26.3 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 第2课时 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

教案：26.3 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值（第2课时）

一、核心素养目标

1. 直观想象

通过画二次函数的图象，观察抛物线与x轴的交点位置，直观感受方程的根在图象中的位置。借助几何画板动态演示，观察二分法逼近过程中取值范围的逐步缩小，感受"数形结合"中"形"对"数"的直观支撑作用。通过观察二次函数图象与不等式解集的对应关系，从图象中直观读出不等式的解集。

2. 逻辑推理

通过"画图象→观察交点→取点计算函数值→判断符号→二分法逼近→得到近似根"的完整探究过程，经历从直观到精确、从粗略到精细的逼近推理。在二分法逼近中，理解"函数值由正变负（或由负变正）时，中间必有一个根"的零点存在性原理，体会连续函数的介值性质。在二次函数与不等式的关系探究中，从具体的图象出发，归纳出a>0和a<0两种情况下不等式解集的一般规律。

3. 数学抽象

从具体的二次函数求近似根的过程中，抽象出利用二次函数图象求一元二次方程近似根的通用方法：画出对应二次函数的图象→观察图象与x轴的交点→在交点附近取点，根据函数值正负逐步逼近→得到满足精度要求的近似根。从具体的不等式解集问题中，抽象出二次函数图象与一元二次不等式解集之间的一般对应关系。

4. 数学运算与数据分析

在二分法逼近过程中，能准确计算不同x值对应的函数值y，并根据y的正负符号判断根所在的区间，逐步缩小范围。在计算过程中体会"精确到0.1"的数学含义——当区间长度小于0.1时，区间内的任意一点都可以作为满足精度要求的近似值。在不等式与函数综合练习中，能准确联立方程求解交点坐标，并结合图象判断不等式的解集。

二、教学重难点

教学重点

1. 掌握利用二次函数图象求一元二次方程根的近似值的方法：画二次函数的图象→观察图象与x轴交点大致位置→在交点附近取点计算函数值→根据函数值正负二分法逼近→得到满足精度要求的近似根。

2. 理解"精确到0.1"的含义：当取值区间长度小于0.1时，区间内任意一点都可以作为满足精度要求的近似值。

3. 理解二次函数图象与一元二次不等式解集的关系，能从图象中直接读出不等式（或<0）的解集。

教学难点26.3 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值一、利用图象求近似根例：x²-2x-2=0 → x₁≈-0.7, x₂≈2.7

1. 二分法逼近过程中"取点→计算函数值→判断符号→调整范围"的迭代操作，理解"区间长度小于精度要求时即可停止"的收敛条件，以及"函数值由正变负（或负变正）时中间必有一个根"的零点存在性原理。

2. 从函数图象中理解一元二次不等式的解集，特别是当a<0时不等式解集与图象的关系（注意开口方向对解集的影响），以及、时不等式解集的特殊情况的判断。

3. 综合运用二次函数图象、方程根和不等式解集的知识解决综合问题，如根据图象判断方程根、不等式解集，或根据不等式解集反推函数图象特征。

三、教学过程

环节一：回顾旧知（5分钟）

【教师活动】同学们，上节课我们学习了二次函数与一元二次方程的联系。请同学们回忆一下，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点情况和一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间有什么关系？判别式Δ与交点个数又有什么对应关系？

【学生活动】二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点（相切），方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实数根。

【教师活动】回顾得非常准确！请同学们看大屏幕上的总结表，我们一起来巩固一下。

【教师活动】上节课我们学习了当方程可以精确求解时，交点横坐标就是方程的根。但是，如果遇到不能精确求解的一元二次方程怎么办？比如方程x²-2x-2=0，判别式Δ=(-2)²-4×1×(-2)=4+8=12>0，有两个不相等的实数根，但这两个根无法用有理数精确表示。这时候，我们能否从二次函数的图象上，近似地求出方程的根呢？

【过渡语】从上节课"二次函数图象与x轴交点横坐标就是方程的根"这一核心结论出发，自然引出本节课的核心问题——当方程无法精确求解时，如何利用图象求根的近似值。这一过渡既巩固了旧知，又激发了学生对新知的学习需求，体现了知识的连贯性。

【设计意图】以复习旧知引入新课，既巩固了二次函数与一元二次方程联系的核心结论，又通过"方程不能精确求解怎么办"这一驱动性问题，自然过渡到本节课的主题——利用二次函数图象求近似根。这一引入方式体现了"从已知到未知、从精确到近似"的认知规律。

环节二：探究新知——利用图象求一元二次方程根的近似值（15分钟）