26.4实际问题与二次函数（第1课时 用二次函数刻画两变量之间的关系 ）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用二次函数刻画两变量之间的关系”，通过旧知回顾二次函数定义与特征，结合矩形面积、抛射高度等生活情境设问，衔接前期理论知识，搭建从抽象到应用的学习支架。 以“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”为主线，通过跳水运动、矩形菜园等实例引导学生归纳建模四步法，培养抽象能力与模型意识，助力学生掌握变量分析与解析式构建，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

26.4实际问题与二次函数 （第一课时 用二次函数刻画两变量之间的关系） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.4第一课时用二次函数刻画两变量之间的关系，是二次函数实际应用的开篇内容.本节课核心教学内容为：从生活与几何实际情境中抽象两个变量的数量关系，识别变量间的二次函数对应规律；掌握实际问题二次函数建模的基本步骤，能够根据已知条件列出二次函数解析式；明确实际问题中自变量的真实取值范围；初步利用二次函数解析式与基础性质分析变量变化规律，为后续求解实际最值问题奠定建模基础. 2. 内容解析 本节课是二次函数章节从理论知识走向实际应用的转折点，在整章知识体系中起到承上启下的核心作用.从知识衔接来看，本节课承接前面二次函数定义、图象性质、二次函数与方程关系的所有理论知识，打破纯代数、纯几何的理论学习模式，将抽象的函数模型落地到真实情境。同时，本节课所学习的变量分析、模型构建、定义域确定方法，是本章第四节后续最值问题、利润问题、运动轨迹问题的通用基础方法.从教材编排来看，本节课以“生活情境—找变量—找等量关系—列函数式—限定范围”为主线，重点突出数学建模核心素养，区别于传统的直接求最值，第一课时重在“刻画关系、建立模型”，让学生理解为什么可以用二次函数描述实际问题，夯实应用根基，符合循序渐进的教材编排逻辑. 基于以上分析，本节课的教学重点为分析实际问题中两个变量的变化关系，正确列出二次函数解析式；根据实际情境的限制条件，准确确定自变量的取值范围. 1. 教学目标 （1）能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律. （2）经历“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分析和数学转化能力. （3）感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思维和求真务实的解题习惯. 2.目标解析 目标1本节课的核心基础技能是实际问题二次函数建模，是后续所有二次函数应用题的必备前提.区别于前面已知解析式研究图象性质的学习模式，本节课要求学生逆向思考，从情境中生成函数模型，实现知识的逆向应用，同时掌握自变量取值范围的限定方法，规避纯数学函数与实际函数的差异. 目标2通过情境探究、例题实操、归纳总结，让学生固化数学建模的通用步骤，形成固定解题思维框架，摆脱“看不懂题、找不到关系、列不出式子”的痛点，培养学生用函数眼光观察实际问题的能力. 目标3通过贴近生活、几何常见的实例，消除学生对应用题的畏惧心理，感受数学模型的实用性与简洁性，逐步建立主动用函数思想解决实际问题的思维意识. 学生已经熟练掌握二次函数的定义、一般形式、变量特征，能够熟练化简整式、整理函数关系式，具备建模所需的代数基础；同时学生此前学习过一次函数实际应用建模，有初步的变量分析经验.九年级学生具备一定的阅读理解和信息提取能力，能够识别简单情境中的数量增减关系，具备初步的抽象建模能力.学生习惯纯理论函数学习，对实际情境的约束条件敏感度不足，容易忽略自变量取值范围；面对文字较多的实际问题，难以快速剥离无效信息、提炼等量关系；无法主动区分一次函数、二次函数模型，建模判断能力薄弱.列出解析式后忘记写自变量取值范围；自变量范围只考虑数学意义，忽略实际意义；整理解析式时化简失误、系数符号出错. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是从复杂实际情境中剥离无关信息，精准提取核心数量关系，完成从实际问题到数学模型的抽象转化.结合生活、几何实际意义，全面、准确限定自变量的取值范围，理解实际函数与纯理论二次函数的区别. 创设情景，引入新课 旧知回顾：（1）二次函数的一般形式是什么？自变量、因变量分别是什么？ （2）二次函数的核心特征：两个变量满足自变量最高次数为2的整式函数关系. 情境设问：矩形周长固定时，面积随边长的变化而变化；物体抛射过程中，高度随时间的变化而变化。这些生活中的变化关系，是否是二次函数关系？我们如何用数学式子精准刻画两个变量的关系？ （设计意图：通过复习二次函数定义，锚定本节课建模的判定标准，唤醒学生旧知.结合生活常见动态变化情境设问，制造认知思考，让学生感知生活中存在大量二次函数关系，自然引出本节课“用二次函数刻画变量关系”的核心主题，为新知建模探究搭建知识支架.） 探究点1 跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 活动1.在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.运动员在跳水过程中重心的高度是时间什么函数，于是最大高度问题转化为什么问题？ 运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题. 追问2.运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，转化为什么问题？ 运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，可以转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 追问3.你能画出函数图象，结合函数图象解决问题吗？ 可以用描点法画出函数图象如下图，由图象知，当时，达到最大高度，h的最大值是. 追问4.函数的图象能直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 先上升，后逐步下降. 具体解答如下： 对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11，当时， 有h最大值 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 探究点2 篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？ 活动2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.设垂直于墙的一边长为xm，菜园面积为Sm²，探究S与x的函数关系. 篱笆总长20m，垂直于墙的一边长为xm，则另一边长为：（20-2x)m S=x(20-x)=-x²+20x. 追问2.自变量x的取值范围是什么？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义，菜园的边长应为正数，即x>0，且 20-2x>0，于是自变量的取值范围是0<x<10. 追问3.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？ 转化为当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？ 具体解答如下： 解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（20-2x)m，菜园面积为Sm²， 则S=x(20-x)=-x²+20x（0<x<10） 当时， S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积是50m². 活动3.师生归纳通用建二次函数模型的步骤： ① 定变量：确定题目中的自变量、因变量； ② 找关系：根据公式、题意梳理两个变量的等量关系； ③ 列式子：整理化简，得到二次函数解析式； ④ 定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围. （设计意图：让学生通过具体的事例，让学生直观感受“实际情境→数学模型”的转化过程，自主归纳建模步骤，突破本节课核心重点，初步体验二次函数模型解决实际问题的方法，突破本节课难点，培养学生分析问题解决问题的能力.） 典型例题 例1.合肥市中学生运动会中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线（如图），其中出球点B离地面的距离是米，球落点的水平距离是多少？ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线与轴的交点得出球落点的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落点的水平距离是5米． 例2.如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P52课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.阅读思考，并解答下列问题： 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 (1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；    (2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系； (3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：） 【详解】（1）解：描点，连线，如图所示：    （2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数，              设s与t的函数关系式为，                          将代入，得：  ， 解得：， ∴s与t的函数关系式可近似地表示为； （3）解：把代入得：，     ∴， 解得：（舍去），                       答：推测滑雪者滑行的时间是10秒． （设计意图：强化二次函数的实际应用） 1.（2026淮安校考）一个小球从地面竖直向上抛出，它的运动高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）满足数量关系：小球初始速度为20m/s，重力加速度影响下，每秒高度减少5t²m. （1）请刻画高度h与时间t的函数关系，写出函数解析式； （2）求自变量t的取值范围. 【详解】解：（1）根据题意分析高度变化规律： 运动高度=初始速度运动高度−重力衰减高度 可得关系式：h=20t-5t² 整理为标准二次函数形式：h=-5t²+20t. （2）根据实际意义分析： ① 时间为正数：t>0； ② 小球落地后高度为0，不再运动，即h≥0. 令 h=0，则 -5t²+20t=0， 因式分解得：-5t(t-4)=0， 解得： 综上，时间t的取值范围为：0<t≤4 高度与时间的函数关系为 h=-5t²+20t(0<t≤4). 2．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，顶点为，即（6，8）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， 代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将x＝2代入， 则， ∵， ∴能安全通过． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）核心认知：生活中动态变化的最值类、面积类、运动类双变量关系，常可用二次函数刻画.（2）核心技能：掌握实际问题二次函数四步建模法（定变量—找关系—列解析式—定范围）.（3）关键细节：实际二次函数必须结合情境，确定自变量取值范围，不可默认全体实数. 思想方法：（1）数学建模思想：将复杂实际问题抽象为熟悉的二次函数数学模型，用数学知识解决实际问题.（2）数形转化思想：将文字情境的数量关系转化为代数解析式，实现文字语言到符号语言的转化.（3）分类限定思想：结合数学规则与实际意义双重条件，精准限定变量取值. 易错提醒：（1）建模误区：混淆自变量和因变量，导致解析式变量颠倒.（2）书写误区：列出二次函数解析式后，遗漏自变量取值范围（本节课最高频易错点）.（3）范围误区：仅考虑数学正数要求，忽略问题终止条件（如小球落地、图形不存在等）.（4）化简误区：整理解析式时符号错误、同类项合并失误，未化为标准二次函数形式. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题26.4第1、2、4题. 探究性作业：阅读与思考 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.4 实际问题与二次函数（第一课时） 一、核心认知 二、建模步骤 三、核心思想 四、易错警示 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $