黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

1 2 3 4 5 6 7 8 B A C A B D B D 9 10 11 AD ACD ACD 12. -2; 13.; 14. 15．(1) (2) （1）已知是二次函数，设， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 16．(1)； (2)①；②见解析. （1）因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； （2）①因为， 所以； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 17. （1）证明略 （2） 18.（1）解：当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. （2）解：由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. （3）解：当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为 19.（1）函数的定义域为，求导得， 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增； 若，，即函数在上单调递增； 若，即时，由可得或，由可得， 即函数在上单调递减，在 和上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在 和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，要使既有极大值又有极小值，需使或. 当时，的极大值为，的极小值为， 依题意，，因，可得（*）， 设，则， 即函数在上单调递减，故，即，这与（*）矛盾，舍去； 当时，的极小值为，的极大值为， 依题意，，因，可得（**）， 由上分析，易得函数单调递减， 故，即，符合（**）. 综上可得，的取值范围为. （3）要证，且，即证， 又因为． 故只需证明在上恒成立. 令，则． 当时，，；当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴，当且仅当时等号成立. ，当且仅当时取等号． 由得，由对数函数及可知， 函数与有唯一交点，因此方程有唯一解.    所以不等式在上恒成立. 令，∴， ∴在上单调递增，，即在上恒成立. . 因此不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学2024级高二下学期期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知正数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知实数，，满足，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义域为的偶函数，，且当时，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 8．已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．） 9．下列说法正确的有（ ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的最小值为 C．函数的递减区间是 D．若幂函数过点，则 10．已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A．为奇函数 B． C． D． 11．已知函数，下列说法正确的是（ ） A．当，时，函数的极大值为 B．当，时，函数存在零点 C．当，不等式恒成立，则的取值范围为 D．若函数与的图象有交点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．若函数，在时取得极大值，则的值为_____________． 13．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为_____________． 14．已知函数有两个极值点，，则实数的取值范围为___________；若，则的最大值为_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．） 15．（本小题满分13分） 已知二次函数满足条件，且． （1）求函数的解析式； （2）若函数，，记函数的最小值，求的解析式． 16．（本小题满分15分） 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）设函数； ①求的值； ②证明函数的图象关于点对称． 17．（本小题满分15分） 数列的前项和为，已知，，成等差数列． （1）证明数列是等比数列； （2）若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 18．（本小题满分17分） 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若既有极大值又有极小值，且极大值与极小值之和小于，求的取值范围； （3）证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $