14.2 全等三角形的性质和判定 第二课时 学案 2025--2026学年人教版八年级数学上册

: 全等三角形 的性质与判定 (二) 考纲要求 【重点】：①熟练掌握三角形全等的四种判定公理（或定理) 【难点】：①三角形全等的四种判定公理（或定理） ②熟练、准确、规范、耐心的书写各步证明过程！！极其重要！ 课前预习 【引例】【南宁中考题】★★ 如图，己知R△ABC≌R△ADE,∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F,联结CD、 EB, (1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举. (2)求证：CF=EF. 【分析】(I)△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF (2)联结AF,由RIA ABC≌Rt△ADE 得AB=AD,BC=DE,故可证得RIA ABF≌RADF(HL), 所以有BF=DF,BC-BF=DE-DF,即CF=EF. 模块一 多次全等的证明 知识要点 全等三角形的判定法则： 两个三角形中对应相等 是否全等 公理或推论 的边或角 全等：√；不全等 (简写) 三条边 SSS 两边夹角 √ SAS 两边一角 两边与其中一边对角 存在特殊情况 两角和夹边 √ ASA 两角一边 两角与其中一角对边 AAS 三角 在全等三角形的学习中，经常需要进行多次全等证明.当我们要判定的一组三角形，它的 全等条件不足时，通常可以先证明图中另外一组三角形全等，借此得到一些边与角的等量关系. 例题精讲 【例题1】★★ 如图，AB=AC,BH=CH,图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？ 【例题2】★★★ 己知：如图，AD、BC、EF交于点O,且AO=OD,BO=OC,EO=OF,求证： △AEB≌△DFC, 【例题3】★★★★ 已知：如图，OA=OB,点C、D分别在OA、OB上，且OC=OD,AD、BC交于E. 求证：OE平分∠AOB. ⊙ D B 模块二 基本角度模型 知识要点 在全等证明中，我们经常需要寻找两个三角形之间的角度关系.此时，往往需要结合题目中的垂直等条件， 进行角度的一系列推导.应用“同角（等角）的余角相等”，我们可以得到一些有用的角度结论. 以下，我们总结几个基本角度结论： 垂直棋型 图 形 理由 基本结论 ∠1+∠2=90° 一点双垂直 ∠2+∠3=90° ∠1=∠3 所以∠1=∠3 一点双垂直 ∠1+∠2=180° ∠1+∠2=180° ∠1+∠B=90° ∠2+∠D=90° 沙漏模型 而∠1=∠2 ∠B=D 所以∠B=∠D ∠1+∠3=90° 双高模型 ∠2+∠3=90° ∠1=∠2 所以∠1=∠2 3 ∠1+∠2=90° ∠2+∠3=90° ∠3+∠4=90° ∠1=∠3 射影模型 所以∠1=∠3 ∠2=∠4 ∠2=∠4 【编者注】：学生版此处“理由”与“结论”栏均为空白，需各位老师带领学生进行总结， 例题精讲 【例题4】★ 已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE,交BC的延长线 于点F. 求证：DE=DF, y D E B C F 【例题5】★★ 知：如图，AB∥DC,AB=DC,AE⊥AD,AF⊥AB,AE=AD,AB=AF,求证： AC=EF, 【例题6】★★★ 如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是BC中点，ED⊥FD,ED与AB交于E,FD 与AC交于F.求证：BE=AF,AE=CF. D 【例题7】★★★ (①)如图I,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC, 点2在CE上，CQ=AB.求证：AP=A0且AP⊥A犯 (②)如图2，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC; 点在CE的延长线上，且CO=AB,求证：AP=A0且APLA0. A P D E 2 B 图1 图2 【编者注】：细心的学生会发现，这两题实质上是一样的，区别是一个是Q点在高上，一个是在高的延长 线上.试学生的做题情况，老师可自己分析一题，让学生来证明另一问. 【例题8】★★★★ 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于D,AE⊥BC于E交BD于 G,FG∥AC交BC于点F,联结DF.求证：DF⊥BC. D 【例题】★★★★★ 【自招A】 已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E, 与CD相交于点F.H是BC边的中点，联结DH与BE相交于点G. CE=-BF (I)求证：BF=AC;(2)求证：2，(3)CE与BG大小关系如何？试证明你的结论 课后作业 【练习1】 如图，AB=DC,AC=DB,写出图形中所有的全等三角形并加以证明， B 【练习2】 (I)如图1，已知A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF, AC=BD 求证：CF=DE. (②)如图2，EB⊥CD,BE=DE,AE=CE，,求证：DA⊥BC. y E 图2 【练习3】如图，己知△4BC中，∠ABC=45°，AC=4,H是高AD和BE的交点，求线段BH的长度. E B D C 【练习4】已知：如图所示，AB=AC,DB=DC, ()若E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EH=FG. (2②)若联结AD、BC交于点P,问AD、BC有何位置关系？证明你的结论. 【练习5】(I)如图1，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证：BD=CE】 (②)如图2，△ABC中，AB=AC,，BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD⊥BD于D, AE⊥CE于E.求证：AD=AE. 3)如图3，△ABC中，AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，DG⊥BC于G, EH⊥BC于H.求证：DG=EH. 图1 图2 图3 【练习6】 如图，AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M,AN⊥BE于N. 求证：AM=AW. 试题拓展 【拓展1】 如图所示，己知在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任意一点，AE⊥CD 于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,CH⊥AB于H,交AE于G.求证：BD=CG. 【拓展2】 如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,联结EG,试 判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由. 、G M 分 【拓展3】已知：如图，△ABC中，AB=AC,D为BC上任一点，DF⊥AB,DE⊥AC,CH⊥AB. 求证：CH=DF+DE,: 全等三角形 的性质与判定 (二) 考纲要求 【重点】：①熟练掌握三角形全等的四种判定公理（或定理) 【难点】：①三角形全等的四种判定公理（或定理） ②熟练、准确、规范、耐心的书写各步证明过程！！极其重要！ 课前预习 【引例】【南宁中考题】★★ 如图，己知R△ABC≌R△ADE,∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F,联结CD、 EB, (1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举. (2)求证：CF=EF. 【分析】(I)△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF (2)联结AF,由RIA ABC≌Rt△ADE 得AB=AD,BC=DE,故可证得RIA ABF≌RADF(HL), 所以有BF=DF,BC-BF=DE-DF,即CF=EF. 模块一 多次全等的证明 知识要点 全等三角形的判定法则： 两个三角形中对应相等 是否全等 公理或推论 的边或角 全等：√；不全等 (简写) 三条边 SSS 两边夹角 √ SAS 两边一角 两边与其中一边对角 + 存在特殊情况 两角和夹边 √ ASA 两角一边 两角与其中一角对边 AAS 三角 在全等三角形的学习中，经常需要进行多次全等证明.当我们要判定的一组三角形，它的 全等条件不足时，通常可以先证明图中另外一组三角形全等，借此得到一些边与角的等量关系】 例题精讲 【例题1】★ 如图，AB=AC,BH=CH,图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？ 【分析】 有三组； AB=AC(已知)】 在 和 中 BH=CH(已知) △ABH△ACH AH=AH(公共边) :△ABH≌△ACH(S.S.S):∠BAH=∠CAH,∠BHA=∠CHA(全等三角形对应角相等) AB=AC(已知) 在 和 中 ∠BAD=∠CAD(已证) △ABD△ACD AD=AD(公共边) △ABD≌△ACD(S.A.S) BH=CH(已知) 在 和 中 ∠BHD=∠CHD(已证) △DBH△DCH DH=DH(公共边) △DBH≌△DCH(S.A.S) 【例题2】★★★ 已知：如图，AD、BC、EF交于点O,且AO=OD,BO=OC,EO=OF,求证： △AEB≌△DFC, 【分析) 易证得△AOB≌△DOC(SAS) .AB=CD,LBAO=∠CD0(全等三角形对应边相等，对应角相等) 又由△AOE≌△D0F(S.AS) AE=DF∠OAE=∠ODF (全等三角形对应边相等，对应角相等) .∠EAB=∠FDC(等式性质) AE=DF 在 与 中 ∠BAE=LCDF. （) △AEB△DCF AB=DC △AEB≌△DFCS.A.S 【例题3】★★★★ 已知：如图，OA=OB,点C、D分别在OA、OB上，且OC=OD,AD、BC交于E. 求证：OE平分∠AOB. O D 【分析】 <法一>： 易证得△A0D≌△BOC(S.AS)“∠A=∠B(全等三角形对应角相等) ~OA-OC=OB-OD(等式性质)，即AC=BD 「∠A=∠B 在 与 中 ∠CEA=∠DEB △CEA△DEB AC=BD △CEA≌△DEB(A.A.S) ∴.AE=BE(全等三角形对应边相等) 故可证得△AE0≌△BE0(S.S.S) “.∠AOE=∠BOE(全等三角形对应角相等)“OE平分∠AOB(角平分线定义)· <法二>： 联结AB,易证得△AOD≌△BOC(S.AS),∠OAE=∠OBE,又∠OAB=∠OBA, ∠EAB=∠EBA,即AE=BE(等角对等边)，故可证得△AEO≌△BEO(SS.S) 模块二 基本角度模型 知识要点 在全等证明中，我们经常需要寻找两个三角形之间的角度关系.此时，往往需要结合题目中的垂直等条件， 进行角度的一系列推导.应用“同角（等角）的余角相等”，我们可以得到一些有用的角度结论. 以下，我们总结几个基本角度结论： 垂直模型 图 形 理由 基本结论 ∠1+∠2=90° 一点双垂直 ∠2+∠3=90° ∠1=∠3 所以∠1=∠3 一点双垂直 ∠1+∠2=180° ∠1+∠2=180° ∠1+∠B=90° ∠2+∠D=90° 沙漏模型 而∠1=∠2 ∠B=∠D 所以∠B=∠D 1 ∠1+∠3=90° 双高模型 ∠2+∠3=90° ∠1=∠2 所以∠1=∠2 2 3 ∠1+∠2=90° 3 ∠2+∠3=90° ∠1=∠3 射影模型 ∠3+∠4=90° 所以∠1=∠3 ∠2=∠4 ∠2=∠4 【编者注】：学生版此处“理由”与“结论”栏均为空白，需各位老师带领学生进行总结. 例题精讲 【例题4】★ 已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE,交BC的延长线 于点F, 求证：DE=DF. C 【分析】 ∠ADC=∠EDF.∠ADE=∠CDF(同角的余角相等) 易证△ADE≌△CDF(MS.A,DE=DF(全等三角形对应边相等) 【例题5】★★ 知：如图，AB∥DC,AB=DC,AE⊥AD,AF⊥AB,AE=AD,AB=AF.求证： AC=EF, 【分析】 易证△ADC≌△CBA(S.AS),故AD/IBC且AD=CB,由AD1/BC,得∠DAB+∠B=180°， 又∠DAE=∠BAF=90°，得 ∠DAB+∠EAF=180°， ∠CBA=∠EAF,则 △ABC≌△FAE(S.A.S) AC=FE 【例题6】★★★ 如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是BC中点，ED⊥FD,ED与AB交于E,FD 与AC交于F.求证：BE=AF,AE=CF. A 【分析】 联结AD」 易证△ABD≌△ACD(S.SS),故有∠BAD=∠CAD=45,∠ADB=∠ADC=90°， 所以有BD=AD=CD,AD⊥BC 又由∠BDE+∠ADE=90°，∠ADF+∠ADE=90°，故有LBDE=∠ADF 可证得△BDE≌△ADF(A.SA),:BE=AF,又：AB=AC,AE=CF 【例题7】★★★ (I)如图1，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC, 点在CE上，CQ=AB.求证：AP=A0且AP⊥A0. 2②)如图2，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC; 点O在CE的延长线上，且CO=AB.求证：AP=A0且AP⊥A0. P 图1 图2 【分析】)：BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，·∠BDA=∠CEA=90° 在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD=90°；在△AEC中，∠ACE+∠CAE=90°， ,∴∠ABD+∠BAD=LACE+LCAE而∠BAD=∠CAE,·∠ABD=∠ACE, 即∠ABP=∠QCA(同角的余角相等) AB=OC 在 与 中 ∠ABP=∠QCA △ABP△QCA BP=CA .△ABP≌△OCA(S.A.S) “.AP=Ag(全等三角形对应边相等) ∠P=∠CA0(全等三角形对应角相等) 又：∠P+∠PAD=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠CA0+∠PAD=90°（等量代换） 即AP⊥AQ (2)证明方法完全同1). 【编者注】：细心的学生会发现，这两题实质上是一样的，区别是一个是点在高上，一个是在高的延长 线上.试学生的做题情况，老师可自己分析一题，让学生来证明另一问， 【例题8】★★★★ 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于D,AE⊥BC于E交BD于 G,FG∥AC交BC于点F,联结DF.求证：DF⊥BC, G E 【分析】 易证得∠BAG=∠ACE(同角的余角相等) 又：FG∥AC,∴∠ACE=∠BFG(两直线平行，同位角相等)∠BAG=∠BFG ∠BAG=∠BFG(已证) 在 和 中 ∠ABG=∠FBG(角平分线意义) △BAG△BFG BG=BG(公共边) ∴△BAG≌△BFG(A.A.S) ∴BA=BF(全等三角形的对应边相等) 故可证得△BAD≌△BFD(S.ALS) ∴∠BFD=∠BAD=90°（全等三角形的对应角相等）即DF⊥BC 【例题9】★★★★★ 【自招A】已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E, 与CD相交于点F,H是BC边的中点，联结DH与BE相交于点G. (①)求证：BF=AC:(2)求证： ；(3)CE与BG大小关系如何？试证明你的结论. 【分析】 L),R△DBF中，∠DBF+∠DFB=9O°；R△EFC中，∠ECF+∠EFC=90°； .·∠DFB=∠EFC,.∠DBF=∠ECF 故可证得△BFD≌△CAD(A.SA),BF=CA 包易证得△B51≌△BC(45,故北=CE=CAr )联结CG,易证得△B1G≌△CHG(S.M4S),故有BG=CG, 而在Rt△ECG中，CG>CE,故BG>CE. 课后作业 【练习1】如图，AB=DC，AC=DB,写出图形中所有的全等三角形并加以证明. B 【分析】 易证：△ABC≌△DCB(S.SS),△ABD≌△DCA(S.SS),则有∠ABD=∠DCA, 所以有△AB0≌△DCO(AA.S) 【练习2】(I)如图1，已知A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF, AC=BD 求证：CF=DE. (2)如图2，EB⊥CD,BE=DE,AE=CE,求证：DA⊥BC. 图1 图2 【分析】 】()易证得RIA ACE≌R△BDF(HL),故有CE=DF,∠AEC=∠BFD, 所以∠CEF=∠DFE(等角的补角相等)，可证得△CEF≌△DFE(SAS),:CF=DE (2)延长DA与BC交于点F.BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEA=90° 「BE=DE 在和 中 ∠BEC=∠DEA △BEC△DEA CE=AE .△BEC≌△DEA(S.A.S) ∴.∠B=∠D(全等三角形对应角相等) ∠B+∠C=90°∴∠D+∠C=90°. ∠CFD=9O°，即DA⊥BC 【练习3】 如图，已知△MBC中，∠ABC=45°，AC=4,H是高AD和BE的交点，求线段BH的长度. D C 【分析】R△ABD中，∠ABD=45°，△ABD为等腰直角三角形，AD=BD 易证得∠HBD=∠CAD(同角的余角相等)，又：'∠BDH=∠ADC=90° 故可证得△BHD≌△ACD(ASA,:.BH=AC=4 【练习4】已知：如图所示，AB=AC,DB=DC, (I)若E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EH=FG. (2)若联结AD、BC交于点P,问AD、BC有何位置关系？证明你的结论. 【分折】易证得△MBD≌△1CDS5s,所以∠HBD=∠ACD,又BE=4B,CF=4C, 所以BE=CF,同理BH=CG,所以△BEH≌△CFG(S.A.S),所以EH=FG; ②)因为△ABD≌△ACD(SS.S),所以∠BAD=∠CAD,故可证得△ABP≌△ACP(S.A.S) 所以BP=CP,∠APB=∠APC=90°，即AD垂直平分BC. 【练习5】(I)如图1，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证：BD=CE. (2)如图2，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD⊥BD于D, AE⊥CE于E.求证：AD=AE. (3)如图3，△ABC中，AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，DG⊥BC于G, EH⊥BC于H.求证：DG=EH. G B 图1 图2 图3 【分析】(I):∠BAC=∠DAE·∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE 故可证得△ABD≌△ACE(S.AS):BD=CE(全等三角形的对应边相等) (②)：AB=AC,.∠ABC=∠ACB:∠ABG+∠ABC=180°，∠ACH+∠ACB=180 :.∠ABG=∠ACH.:BD、CE是角平分线.∠DBA=∠ECA. 在△ABD与△ACE中，AD⊥BD,AE⊥CE.·∠D=∠E=90 AB=AC,∠DBA=∠ECA,∠D=∠E,△ABD≌△ACE(AA.S）,AD=AE. 3):D、E分别是AB、AC的中点又：AB=AC,DB=EC. AB=AC,.∠B=∠C:DG⊥BC,EH⊥BC.∠DGB=∠EHC=90°（垂直定义）· [∠DGB=∠EHC 在和 中 ∠B=∠C △DGB△EHC DB=EC △DGB≌△EHC(A.A.S) ,:.DG=EH(全等三角形对应边相等). 【练习6】如图，AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M,AN⊥BE于N. 求证：AM=AW, D 【分析】<法一>： :AB=AC,.∠ABC=∠ACB :D、E是AB、AC的中点，DB=EC,AD=AE. 在△DBC与△ECB中，BC=CB,∠DBC=∠ECB,DB=EC :.△DBC≌△ECBS.AS).:∠BDC=∠CEB'∠ADM=∠BDC,∠AEN=∠CEB, :.∠ADM=∠AEN.在△AMD与△ANE中，∠M=∠N=90° AD=AE,∠ADM=∠AEN,△MMD≌△ANE(AAS),AM=AN. <法二>： :AB=AC,:D、E是AB、AC的中点， .AD=AE.在△DAC与△EAB中，AB=AC AE=AD,∠DAC=∠EAB,.△DAC≌△EAB(S.AS),∠ACD=∠ABE. AM⊥CD于M,AN L BE于N. .∠M=∠N=90°，在△AMC与△ANB中，AC=AB,∠ACM=∠ABN,∠M=∠N,. △AMC≌△ANB,:.AM=AN. 试题拓展 【拓展1】 如图所示，己知在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任意一点，AE⊥CD 于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,CH L AB于H,交AE于G.求证：BD=CG, 【分析】 易证∠GAH=∠GCE(同角或等角的余角相等)， 又∠CAG=45°-∠GAH,∠BCD=45°-∠GCE,故∠CAG=∠BCD ∠GCA=∠DBC=45° 在 及 父 AC=CB △CAG△BCD ∠CAG=∠BCD .△CAG≌△BCD(A.S.A) .CG=BD 【拓展2】 如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,联结EG,试 判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由. 分 【分析】 △ABC与△AEG面积相等 过点C作CN⊥AB交BA延长线于N,过点G作GM⊥AE于M. 由∠CAN+∠BAC=180°，∠GAM+∠BAC=180°，得∠CAN=∠GAM, 故可证得△CAN≌△GAM(AAS),所以有CN=GM Sc号B-CW,及m=号4E-GM,S=5e 【拓展3】 已知：如图，△ABC中，AB=AC,D为BC上任一点，DF⊥AB,DE⊥AC,CH⊥AB. 求证：CH=DF+DE, H D 【分析】 <法一>： 作DG⊥HC于G,则四边形DFHG为长方形.故有DF=HG,即证DE=CG.易证得 DGIIAB,故∠B=∠GDC,又由AB=AC,得∠B=∠ECD,，∴∠GDC=∠ECD,可证得 △GDC≌△ECD(A.A.S),CG=DEDF+DE=HG+CG=CH,得证. <法二>： 面积法，易证.