精品解析：吉林长春力旺实验初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期末教学诊断

长春力旺实验中学2025－2026学年度下学期八年级数学期末教学诊断 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 3. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，过点作，交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式有意义，则的取值范围为__________． 10. 如果点的坐标为，则点到轴的距离为_______． 11. 反比例函数在某象限内y随x的增大而增大．则任意写出一个符合条件的k值______． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为_______． 14. 如图，在边长为2的正方形中，是等边三角形，连接、，给出以下结论：①；②；；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 计算或解方程 （1）计算： （2）解方程： 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作矩形，使矩形的面积是12； （2）在图②中，作菱形，使菱形的面积是12． 18. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 19. 长春某滑雪场需要清点540副滑雪装备，安排两位工作人员各自清点一遍．已知甲的清点速度是乙的1.5倍，结果甲比乙少用3小时完成清点．求这两位工作人员每小时各能清点的装备数量． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，的值是 ； （3）在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 21. 为了保障电网稳定以及降低用户充电成本，某新能源汽车充电站施行高峰、低谷电价收费制度．已知高峰时段充电单价是低谷时段充电单价的2倍，一辆汽车充电时经历了先高峰、后低谷收费时段，如图为这辆汽车充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的一次函数图象． （1）该充电站高峰时段充电单价为 元/千瓦时； （2）当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数表达式； （3）当这辆汽车充电8千瓦时时，直接写出充电总费用是多少元． 22. 【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． （1）请按照方法二写出完整证明过程． 证明： （2）【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． （3）【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 23. 在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； （2）当点落在直线上时，求的面积； （3）当是直角三角形时，求的值； （4）当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春力旺实验中学2025－2026学年度下学期八年级数学期末教学诊断 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. “一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，要求 ，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）， ∵左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且满足， ∴． 2. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 3. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 4. 为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意； B、含角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意； C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意． 5. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在菱形中，过点作，交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用对角线平分对角求出的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，函数的最大值为， ∴当时，取得最大值， 将代入函数得 ， 整理得， 解得． 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义等价于分母不为零，据此列出不等式即可求解得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为零， ∴，解得：． 故答案为：． 10. 如果点的坐标为，则点到轴的距离为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：点坐标为，纵坐标为， 点到轴的距离为． 11. 反比例函数在某象限内y随x的增大而增大．则任意写出一个符合条件的k值______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数在某象限内随的增大而增大， ∴， ∴， 则任意写出一个符合条件的值为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ，， ∴， ∴，  ，   的面积是4，  ，  ． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形， ，，， 在中， ，  ，  ，，  ． 14. 如图，在边长为2的正方形中，是等边三角形，连接、，给出以下结论：①；②；；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的性质，分别推导边长关系、角度大小以及三角形面积，逐一判断各结论是否正确． 【详解】解： 是等边三角形，正方形  的边长为 ，  ，，，  ， 故①正确 ；  ，  ， ，   是正方形  的对角线，  ，  ，  ， 故②正确； 如图，过点  作  于点  ， 在  中，， ， ， ∴，  ， ， ， 故③正确；   ， 又 ，   ，  ，  ④错误； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】a-1，1. 【解析】 【分析】先计算括号内的运算，然后除法变乘法，进行约分，得到最简代数式，再把代入计算，即可得到答案. 【详解】解：原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算法则. 16. 计算或解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，作矩形，使矩形的面积是12； （2）在图②中，作菱形，使菱形的面积是12． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查网格作图问题，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线与圆的性质． （1）如图，作一个边长是4和3的矩形即可； （2）如图，作一个对角线长是4和6的菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 19. 长春某滑雪场需要清点540副滑雪装备，安排两位工作人员各自清点一遍．已知甲的清点速度是乙的1.5倍，结果甲比乙少用3小时完成清点．求这两位工作人员每小时各能清点的装备数量． 【答案】 甲每小时清点90副，乙每小时清点60副 【解析】 【分析】设乙每小时清点的装备数量为未知数，根据甲的速度是乙的1.5倍表示出甲的速度，再利用甲比乙少用3小时的等量关系列分式方程求解. 【详解】解：设乙每小时清点副滑雪装备，则甲每小时清点副滑雪装备， 根据题意，得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴，  答：甲每小时清点90副滑雪装备，乙每小时清点60副滑雪装备. 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）当时，的值是 ； （3）在（2）的前提下，当时，的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到点坐标，即可得出结果； （3）直接利用图象法求出不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知，时，的取值范围为. 21. 为了保障电网稳定以及降低用户充电成本，某新能源汽车充电站施行高峰、低谷电价收费制度．已知高峰时段充电单价是低谷时段充电单价的2倍，一辆汽车充电时经历了先高峰、后低谷收费时段，如图为这辆汽车充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的一次函数图象． （1）该充电站高峰时段充电单价为 元/千瓦时； （2）当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数表达式； （3）当这辆汽车充电8千瓦时时，直接写出充电总费用是多少元． 【答案】（1）2 （2）（） （3）13 【解析】 【分析】（1）根据图象即可求解； （2）求出低谷电费，可得函数经过，，代入函数即可； （3）当，代入函数即可. 【小问1详解】 解：根据题意得： 故答案为：2. 【小问2详解】 解：∵高峰时段充电单价是低谷时段充电单价的2倍 ∴ （元/千瓦时） 当时，总费用为：（元） ∴函数经过， 设当时，与的函数为： 得，解得 ∴函数为：（）. 【小问3详解】 解：当时，则， 所以总电费是元. 22. 【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，华师版新、旧教材给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：新版八下教材第99页如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：旧版九上教材第77页如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． （1）请按照方法二写出完整证明过程． 证明： （2）【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． （3）【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 【答案】（1）证明：∵点分别是和的中点， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴， ， ∴，； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位线的运用，难点不大，掌握中位线性质即可求解； （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解； （2）根据中位线性质可得是等腰三角形，即可求解； （3）在上取中点，连接，得是等腰直角三角形，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点是对角线的中点，点、分别是、中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，在上取中点，连接 ， ∵点、分别是、的中点，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ . 23. 在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】（1） （2）① ，；② （3） 【解析】 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； 【小问3详解】 解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为，直线与轴交于点，点是该直线上一点，点的横坐标为3m，作和． （1）点的坐标是 ，点的坐标是 ； （2）当点落在直线上时，求的面积； （3）当是直角三角形时，求的值； （4）当的面积是面积的一半时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）2 （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）根据交点坐标即可求解； （2）根据题意可得，作，即可求解； （3）当 时， 时，分类讨论即可； （4）题意得 ，，根据等式化简求值即可. 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴，则，得， ∴； ∵直线与轴交于点， ∴ 【小问2详解】 解：∵点落在直线上 ∴，将代入直线得 ，解得 ∴ 如图；作 ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵是直角三角形时，则 ，， ①当 时， ∵ ， ， ∴ ，解得 ②当 时， ∴ ∴,则 ∴，； 【小问4详解】 解：由题意得 ， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得 ∴直线的解析式为 ， 设直线与直线交于点，则 ∵ ∴ ∴； ∵ ∴， ∴， 即 或， 解得或. 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，直角三角形存在问题，面积问题，难点较大，需要具备对综合知识的理解运用能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $