1.4充分条件与必要条件 同步练-2026年暑假预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦充分条件与必要条件，通过基础判断、集合应用到含参综合的三阶分层设计，强化逻辑推理与数学表达，适配暑假自主巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充分必要条件定义及简单判断|以单选题为主（1-5题），通过具体不等式（如x>3与x>2）强化“有它就行”“缺它不行”的直观理解| |进阶层|集合观点与四种逻辑关系|结合集合包含关系（如P⫋Q），单选题（6-10题）与填空题（16-18题）训练符号表示与自然语言转换| |综合层|含参问题与充要条件应用|解答题（21-25题）及单选题（11-15题）设置参数范围问题，培养从数学眼光分析条件关系的能力，落实推理意识|

1.4充分条件与必要条件 一、命题的基本结构 在数学中，通常把形如“若 ，则 ”的语句叫作命题。 ：条件（题设） ：结论 例：若，则 。 二、充分条件、必要条件的定义 关系 符号表示 自然语言 记忆口诀 充分性 p⇒q p是 q的充分条件 有它就行（p成立，q一定成立） 必要性 q⇒p p是 q的必要条件 缺它不行（p不成立，q一定不成立） 注意： “充分”强调够用，不需要其他条件； “必要”强调必须，但仅有它不一定够用； 判断时，先看箭头方向，再看谁是谁的条件。 三、四种常见逻辑关系（重点） 设命题为“若 ，则 ”，分四种情况讨论： 1. 充分不必要条件 条件：，但 q ⇏p 含义：p能推出 q，但 q推不出 p 集合解释：P⫋Q（P是 Q的真子集） 例：p:x>3，q:x>2 2. 必要不充分条件 条件：q⇒p，但 p ⇏q 含义：p推不出 q，但 q能推出 p 集合解释：Q ⫋P 例：p:x>1，q:x>3 3. 充要条件（等价条件） 条件：p⇔q（即 p⇒q且 q⇒p） 含义：互相推出，完全等价 集合解释：P=Q 例：p: x−1=0，q: x=1 4. 既不充分也不必要条件 条件：p ⇏q且 q ⇏p 集合解释：P与 Q互不包含 例：p: x>0，q: x<−1 四、集合观点：充要条件的本质（非常直观） 设，，则： 1. 2. 3. 这是判断充分必要条件的最强工具，尤其是含参不等式问题，优先用集合包含关系来做。 五、常用判断方法 1. 定义法（直接推理） ① 分清谁是 p，谁是q； ② 尝试推 ； ③ 再尝试推 ； ④ 根据结果下结论。 2. 集合法（强烈推荐）：将条件转化为解集，看解集的包含关系。 3. 逆否命题法：因为 ，有时反着推更容易。 六、典型例题思路 例1（基本判断） 已知 ，，则 p 是 q 的什么条件？ 解： 或 ，故 ； 而 成立。 结论：p 是 q 的必要不充分条件。 例2（集合法） 已知 p:|x|<2，，判断 p 是 q 的什么条件。 解：，，显然 结论：p 是 q 的充分不必要条件。 例3（含参数） 若“x>a”是“x>3”的充分不必要条件，求 a 的范围。 解： 充分不必要 ，故 a>3。 一、单选题 1．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 10．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 12．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 13．“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 14．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 16．“”是“”的_________条件.（选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”） 17．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 18．已知是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 19．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 20．已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 三、解答题 21．已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 22．设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. (1)若p为真，求m的取值范围； (2)若p为假且q为真，求m的取值范围. 23．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 24．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 25．已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4充分条件与必要条件 一、命题的基本结构 在数学中，通常把形如“若 ，则 ”的语句叫作命题。 ：条件（题设） ：结论 例：若，则 。 二、充分条件、必要条件的定义 关系 符号表示 自然语言 记忆口诀 充分性 p⇒q p是 q的充分条件 有它就行（p成立，q一定成立） 必要性 q⇒p p是 q的必要条件 缺它不行（p不成立，q一定不成立） 注意： “充分”强调够用，不需要其他条件； “必要”强调必须，但仅有它不一定够用； 判断时，先看箭头方向，再看谁是谁的条件。 三、四种常见逻辑关系（重点） 设命题为“若 ，则 ”，分四种情况讨论： 1. 充分不必要条件 条件：，但 q ⇏p 含义：p能推出 q，但 q推不出 p 集合解释：P⫋Q（P是 Q的真子集） 例：p:x>3，q:x>2 2. 必要不充分条件 条件：q⇒p，但 p ⇏q 含义：p推不出 q，但 q能推出 p 集合解释：Q ⫋P 例：p:x>1，q:x>3 3. 充要条件（等价条件） 条件：p⇔q（即 p⇒q且 q⇒p） 含义：互相推出，完全等价 集合解释：P=Q 例：p: x−1=0，q: x=1 4. 既不充分也不必要条件 条件：p ⇏q且 q ⇏p 集合解释：P与 Q互不包含 例：p: x>0，q: x<−1 四、集合观点：充要条件的本质（非常直观） 设，，则： 1. 2. 3. 这是判断充分必要条件的最强工具，尤其是含参不等式问题，优先用集合包含关系来做。 五、常用判断方法 1. 定义法（直接推理） ① 分清谁是 p，谁是q； ② 尝试推 ； ③ 再尝试推 ； ④ 根据结果下结论。 2. 集合法（强烈推荐）：将条件转化为解集，看解集的包含关系。 3. 逆否命题法：因为 ，有时反着推更容易。 六、典型例题思路 例1（基本判断） 已知 ，，则 p 是 q 的什么条件？ 解： 或 ，故 ； 而 成立。 结论：p 是 q 的必要不充分条件。 例2（集合法） 已知 p:|x|<2，，判断 p 是 q 的什么条件。 解：，，显然 结论：p 是 q 的充分不必要条件。 例3（含参数） 若“x>a”是“x>3”的充分不必要条件，求 a 的范围。 解： 充分不必要 ，故 a>3。 一、单选题 1．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 2．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 3．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据计算出的值，然后根据互相推出关系判断出结果. 【详解】因，即，故得或，解得或， 所以“”可以推出“”，但“”无法推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，再根据充分必要条件进行判断即可得结论. 【详解】由可得，解得， 因为由“”推不出“”，且由“”推不出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立， 若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. 6．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 7．已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 8．已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由推不出，比如，则充分性不成立； 当时，由于，则，所以，则必要性成立. 则p是q的必要不充分条件. 故选：B 9．下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 10．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 11．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【详解】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 12．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 13．“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为，解得答案. 【详解】，，即. 故选：. 【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力. 14．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集即可求解. 【详解】，， 即“”是“” 必要不充分条件. 故选：B. 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，得，从而得到答案. 【详解】由，得，所以“”是“”的充要条件. 故选：C 二、填空题 16．“”是“”的_________条件.（选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件和必要条件得定义即可得解. 【详解】由可得，故充分性成立， 由，当，，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 17．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解. 【详解】因为命题“”是命题“”的充分不必要条件， 所以集合真包含于集合， 又集合，集合， 所以. 故答案为： 18．已知是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得：，故，解得：, 故实数的取值范围是. 故答案为： 19．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为______． 【答案】． 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题可得：，， 因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集； 所以，解得：， 检验：时，，满足条件； 时，，满足条件； 所以综上，实数的取值范围为：； 故答案为： 20．已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 故答案为： 三、解答题 21．已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【详解】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：的取值集合为. 22．设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. (1)若p为真，求m的取值范围； (2)若p为假且q为真，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据命题的真假，结合一元二次方程根的判别式的情况求解即可. 【详解】（1）由题意若p为真，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以， 即或， 所以m的取值范围为或. （2）由题意若q为真，则关于x的方程无实数根， 所以， 即， 因为p为假且q为真， 故， 即， 综上所述，m的取值范围为. 23．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出； （2）由题意得，然后列不等式组可求得答案. 【详解】（1）当时，， 所以或， 因为， 故或. （2）因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 24．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）由题意得到是的真子集，再通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）， 因为， 所以当时，， 解得， 当时，，解得,此时或， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）由若命题是命题的必要不充分条件，可化为命题是命题的必要不充分条件， 即是的真子集， 所以当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 25．已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $