的方法，图形旋转时要明确在旋转过程中边和角的对应关系，最短距离需要构建最短距离的原型，在本题中是借助点到直线的最短距离进行求解． 24. 已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）直接写出点A和点B的坐标 （2）求抛物线的解析式 （3）D为直线AB上方抛物线上一动点 ①连接DO交AB于点E，若DE∶OE＝3∶4，求点D的坐标 ②是否存在点D，使得DBA的度数恰好是BAC的2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①或；②存在，． 【解析】 【分析】（1）分别当x=0和y=0代入直线AB解析式进行求解即可； （2）由（1）分别把点A、B代入二次函数解析式进行求解即可； （3）①过点D作DF⊥x轴，交AB于点F，设点，则有点，由题意易得，△DEF∽△OEB，进而可得，然后求解即可； ②过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，则有∠BAC=∠HBA，由∠DBA=2∠BAC可得∠HBA=∠DBH=∠BAC，进而可得，设点，则有，然后根据三角函数可求解． 【详解】解：（1）由题意得： 当x=0时，则，当y=0时，则，解得：， ∴； （2）由（1）得：， 把点A、B代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为：； （3）①过点D作DF⊥x轴，交AB于点F，如图所示： 设点，则有点， ∴， ∵∠BOA=90°， ∴DF∥OB， ∴△DEF∽△OEB， ∵DE∶OE＝3∶4，OB=2， ∴，即， 解得：， ∵点D是直线AB上方抛物线上的点， ∴或； ②存在一点D，使得∠DBA=2∠BAC，理由如下： 过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，如图所示： ∴∠BAC=∠HBA， ∵∠DBA=2∠BAC， ∴∠HBA=∠DBH=∠BAC， ∵在Rt△AOB中，OB=2，OA=4， ∴， ∴， 设点，则有， ∴， 解得：， ∴ ∴存在点D，使得∠DBA=2∠BAC，此时点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $