14.2.三角形全等的判定 【暑假讲义】2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.2三角形全等的判定（原卷版） 学习目标导航 1、 掌握全等三角形中SAS判定全等方法的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 2、 掌握ASA、AAS的定义以及判定方法，能够熟练掌握由已知条件选择合适的方法判定三角形的全等。 3、 掌握全等三角形中的SSS判定全等的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 4、 掌握作图的基本步骤，能够熟练的按要求作图 5、掌握HL的定义以及判定方法，并能够熟练应用； 洞悉◆教材知识 知识点01 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 知识点02 角边角（ASA）判定三角形全等 1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角及其夹边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 知识点03 角角边（AAS）判定三角形全等 1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 知识点04 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 知识点05 用直尺与圆规作三角形 1. 尺规作图的基本定义： （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同。 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度。 2. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 知识点06 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 知识点07 用直尺和圆规作直线的平行线 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 知识点08 斜边与直角边（HL）判定直角三角形全等 1. 斜边与直角边（HL）判断全等的概念： 直角三角形的 斜边与其中一条直角边 对应相等的两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 知识点09 全等三角形判定方法的灵活应用 1. 全等三角形判定方法的灵活应用： 针对不同的已知条件，所选择求证的第三个已知条件也不同，总结如下： 核心题型◆归纳 题型01 添加条件形成SAS的全等判定方法 题型02 判定全等的依据—SAS 题型03 用SAS判定证明全等 题型04 添加条件形成ASA的全等判定方法 题型05 添加条件形成AAS的全等判定方法 题型06 判定全等的依据—ASA 题型07 判定全等的依据—AAS 题型08 用ASA判定证明全等 题型09 用AAS判定证明全等 题型10 添加条件形成SSS的全等判定方法 题型11 判定全等的依据—SSS 题型12 用SSS判定全等 题型13 作图步骤的判断与熟悉 题型14 作图依据的判断 题型15 按要求作图 题型16 添加条件形成“HL”的全等判定方法 题型17 判定全等的依据—HL 题型18 用“HL”判定证明全等 题型19 全等三角形的判定与性质 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 添加条件形成SAS的全等判定方法 【典例1】如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，BE＝CF，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A．AF＝DE B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC 【变式1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB 题型02 判定全等的依据—SAS 【典例1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点O，添加条件AB＝DC后，可使得△ABC≌△DCB成立，则判断△ABC和△DCB全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式1】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 题型03 用SAS判定证明全等 【典例1】如图，点F，C在线段BE上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝EC．△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF． 题型04 添加条件形成ASA的全等判定方法 【典例1】如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，若用“ASA”判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是 　 　 ． 【变式1】如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D 题型05 添加条件形成AAS的全等判定方法 【典例1】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需添加条件（　　） A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 　 　 ． 题型06 判定全等的依据—ASA 【典例1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．HL 【变式1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 题型07 判定全等的依据—AAS 【典例1】如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（　　） A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS 题型08 用ASA判定证明全等 【典例1】如图，已知A、B、D、E在同一直线上，AD＝BE，BC∥EF，∠A＝∠EDF，求证：△ABC≌△DEF． 【变式1】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 题型09 用AAS判定证明全等 【典例1】如图，点A，D，C，F在同一直线上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 【变式1】如图，点E，F在AC上，AB∥CD，∠B＝∠D，且AF＝CE． （1）△ABE与△CDF全等吗？请说明理由； （2）BE与DF平行吗？为什么？ 题型10 添加条件形成SSS的全等判定方法 【典例1】如图，△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用SSS证明△ACE和△BDF全等需要增加一个条件是（　　） A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 【变式1】如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对 题型11 判定全等的依据—SSS 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式1】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，过点A，C画一条射线AE，利用全等三角形的性质就能说明射线AE是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 题型12 用SSS判定全等 【典例1】如图，已知点A，E，F，D在同一条直线上，AF＝DE，BE＝CF，AB＝CD．求证：△ABE≌△DCF． 【变式1】已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，求证：△ABC≌△BAD． 题型13 作图步骤的判断与熟悉 【典例1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【变式1】尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求． ②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D； ④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ⑤如图3，画射线O′A′．则正确的作图顺序为（　　） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 题型14 作图依据的判断 【典例1】仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 题型15 按要求作图 【典例1】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，线段a，c，∠α． 求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 【变式1】如图，在△ABC中，BC＝6． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长． 题型16 添加条件形成“HL”的全等判定方法 【典例1】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【变式1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．∠ADB＝∠CBD D．AB＝CD 题型17 判定全等的依据—HL 【典例1】如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　） A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 【变式1】如图，AC⊥BC，DF⊥EF，AC＝DF，AB＝DE，则判定Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．HL D．AAS 题型18 用“HL”判定证明全等 【典例1】如图AB＝AE，BC＝ED，AB⊥BF，AE⊥EF，F是CD上一点，∠C＝∠D＝90°，证明：Rt△BCF≌Rt△EDF． 【变式1】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 题型19 全等三角形的判定与性质 【典例1】如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD． （1）求证：△ABC≌△BED； （2）若AC＝10，DE＝6，求DC的长． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 针对训练 三角形全等的判定；边边边(SSS) 1．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为__________． 3．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系： ， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 三角形全等的判定；边角边(SAS) 4．如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 5．如图，平分，下列添加的一个条件不能使得（要求：不添加辅助线）的是（   ） A． B． C． D． 6．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 7．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．当P，Q，C三点共线时，t的值为________． 8．如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 三角形全等的判定；角边角(ASA) 9．如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B．C． D． 10．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 11．木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 12．分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 13．如图，在四边形中，，，，则________°． 14．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 三角形全等的判定；角角边(AAS) 15．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A．B．C． D． 16．如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 17．如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 18．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 19．如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 ______． 20．如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） (2)在（1）问条件下，若，求证： 三角形全等的判定；斜边、直角边(HL) 21．如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 22．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 23．在和中，，下列条件中能利用判定的是（） A． B． C． D． 24．如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 25．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则______． 26．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2三角形全等的判定（解析版） 学习目标导航 1、 掌握全等三角形中SAS判定全等方法的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 2、 掌握ASA、AAS的定义以及判定方法，能够熟练掌握由已知条件选择合适的方法判定三角形的全等。 3、 掌握全等三角形中的SSS判定全等的定义和方法，能够根据题目的已知条件熟练的选择应用。 4、 掌握作图的基本步骤，能够熟练的按要求作图 5、掌握HL的定义以及判定方法，并能够熟练应用； 洞悉◆教材知识 知识点01 边角边（SAS）判定全等 1. 边角边（SAS）的概念： 若两个三角形有 两边及其夹角 对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 知识点02 角边角（ASA）判定三角形全等 1. 角边角（ASA）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角及其夹边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 知识点03 角角边（AAS）判定三角形全等 1. 角角边（AAS）判定三角形全等的概念： 若两个三角形的 两个角 及其 其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 知识点04 边边边（SSS）判定全等 1. 边边边（SSS）的概念： 若两个三角形的 三条边 分别对应相等，则这两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 知识点05 用直尺与圆规作三角形 1. 尺规作图的基本定义： （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同。 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度。 2. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 知识点06 用直尺和圆规作一个角等于已知角 1. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 知识点07 用直尺和圆规作直线的平行线 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 知识点08 斜边与直角边（HL）判定直角三角形全等 1. 斜边与直角边（HL）判断全等的概念： 直角三角形的 斜边与其中一条直角边 对应相等的两个三角形全等。 2. 数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 知识点09 全等三角形判定方法的灵活应用 1. 全等三角形判定方法的灵活应用： 针对不同的已知条件，所选择求证的第三个已知条件也不同，总结如下： 核心题型◆归纳 题型01 添加条件形成SAS的全等判定方法 题型02 判定全等的依据—SAS 题型03 用SAS判定证明全等 题型04 添加条件形成ASA的全等判定方法 题型05 添加条件形成AAS的全等判定方法 题型06 判定全等的依据—ASA 题型07 判定全等的依据—AAS 题型08 用ASA判定证明全等 题型09 用AAS判定证明全等 题型10 添加条件形成SSS的全等判定方法 题型11 判定全等的依据—SSS 题型12 用SSS判定全等 题型13 作图步骤的判断与熟悉 题型14 作图依据的判断 题型15 按要求作图 题型16 添加条件形成“HL”的全等判定方法 题型17 判定全等的依据—HL 题型18 用“HL”判定证明全等 题型19 全等三角形的判定与性质 针对训练 题型解析◆精准备考 题型01 添加条件形成SAS的全等判定方法 【典例1】如图，在△ABF和△DCE中，点E、F在BC上，BE＝CF，∠AFB＝∠DEC，添加下列一个条件后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE的是（　　） A．AF＝DE B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB＝DC 【答案】A 【解答】解：添加AF＝DE后能用“SAS”判定△ABF≌△DCE， 理由：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， 故选：A． 【变式1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（　　） A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB 【答案】A 【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故选：A． 题型02 判定全等的依据—SAS 【典例1】如图，已知∠ABC＝∠DCB，AC与BD交于点O，添加条件AB＝DC后，可使得△ABC≌△DCB成立，则判断△ABC和△DCB全等的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，BC＝BC， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴依据是SAS， 故选：B． 【变式1】如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】B 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， 故选：B． 题型03 用SAS判定证明全等 【典例1】如图，点F，C在线段BE上，AC∥DF，AC＝DF，BF＝EC．△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析． 【解答】解：△ABC与△DEF全等，理由如下： 由条件可知∠ACB＝∠DFE，BF+FC＝EC+FC，即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式1】如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB＝DE，AF＝DC，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见详解． 【解答】证明：由条件可得AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 题型04 添加条件形成ASA的全等判定方法 【典例1】如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，若用“ASA”判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是 　∠B＝∠E　 ． 【答案】∠B＝∠E． 【解答】解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件是∠B＝∠E． 故答案为：∠B＝∠E． 【变式1】如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE．添加下列条件之一，可以直接利用“ASA”判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠C＝∠E D．∠ABC＝∠D 【答案】C 【解答】解：∵∠CAB＝∠EAD，AC＝AE， ∴当添加∠C＝∠E时，△ABC≌△ADE（ASA）． 故选：C． 题型05 添加条件形成AAS的全等判定方法 【典例1】如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需添加条件（　　） A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA， ∴补充AD＝BC，OA＝OB不能证明△ACB≌△BDA， 补充BD＝AC，由SAS证明△ACB≌△BDA， 补充∠D＝∠C，由AAS可证明△ACB≌△BDA， 故选：C． 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 　∠A＝∠C　 ． 【答案】∠A＝∠C． 【解答】解：由题意得，BD＝DB，∠1＝∠2， 要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为∠A＝∠C， 故答案为：∠A＝∠C． 题型06 判定全等的依据—ASA 【典例1】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．HL 【答案】B 【解答】解：∵在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， 故选：B． 【变式1】如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】B 【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是ASA． 故选：B． 题型07 判定全等的依据—AAS 【典例1】如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【答案】B 【解答】解：在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（AAS）， 故选：B． 【变式1】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠B，则△ACD≌△ABD的依据是（　　） A．AAS B．ASA C．SSS D．SAS 【答案】A 【解答】解：在△ACD和△ABD中， ， ∴△ACD≌△ABD（AAS）， 故选：A． 题型08 用ASA判定证明全等 【典例1】如图，已知A、B、D、E在同一直线上，AD＝BE，BC∥EF，∠A＝∠EDF，求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AD＝BE， ∴AD﹣BD＝BE﹣BD， ∴AB＝DE， ∵BC∥EF， ∴∠ABC＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【变式1】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AD∥BC，∠DFA＝∠BEC，AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）． 题型09 用AAS判定证明全等 【典例1】如图，点A，D，C，F在同一直线上，∠B＝∠E，AB∥DE，AD＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠EDF， ∵AD＝CF， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 【变式1】如图，点E，F在AC上，AB∥CD，∠B＝∠D，且AF＝CE． （1）△ABE与△CDF全等吗？请说明理由； （2）BE与DF平行吗？为什么？ 【答案】（1）全等，见解析； （2）平行，见解析． 【解答】解：（1）△ABE与△CDF全等；理由如下： ∵AF＝CE， ∴AF+EF＝CE+EF， ∴AE＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）BE∥DF；理由如下： ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠BEF， ∴BE∥DF． 题型10 添加条件形成SSS的全等判定方法 【典例1】如图，△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用SSS证明△ACE和△BDF全等需要增加一个条件是（　　） A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF， A，当AB＝BC时，得不到AC＝BD，故不能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，不符合题意； B，当DC＝BC时，得不到AC＝BD，故不能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，不符合题意； C，当AB＝CD时，则AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，故能利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，符合题意； D，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（　　） A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：当BD＝CE时， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SSS）， 故选：B． 题型11 判定全等的依据—SSS 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【解答】解：在△AEG和△AFG中， ， ∴△AEG≌△AFG（SSS）， 故选：D． 【变式1】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，过点A，C画一条射线AE，利用全等三角形的性质就能说明射线AE是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】A 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC就是∠DAB的平分线． 故选：A． 题型12 用SSS判定全等 【典例1】如图，已知点A，E，F，D在同一条直线上，AF＝DE，BE＝CF，AB＝CD．求证：△ABE≌△DCF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AF＝DE， ∴AE＝DF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SSS）． 【变式1】已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，求证：△ABC≌△BAD． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：在△ABC和△BAD中， ， 题型13 作图步骤的判断与熟悉 【典例1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图： ①作射线EG； ②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； ④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角； ⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F． 则下列排序正确的是（　　） A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④ 【答案】B 【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法可知，正确的排序为①③②⑤④． 故选：B． 【变式1】尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求． ②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D； ④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ⑤如图3，画射线O′A′．则正确的作图顺序为（　　） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 【答案】A 【解答】解：根据作一个角等于已知角的作图方法，正确的作图顺序为：⑤③④②①， 即⑤如图3，画射线O′A′． ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点C、D； ④如图3，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ②如图3，以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与已画的弧相交于点D′； ①如图3，经过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求． 故选：A． 题型14 作图依据的判断 【典例1】仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：由作图可得： ， ∴△OGH≌△PMN（SSS）， ∴∠AOB＝∠CPD， 故选：A． 【变式1】用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】C 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，∠O＝∠O' 故选：C． 题型15 按要求作图 【典例1】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，线段a，c，∠α． 求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 【答案】作图见解答过程． 【解答】解：如图： △ABC即为所求． 【变式1】如图，在△ABC中，BC＝6． （1）尺规作图：请在图中AB的左侧作∠BAE＝∠B．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线AE上取点D，连结CD交AB于点O，若点O是AB的中点，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）6． 【解答】解：（1）如图所示； （2）∵点O是AB的中点， ∴AO＝BO， 在△ADO与△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（ASA）， ∴AD＝BC＝6． 题型16 添加条件形成“HL”的全等判定方法 【典例1】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【答案】D 【解答】解：条件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：D． 【变式1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．∠ADB＝∠CBD D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意； B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意； C．∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意； D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型17 判定全等的依据—HL 【典例1】如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（　　） A．HL B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【解答】解：HL， 理由是：∵∠A＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：A． 【变式1】如图，AC⊥BC，DF⊥EF，AC＝DF，AB＝DE，则判定Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．HL D．AAS 【答案】C 【解答】解：∵AC⊥BC，DF⊥EF， ∴∠ACB＝90°，∠DFE＝90°， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵在Rt△ABC和Rt△DEF中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 题型18 用“HL”判定证明全等 【典例1】如图AB＝AE，BC＝ED，AB⊥BF，AE⊥EF，F是CD上一点，∠C＝∠D＝90°，证明：Rt△BCF≌Rt△EDF． 【答案】见解答． 【解答】证明：连接AF，如图， ∵AB⊥BF，AE⊥EF， ∴∠ABF＝∠AEF， 在Rt△ABF和Rt△AEF中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF， 在Rt△BCF和Rt△EDF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△EDF（HL）． 【变式1】在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 在Rt△ADC与Rt△CBA中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL）， ∴DC＝BA． 又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 题型19 全等三角形的判定与性质 【典例1】如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD． （1）求证：△ABC≌△BED； （2）若AC＝10，DE＝6，求DC的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，点D在BC延长线上，DE∥AC， ∴∠D＝∠BCA． 在△ABC和△BED中， ， △ABC≌△BED（SAS）； （2）解：由（1）知：△ABC≌△BED，且AC＝10，DE＝6， ∴BD＝AC＝10，BC＝ED＝6， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣6＝4． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； 针对训练 三角形全等的判定；边边边(SSS) 1．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 2．如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为__________． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系： ， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，设与交于点O， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：，30； （2）略 三角形全等的判定；边角边(SAS) 4．如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可． 【详解】解：A、不能证明△，故此选项不合题意； B、由可得，，可利用证明，故此选项符合题意； C、不能证明，故此选项不合题意； D、不能证明，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，． 5．如图，平分，下列添加的一个条件不能使得（要求：不添加辅助线）的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．根据全等三角形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 添加条件，加上条件，，可以利用可证明，故A不符合题意； 添加条件，加上条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，加上条件，，可以利用可证明，故C不符合题意； 添加条件，加上条件，，利用不可证明，故D符合题意． 故选：D． 6．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D 7．如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．当P，Q，C三点共线时，t的值为________． 【答案】8或 【分析】本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． 根据题意即可利用证明， 得，，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论当时，当时，列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， 在和中， ， ， ； 如图， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∵点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴当时，，则， ， ， 当时，，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 8．如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】略 三角形全等的判定；角边角(ASA) 9．如图，下列三角形中，与全等的是（　　） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到两三角形全等即可解题． 【详解】解：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有C选项与的各边都相等， 故选：C． 10．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 11．木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据题意可得，，再根据定理可证，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 12．分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（   ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出即可解答． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：D． 13．如图，在四边形中，，，，则________°． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 【详解】解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 14．如图，已知，，． (1)求证：； (2)猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证； （）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得； 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（）得：， ∴， ∵， ∴． 三角形全等的判定；角角边(AAS) 15．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断． 【详解】解：若要过点C作AB的平行线， 则应过点C作一个角等于已知角， 由作图可知，选项A符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 16．如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 17．如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，则选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴，则选项B正确，不符合题意； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A错误，符合题意． 故选：A． 18．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查作图−−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图步骤逐步分析即可． 【详解】解：步骤②应为：以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N． 故选B． 19．如图，若∠α＝38°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 ______． 【答案】76° 【分析】由尺规作图的作法得到∠AOB=2∠α，代入数据即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，∠AOB=2∠α， ∵∠α=38°， ∴∠AOB=76°， 故答案为：76°． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键． 20．如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） (2)在（1）问条件下，若，求证： 【答案】(1) 如图，即为所求作的角； (2) 证明：（已知） 在和中 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键； （1）作即可； （2）根据得出，进而证明，得出即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 三角形全等的判定；斜边、直角边(HL) 21．如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， ∵在和中 ， ， 故选：D． 22．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 23．在和中，，下列条件中能利用判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】A．，加上，可利用证明，故不符合题意； B．，加上，可利用证明，故不符合题意； C．，加上，可利用证明，故不符合题意； D．，可利用证明，故符合题意； 故选：D． 24．如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【详解】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 25．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则______． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 26．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $