4.3.2对数的运算 同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数运算，分层设计覆盖基础概念到综合应用，通过辨析、运算、证明梯度提升，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|对数定义、基本运算法则|选择题1-5、填空题11-12，考概念辨析（如对数运算性质成立条件）和直接运算（如lg a+lg b最值）| |能力提升|公式变形、换底公式应用|选择题6-10、填空题13-14，涉及指数对数互化（如2.5ˣ=1000求1/x-1/y）、对数方程求解| |综合应用|跨知识整合与证明|解答题15-19，结合函数奇偶性（如f(log₄₉9×log₅7)求值）、三角形性质证明，培养逻辑推理与模型意识|

课时作业32　对数的运算 一、选择题 1．(多选)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　) A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 2．计算log2＋log218－log31等于(　　) A．2 B． C．5 D．4 3．化简log612－2log6 的结果为(　　) A．6 B．12 C．log6 D． 4．已知a＝log32，则log38－2log36＝(　　) A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1 5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则(lg )2＝(　　) A． B． C．1 D．2 6．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－＝(　　) A. B．3 C．－ D．－3 7．设a＝log36，b＝log520，则log215＝(　　) A. B. C. D. 8．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有两个相等的实根，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 9．(多选题)给出下列三个等式：f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(ax＋by)＝af(x)＋bf(y)(a＋b＝1)．下列选项中，至少满足其中一个等式的是(　　) A．f(x)＝3x B．f(x)＝－x＋4 C．f(x)＝log2x D．f(x)＝x2－1 10．已知函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝5－x－1，则f(log499×log57)的值为(　　) A．－4 B．－2 C. D. 二、填空题 11．lg ＋lg ＝________． 12．已知a>0，b>0，且a＋b＝20，则lg a＋lg b的最大值为________． 13．方程log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2的解为 . 14．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个不相等的实根，则lg(ab)·(logab＋logba)的值为 . 3、 解答题 15．计算： (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1； (2)； (3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 16．已知lg 2＝a，lg 3＝b. (1)求lg 72，lg 4.5； (2)若lg x＝a＋b－2，求x的值． 17．计算：(1)log2×log3×log5； . 18．(1)已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log . (2)设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z，求证：－＝. 19．(1)设正数a，b，c满足a2＋b2＝c2， 求证：log2＋log2＝1. (2)已知2y×logy4－2y－1＝0，×log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝？ 课时作业32　对数的运算 （答案） 一、选择题 1．(多选)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是(　　) A．logax2＝2logax B．logax2＝2loga|x| C．loga(xy)＝logax＋logay D．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y| 解析：因为xy>0，所以x>0，y>0或x<0，y<0.若x<0，则A不成立；若x<0，y<0，则C也不成立，故选AC. 答案：AC 2．计算log2＋log218－log31等于(　　) A．2 B． C．5 D．4 解析：原式＝log2(×18)－0＝log216＝log224＝4. 答案：D 3．化简log612－2log6 的结果为(　　) A．6 B．12 C．log6 D． 解析：原式＝log6－log62＝log6＝log6 . 答案：C 4．已知a＝log32，则log38－2log36＝(　　) A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1 解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2. 答案：A 5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则(lg )2＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：由题意可知lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝. 所以(lg )2＝(lg a－lg b)2 ＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2. 答案：D 6．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－＝(　　) A. B．3 C．－ D．－3 解析：∵x＝log2.51 000，y＝log0.251 000， ∴＝＝＝log1 0002.5， 同理＝log1 0000.25， ∴－＝log1 0002.5－log1 0000.25 ＝log1 00010＝＝. 故选A. 7．设a＝log36，b＝log520，则log215＝(　　) A. B. C. D. 解析：∵a＝log36＝1＋log32，b＝log520＝1＋2log52，∴log23＝，log25＝， ∴log215＝log23＋log25 ＝＋＝. 故选D. 8．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有两个相等的实根，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：由题意知Δ＝0，即(－2)2－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝0，化简得2lga－lg(c2－b2)＝0，所以lg＝0，所以＝1，所以a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形． 故选B. 9．(多选题)给出下列三个等式：f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(ax＋by)＝af(x)＋bf(y)(a＋b＝1)．下列选项中，至少满足其中一个等式的是(　　) A．f(x)＝3x B．f(x)＝－x＋4 C．f(x)＝log2x D．f(x)＝x2－1 解析：f(x)＝3x是指数函数，有3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，A符合要求；f(x)＝4－x为一次函数，有4－(ax＋by)＝a(4－x)＋b(4－y)(a＋b＝1)，满足f(ax＋by)＝af(x)＋bf(y)(a＋b＝1)，B符合要求；f(x)＝log2x是对数函数，有log2(xy)＝log2x＋log2y，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，C符合要求；经检验D不符合要求．故选ABC. 10．已知函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝5－x－1，则f(log499×log57)的值为(　　) A．－4 B．－2 C. D. 解析：log499×log57＝×＝ ＝log53＝－log5. ∵当x<0时，f(x)＝5－x－1，且f(x)为奇函数， ∴f(log499×log57)＝f=-2 故选B. 二、填空题 11．lg ＋lg ＝________． 解析：lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1. 答案：1 12．已知a>0，b>0，且a＋b＝20，则lg a＋lg b的最大值为________． 解析：∵a>0，b>0，a＋b＝20，∴20＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝10时，等号成立，即ab≤100，而lg a＋lg b＝lg ab≤lg 100＝2，当且仅当a＝b＝10时，等号成立，故lg a＋lg b的最大值为2. 答案：2 13．方程log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2的解为 . 解析：∵log2(9x－1－5)＝log2(3x－1－2)＋2， ∴log2(9x－1－5)＝log2[4(3x－1－2)]， ∴9x－1－5＝4(3x－1－2)． 化简为(3x)2－12×3x＋27＝0， 即(3x－3)(3x－9)＝0， ∴3x＝3或3x＝9，解得x＝1或x＝2. 经过验证，x＝1不满足条件，舍去．∴x＝2. 答案：2 14．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个不相等的实根，则lg(ab)·(logab＋logba)的值为 . 解析：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.设lg x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0.所以t1＋t2＝2，t1·t2＝. 又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个不相等的实根，则lg a＝t1，lg b＝t2， 即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝. lg(ab)·(logab＋logba) ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝2×＝12， 即lg(ab)·(logab＋logba)＝12. 答案：12. 4、 解答题 15．计算： (1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1； (2)； (3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 解：(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1 ＝()2＋1＋9×－0＝＋1＋＝. (2)＝ ＝＝ ＝＝＝＝1. (3)原式＝÷log64 ＝[(log62)2＋log62(log636－log62)]÷log64 ＝[(log62)2＋2log62－(log62)2]÷log64 ＝2log62÷log64＝log64÷log64＝1. 16．已知lg 2＝a，lg 3＝b. (1)求lg 72，lg 4.5； (2)若lg x＝a＋b－2，求x的值． 解：(1)lg 72＝lg (23×32)＝3lg 2＋2lg 3＝3a＋2b； lg 4.5＝lg ＝2lg 3－lg 2＝2b－a. (2)lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2 ＝lg 2＋lg 3＋lg ＝lg ， 所以x＝＝0.06. 17．计算：(1)log2×log3×log5； . 解：(1)原式＝－log2125×log332×log53 ＝－××＝－15. (2)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3， 分母＝(lg6＋2)－lg＝lg6＋2－lg＝4， ∴原式＝. 18．(1)已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log . (2)设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z，求证：－＝. 解：(1)由已知，得loga[(x2＋4)(y2＋1)] ＝loga[5(2xy－1)]， ∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)， 即x2y2－6xy＋9＋x2－4xy＋4y2＝0， ∴(xy－3)2＋(x－2y)2＝0. ∴xy＝3，且x＝2y.∴＝2.∴log ＝2. (2)证明：设3x＝4y＝6z＝t，由x，y，z均为正数知t>1，在上式中取以t为底的对数， 可得xlogt3＝ylogt4＝zlogt6＝1， 于是x＝，y＝，z＝. 因此－＝logt6－logt3＝logt2. ∵＝logt4＝logt2，∴－＝. 19．(1)设正数a，b，c满足a2＋b2＝c2， 求证：log2＋log2＝1. (2)已知2y×logy4－2y－1＝0，×log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝？ 解：(1)证明：log2＋log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2＝log22＝1. (2)由2y×logy4－2y－1＝0得2y＝0，∴logy4＝，即y＝16. 由×log5x＝－1得＝－， 则＝－logx5>0. ∴(logx5＋1)＝(logx5)2， 整理得2(logx5)2－logx5－1＝0， 解得logx5＝－(logx5＝1舍去)，∴＝25. ∴P＝＝＝3， 即存在一个正数P＝3，使得P＝成立． 学科网（北京）股份有限公司 $