精品解析：黑龙江海林市朝鲜族中学2025-2026学年高二下学期第三次考试（期末）数学试卷

2025-2026学年度 第二学期 高二年级数学学科第三次考试（人教版、选择性必修三、函数基本性质、导数） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则(　 　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和性质列方程求解即可 【详解】因为是偶函数，定义域为， 所以，且， 所以，且， 所以， 因为，所以 故选：A. 2. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是负相关，相关系数小于0， 图2和图4是正相关，相关系数大于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1， 由此可得． 3. 随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】因为随机变量服从两点分布，其中，则. 所以，故A选项正确； ，故C选项正确； ，故B选项正确； ，故D选项错误． 4. 学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该题目被正确批改为事件, 事件为调用甲系统，概率为，正确率为， 事件为调用乙系统，概率为，正确率为， 事件为调用丙系统，概率为，正确率为， 由全概率公式得：． 5. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】二项式项的公式r，对其进行整理，令的指数为0，建立方程求出的最小值 【详解】由题意的展开式的 ， 令 ，得，当 时，取到最小值5 故答案为C． 【点睛】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值． 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数在各段的单调性，由，分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为，则当时，即在上单调递减， 当时，则在上单调递增， 又， 若，即或时，由，则， 即或，解得或， 若，即时，由， 可得，即，解得或（舍去）， 所以或，又， 所以或， 综上可得或，即. 故选：A 7. 若曲线在处的切线与曲线也相切，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义先写出曲线在处的切线方程，再设出切线与曲线相切的切点并用它表示出切线方程，比较两式系数即可求得. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线的方程为①． 设直线与曲线切于点，， 此时直线方程为②， 比较①②两式得：所以， 把代入中，整理得：，解得，则． 故选：D． 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数的定义推导的关系式，对关系式两边求导得到满足的奇偶性相关等式；再结合导函数的轴对称条件推导的周期，最后利用周期与特殊点的导数值计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即， 两边求导，可得：，可得． 因为，所以的图象关于直线对称，则. 用代替，可得. 将代入中，可得①． 用代替可得②． 由②-①可得：. 所以是周期为8的周期函数. 所以. 因为的图象关于直线对称，所以. 在中，令，可得，解得，所以，即．故选C． 【点睛】方法归纳：本题为函数性质综合应用的典型题型，可记忆通用结论：可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数为偶函数；若函数满足，则函数图象关于直线对称；若函数同时满足对称性与奇偶性，可推导得到函数的周期，利用周期可将大自变量的函数值转化为已知的小自变量函数值求解. 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示： 月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 月份编号 1 2 3 4 5 销量/部 52 95 185 227 若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B. C. 与正相关 D. 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据表中数据求得样本中心，进而求得a，然后逐项判断. 【详解】由表中数据可知， 又因为回归方程为， 代入回归方程，解得， 所以， 解得， 由此知5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右， 将代入回归方程得， 因为，所以与正相关， 故选：BCD. 10. 已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项分布的定义判断A；求出概率判断B；求出期望和方差判断C，D即可. 【详解】对于A，每次取到白球的概率为，则，A正确； 对于B，，，则，B错误； 对于C，的可能取值为，， 则，又，则，C正确； 对于D，，而，则，D正确. 11. 对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案. 【详解】A.因为，所以令得，所以，故A正确； B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故B错误； C.，，而， 所以，， 由， ，，则，则，故C正确； 当时，，， 令，则，， 则，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个. 附：若，则，，. 【答案】8186 【解析】 【分析】根据求出概率，再乘以总数即可. 【详解】由题得，，则，， 则 因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（个）. 故答案为： 13. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 【答案】0 【解析】 【详解】由得：， 又，， ，， . 14. 已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，因为函数在区间上存在最值，所以，即，解得，故实数的取值范围是． 四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分） 15. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解； （2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解. 【小问1详解】 不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. 【小问2详解】 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述：若在上没有最大值，实数m的取值范围为． 16. 在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为. （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1），常数项为 （2） 【解析】 【分析】(1)推导二项展开式的通项公式，根据第4项与第5项的系数比值建立方程求解，令的指数为0确定常数项位置，代入通项计算得到常数项. (2)设第项为系数最大项，依据该项系数不小于相邻两项系数列不等式组，求解得到的整数值，代入通项得到系数最大的项. 【小问1详解】 二项展开式的通项为，其中. 第4项对应，系数为；第5项对应，系数为. 由题意得，化简得，即，解得. 令，解得，故常数项为. 【小问2详解】 设展开式中第项的系数最大，对应系数为，则需满足， 即， 化简第一个不等式得，解得； 化简第二个不等式得，解得. 由且，得，对应系数最大的项为. 17. 一个盒子中装有大小形状相同的4个乒乓球，其中白球有1个“优等球”和1个“良好球”，黄球中也有1个“优等球”和1个“良好球”，从中逐个不放回依次取球． （1）求三次取球中，相邻两次颜色都不相同的概率； （2）若取出白球即停止，求恰好有一个“优等球”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出不放回取3球的总情况数，再锁定相邻异色仅“白黄白、黄白黄”两种颜色排布，分别计算两种排布对应的取法数求和，最后用符合条件数除以总数得到概率； （2）按首次取出白球的位置分取1次、2次、3次三类互斥情况，每类分别计算全程恰好1个优等球的概率，最后将三类概率相加得到总概率. 【小问1详解】 设白球的“优等球”记为，白球的“良好球”记为； 黄球的“优等球”记为，黄球的“良好球”记为． 设三次取球中，相邻两次颜色不相同的事件为． ， 事件只能是黄白黄或白黄白两种模式， ， 所以． 【小问2详解】 取球的次数可能为一次，两次或三次． 设当取球次数为一次，恰有一个“优等球”的事件为， ． 设当取球次数为两次，恰有一个“优等球”的事件为， ， 设当取球次数为三次，恰有一个“优等球”的事件为， ， 所以恰有一个“优等球”的概率为． 18. 某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立． （1）在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表 得分分 得分分 合计 先在点投篮 20 5 25 先在点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？ （2）小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3． （ⅰ）求小明第一次投中的概率； （ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望． 参考公式：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关 （2）（ⅰ）0.5； （ⅱ） 0 2 3 4 6 ． 【解析】 【分析】（1）由题设及独立性检验知识可完成判断； （2）（i）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E，然后由全概率公式可得答案； （ii）由题可得可取0，2，3，4，6，据此可得分布列及期望. 【详解】（1）零假设：投篮得分与第一次投篮点的选择无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 因此认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关，此推断犯错误的概率不超过0.01． （2）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E， 则，，，． （ⅰ）， 所以小明第一次投中的概率为0.5． （ⅱ）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6， 则， ， ， ，， 所以的分布列为 0 2 3 4 6 所以． 19. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有两个零点，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）时，要使，即使， 因此要证明. ， 设，则， 则在上单调递增， 又因为，，则存在使得， 因此时，时，. 所以在单调递减，在单调递增. 因为，所以，即. . 对两边同时取对数得，所以，所以成立. 【解析】 【分析】(1)利用导数求得该点切线斜率求解. (2)通过构造函数求得关于的函数，利用导数求解单调性判断的范围. (3)通过构造函数并假设一点使得在该点导函数为求解函数极值. 【小问1详解】 因为，所以，，因为，所以切线方程为. 【小问2详解】 ，令，解得. ，所以，时，时，， 所以在单调递减，在单调递增. 因为，且时，，时，， 所以 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度 第二学期 高二年级数学学科第三次考试（人教版、选择性必修三、函数基本性质、导数） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则(　 　) A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线在处的切线与曲线也相切，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示： 月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 月份编号 1 2 3 4 5 销量/部 52 95 185 227 若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B. C. 与正相关 D. 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部 10. 已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个.现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（ ） A. B. ， C. D. ， 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为______个. 附：若，则，，. 13. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 14. 已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是_____________． 四、解答题（15题13分16，17题15分18、19题17分，共77分） 15. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 16. 在二项式的展开式中，第项与第项的系数比为. （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 17. 一个盒子中装有大小形状相同的4个乒乓球，其中白球有1个“优等球”和1个“良好球”，黄球中也有1个“优等球”和1个“良好球”，从中逐个不放回依次取球． （1）求三次取球中，相邻两次颜色都不相同的概率； （2）若取出白球即停止，求恰好有一个“优等球”的概率． 18. 某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立． （1）在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表 得分分 得分分 合计 先在点投篮 20 5 25 先在点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？ （2）小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3． （ⅰ）求小明第一次投中的概率； （ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望． 参考公式：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有两个零点，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $