2.3.2 圆的一般方程 课前导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦圆的一般方程，通过“温故”环节回顾圆的标准方程及推导过程，“知新”部分自然过渡到一般方程的概念、判定条件，搭建从标准方程到一般方程的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 资料亮点在于融合数学史与实际应用，通过高斯在大地测量中使用一般方程的案例，引导学生用数学语言表达现实问题。基础过关题设计梯度合理，强化方程判定与应用，培养数学思维，预习提要与课本研习结合，助力学生用数学眼光构建知识体系。

2.3.2 圆的一般方程 预习提要 1.掌握圆的一般方程； 2.会判定二元二次方程是不是圆的一般方程； 3.阅读课本P102—P104内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 圆的标准方程：一般地，如果平面直角坐标系中的圆心为，半径为r(r>0)，设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在上的充要条件是 ，即，两边平方，得 . 上述充要条件表明，⊙C上任意一点M的坐标(x,y)满足方程(x−a)2+(y−b)2=r2；如果平面上一点M的坐标(x,y)满足方程(x−a)2+(y−b)2=r2，可得|CM|=r，则点M在⊙C上. 因此方程①能表示以点 为圆心，r为半径的圆，(x−a)2+(y−b)2=r2通常称为圆的标准方程. 为了方便起见，称圆(x−a)2+(y−b)2=r2时，指的是方程为(x−a)2+(y−b)2=r2的圆. 二、知新：课本研习梳理 1.圆的一般方程的概念：如果这个方程可以表示成 的形式，其中D，E，F都是常数. 形如上式的圆的方程称为圆的一般方程. 2.二元二次方程表示圆的必要条件：圆的一般方程是一个二元二次方程，因为所有圆的方程都可以化成 的形式，所以一个二元二次方程表示圆的必要条件，就是能化成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式. 3.一般方程表示圆的充分条件： 当时， 方程是以 为圆心，为半径的圆的方程； 当 时，满足方程的实数只有，，所以原方程不是圆的方程； 当D2+E2−4F<0时，方程 ，因而原方程也不是圆的方程. 基础过关 1.若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知，，则以为直径的圆的一般方程为( ) A. B. C. D. 3.圆的圆心坐标为( ) A. B. C. D. 4.圆的面积为( ). A. B. C. D. 5.若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为________. 反思 大数学家高斯在大地测量、行星轨道计算中大量使用圆的一般方程。野外测绘时，测量得到的数据很难直接凑成标准方程，全部都是杂乱的二次整式。高斯利用圆的一般方程，代入多个测量点坐标，列出方程组，快速解出D、E、F三个系数，就能直接确定圆形轨道、测绘边界的大小与位置。 他评价：圆的标准方程是“几何直观的窗口”，圆的一般方程是“计算应用的工具”，二者缺一不可。 答案及解析 温故：课前知识链接 (x−a)2+(y−b)2=r2 C(a,b) 知新：课本研习梳理 1.x2+y2+Dx+Ey+F=0 2.x2+y2+Dx+Ey+F=0 3. 没有实数解 基础过关 1.答案：A 解析：将方程配方得，所以圆心坐标为.又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限，所以解得.故选A. 2.答案：A 解析：因为，，则的中点为，且，所以为直径的圆的方程为，即，故选：A. 3.答案：A 解析：由配方得，故圆的圆心坐标为.故选：A. 4.答案：C 解析：原方程可化为，半径，圆的面积.故选：C. 5.答案： 解析：圆方程可化为，由于圆的半径不超过2，所以，解得，故a的取值范围为.故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $