26.4实际问题与二次函数（第1课时 用二次函数刻画两变量之间的关系 ）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

26.4实际问题与二次函数

（第一课时 用二次函数刻画两变量之间的关系）

（教学设计）

1.教学内容

本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.4第一课时用二次函数刻画两变量之间的关系，是二次函数实际应用的开篇内容.本节课核心教学内容为：从生活与几何实际情境中抽象两个变量的数量关系，识别变量间的二次函数对应规律；掌握实际问题二次函数建模的基本步骤，能够根据已知条件列出二次函数解析式；明确实际问题中自变量的真实取值范围；初步利用二次函数解析式与基础性质分析变量变化规律，为后续求解实际最值问题奠定建模基础.

2. 内容解析

本节课是二次函数章节从理论知识走向实际应用的转折点，在整章知识体系中起到承上启下的核心作用.从知识衔接来看，本节课承接前面二次函数定义、图象性质、二次函数与方程关系的所有理论知识，打破纯代数、纯几何的理论学习模式，将抽象的函数模型落地到真实情境。同时，本节课所学习的变量分析、模型构建、定义域确定方法，是本章第四节后续最值问题、利润问题、运动轨迹问题的通用基础方法.从教材编排来看，本节课以“生活情境—找变量—找等量关系—列函数式—限定范围”为主线，重点突出数学建模核心素养，区别于传统的直接求最值，第一课时重在“刻画关系、建立模型”，让学生理解为什么可以用二次函数描述实际问题，夯实应用根基，符合循序渐进的教材编排逻辑.

基于以上分析，本节课的教学重点为分析实际问题中两个变量的变化关系，正确列出二次函数解析式；根据实际情境的限制条件，准确确定自变量的取值范围.

1. 教学目标

（1）能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律.

（2）经历“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分析和数学转化能力.

（3）感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思维和求真务实的解题习惯.

2.目标解析

目标1本节课的核心基础技能是实际问题二次函数建模，是后续所有二次函数应用题的必备前提.区别于前面已知解析式研究图象性质的学习模式，本节课要求学生逆向思考，从情境中生成函数模型，实现知识的逆向应用，同时掌握自变量取值范围的限定方法，规避纯数学函数与实际函数的差异.

目标2通过情境探究、例题实操、归纳总结，让学生固化数学建模的通用步骤，形成固定解题思维框架，摆脱“看不懂题、找不到关系、列不出式子”的痛点，培养学生用函数眼光观察实际问题的能力.

目标3通过贴近生活、几何常见的实例，消除学生对应用题的畏惧心理，感受数学模型的实用性与简洁性，逐步建立主动用函数思想解决实际问题的思维意识.

学生已经熟练掌握二次函数的定义、一般形式、变量特征，能够熟练化简整式、整理函数关系式，具备建模所需的代数基础；同时学生此前学习过一次函数实际应用建模，有初步的变量分析经验.九年级学生具备一定的阅读理解和信息提取能力，能够识别简单情境中的数量增减关系，具备初步的抽象建模能力.学生习惯纯理论函数学习，对实际情境的约束条件敏感度不足，容易忽略自变量取值范围；面对文字较多的实际问题，难以快速剥离无效信息、提炼等量关系；无法主动区分一次函数、二次函数模型，建模判断能力薄弱.列出解析式后忘记写自变量取值范围；自变量范围只考虑数学意义，忽略实际意义；整理解析式时化简失误、系数符号出错.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是从复杂实际情境中剥离无关信息，精准提取核心数量关系，完成从实际问题到数学模型的抽象转化.结合生活、几何实际意义，全面、准确限定自变量的取值范围，理解实际函数与纯理论二次函数的区别.

创设情景，引入新课

旧知回顾：（1）二次函数的一般形式是什么？自变量、因变量分别是什么？

（2）二次函数的核心特征：两个变量满足自变量最高次数为2的整式函数关系.

情境设问：矩形周长固定时，面积随边长的变化而变化；物体抛射过程中，高度随时间的变化而变化。这些生活中的变化关系，是否是二次函数关系？我们如何用数学式子精准刻画两个变量的关系？

（设计意图：通过复习二次函数定义，锚定本节课建模的判定标准，唤醒学生旧知.结合生活常见动态变化情境设问，制造认知思考，让学生感知生活中存在大量二次函数关系，自然引出本节课“用二次函数刻画变量关系”的核心主题，为新知建模探究搭建知识支架.）

探究点1   跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？

活动1.在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.)

学生合作交流，完成下列问题：

追问1.运动员在跳水过程中重心的高度是时间什么函数，于是最大高度问题转化为什么问题？

运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题.

追问2.运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，转化为什么问题？

运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，可以转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.

追问3.你能画出函数图象，结合函数图象解决问题吗？

可以用描点法画出函数图象如下图，由图象知，当时，达到最大高度，h的最大值是.

追问4.函数的图象能直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？

先上升，后逐步下降.

具体解答如下：

对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11，当时，

有h最大值

因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.

探究点2   篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？

活动2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？

学生合作交流，完成下列问题：

追问1.设垂直于墙的一边长为xm，菜园面积为Sm²，探究S与x的函数关系.

篱笆总长20m，垂直于墙的一边长为xm，则另一边长为：（20-2x)m

S=x(20-x)=-x²+20x.

追问2.自变量x的取值范围是什么？

在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义，菜园的边长应为正数，即x>0，且 20-2x>0，于是自变量的取值范围是0<x<10.

追问3.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？

转化为当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？

具体解答如下：

解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（20-2x)m，菜园面积为Sm²，

则S=x(20-x)=-x²+20x（0<x<10）

当时，

S有最大值